1、2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,知识探究,1.空间直角坐标系 (1)为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿时针方向转90能与y轴的正半轴重合,这时,我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.,互相垂直,点击进入 情境导学,逆,(2)过空间中的任意一点P,作一个平面平行于平面yOz,这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的 .过点
2、P作一个平面平行于平面xOz,这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的 .过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P的 ,这样,我们对空间中的一个点,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作 ,每两条坐标轴分别确定的平面, , 叫做坐标平面.,x坐标,y坐标,z坐标,P(x,y,z),yOz,xOz,xOy,2.空间特殊平面与特殊直线 xOy平面是坐标形如 的点构成的点集,xOz平面是坐标形如 的点构成的点集,yOz平面是坐标形如 的点构成的点集,x轴是坐标形如 的点构成的点集,y轴是坐标形如
3、的点构成的点集,z轴是坐标形如 的点构成的点集.其中,x,y,z为任意的实数. 3.空间结构 三个坐标平面把空间分为 部分,每一部分称为一个 ,在坐标平面xOy上方,分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第、卦限,在下方的卦限称为第、卦限.,(x,y,0),(x,0,z),(0,y,z),(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),卦限,八,【拓展延伸】 空间中的对称问题 空间中点关于坐标平面,点关于轴,点关于点的对称点如下: A(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点为A1(x,y,-z); A(x,y,z)关于坐标平面yOz对称的点为A2(-x,y,z); A(x,y,z)关于坐标平面
4、xOz对称的点为A3(x,-y,z); A(x,y,z)关于x轴对称的点为A4(x,-y,-z); A(x,y,z)关于y轴对称的点为A5(-x,y,-z); A(x,y,z)关于z轴对称的点为A6(-x,-y,z); A(x,y,z)关于原点对称的点为A7(-x,-y,-z).,因此,我们可以总结出如下规律: 某面对称某不变,如A(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点为A1(x,y,-z),这里x,y的符号不变; 某轴对称某不变,如A(x,y,z)关于y轴对称的点为A5(-x,y,-z),这里y的符号 不变; 原点对称均相反,如A(x,y,z)关于原点对称的点为A7(-x,-y,-z),这
5、里x,y,z都变为其相反数. 这些规律要结合图形记忆,不能死记硬背.,自我检测,C,1.有下列叙述: 在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,0); 在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c); 在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c); 在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标可写为(a,0,c). 其中正确的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,解析:由空间直角坐标系中各坐标的定义知, 错误,应为(a,0,0);均正确.故选C.,C,2.在如图所示的空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为( ),解析:由空间直
6、角坐标系的画法知(3)错误,x轴与y轴应互换;(1)、(2)、(4)均正确(即符合右手直角坐标系).故选C.,(A)1 (B)2 (C)3 (D)4,D,3.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)在( ) (A)x轴上 (B)xOy平面上 (C)yOz平面上 (D)xOz平面上,解析:由于y=0,故该点在xOz平面上,故选D.,4.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,3)在xOy平面上的投影的坐标为 ,在z轴上的投影的坐标为 ,关于原点的对称点为 .,解析:在xOy平面上的投影坐标为(1,-2,0), 在z轴上投影的坐标为(0,0,3), 关于原点的对称点为(-1,2,-3). 答案:(1,-
7、2,0) (0,0,3) (-1,2,-3),类型一,点的坐标与点的位置的相互确定,课堂探究素养提升,【例1】 设长方体ABCD-ABCD,如图所示,长、宽、高分别为|AB|= 4 cm,|AD|=3 cm,|AA|=5 cm,N是线段CC的中点.分别以AB,AD,AA所在的直线为x轴,y轴,z轴,以1 cm为单位长,建立空间直角坐标系.,(1)求点A,B,C,D,A,B,C,D的坐标; (2)求点N的坐标.,解:(1)A,B,C,D都在平面xOy内,z坐标都为0,它们在x轴,y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0),(4,0),(4,3),(0,3),因此空间坐标分别是A(0,0,0)
8、, B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0).A,B,C,D同在一个垂直于z轴的平面内,这个平面与z轴的交点A的z坐标是5,故这四点的z坐标都是5.从这四点分别作xOy平面的垂线交xOy平面于A,B,C,D四点,故A,B,C,D的x,y坐标分别与A,B,C,D的相同,由此可知它们的空间坐标分别是A(0,0,5),B(4,0,5),C (4,3,5),D(0,3,5). (2)N是线段CC的中点,有向线段CN的方向与z轴正方向相同,|CN|=2.5,因此N的z坐标为2.5,C在xOy平面内的平面坐标为(4,3),这就是N的x,y坐标,故N的空间坐标为(4,3,2.5).,方法技巧 求
9、空间一点M的坐标,常用方法是:过M作MM1垂直于xOy平面,垂足为M1,求出M1的x坐标和y坐标,再求出点M的z坐标,于是得到M点的坐标(x,y,z),注意z坐标的正负.由本题看出,借助长方体写出空间坐标很 方便.,变式训练1-1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立空间直角坐标系,求E,F点的坐标.,类型二,空间中点的对称问题,【例2】 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3).求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.,解:过M作MA平面xOy于点A, 并延长MA到点B,使|MA|=|AB|, 则M点与B点关于平面xOy对称,
10、 所以B(1,-2,-3), 即点M关于xOy平面的对称点的坐标为(1,-2,-3). 同理,点M关于xOz平面的对称点的坐标为(1,2,3), 点M关于yOz平面的对称点的坐标为(-1,-2,3).,过M作MCx轴于点C,并延长MC到点D, 使|MC|=|CD|, 则M点与D点关于x轴对称,所以D(1,2,-3). 即点M关于x轴对称的点的坐标为(1,2,-3). 同理:点M关于y轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3), 点M关于z轴对称的点的坐标为(-1,2,3). 连接MO并延长到点E,使|MO|=|OE|, 则M点与E点关于原点对称, 所以E(-1,2,-3), 即点M关于原点对称的点
11、的坐标为(-1,2,-3).,变式训练2-1:已知点A(-3,1,-4),分别写出点A关于原点,x轴,y轴,z轴和xOz平面的对称点.,解:A(-3,1,-4)关于原点的对称点为(3,-1,4), A点关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为 (-3,-1,4),(3,1,4),(3,-1,-4), A点关于xOz平面的对称点为(-3,-1,-4).,类型三,空间轨迹问题,【例3】 设x为任意实数,相应的所有点P(x,2,3)构成的集合是什么图形?,解:取点A(0,2,0),过点A作与y轴垂直的平面, 则该平面上每一点的y坐标都是2. 取点B(0,0,3),过点B作与z轴垂直的平面, 则该平面上每一
12、点的z坐标都是3. 由=l,可知直线l与平面yOz交于点C(0,2,3),且直线l上任意一点的坐标均可写成(x,2,3)的形式. 故所有点P(x,2,3)表示的集合是过点C(0,2,3)且与x轴平行的直线.,方法技巧 当动点P(x,y,z)的坐标分量中有两个是常数时,它表示两个平面的交线,即一条线;若三个坐标分量都是常数,它就表示三个平面的公共点,即一个定点.,变式训练3-1:在空间直角坐标系中,求出经过点A(2,3,1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程.,解:因为坐标平面yOzx轴,而平面与坐标平面yOz平行,所以平面也与x轴垂直,所以平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点,即平面与x轴的交点, 所以平面内的所有点的横坐标都相等. 因为平面过点A(2,3,1), 所以平面内的所有点的横坐标都是2, 所以平面的方程为x=2.,谢谢观赏！,
