1、考点一 直线与平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l和平面内的 任意 一条直线都垂直,我们就说直线l与 平面垂直,记作l. (2)直线与平面垂直的判定方法 a.判定定理:一条直线与一个平面内的两条 相交直线 都垂直,那么 这条直线就垂直于这个平面. b.结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直 于这个平面.用符号可表示为: b.,知识清单,(3)直线与平面垂直的性质 a.由直线和平面垂直的定义知:直线垂直于平面内的 任意 直线. b.性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.用符号可表示为: ab. c.如果两条平行线中的一条垂直
2、于一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面.用符号表示为: b. 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角 叫做这条直线 和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0的角.,考点二 平面与平面垂直的判定与性质 1.二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做 二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.如果记棱为l,那么两个面分 别为、的二面角记作-l-. 在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作 垂直于棱 的射线,则两射线所构成的角叫做二
3、面角的平面角. 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个 平面互相垂直.,(2)平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.简述为“线 面垂直,则面面垂直”,记为: . (3)平面与平面垂直的性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用 符号可表示为: m.,1.利用定义:要证明直线a平面,转化为证明直线a垂直于平面内的 任何一条直线c. 2.利用判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么 这条直线就和这个平面垂直,即:l,简言之,“线线垂直线面垂直
4、”. 3.可作定理用的正确命题:如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平 面,那么另一条也垂直于这个平面.,直线与平面垂直的判定方法,方法技巧,4.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一个平面. 5.面面平行的性质:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则 这条直线也垂直于另一个平面,即 a. 例1 (2017河北百校联盟2月模拟,19,12分)如图1,以BD为直径的圆O经 过A,C两点,延长DA,CB交于P点,将PAB沿线段AB折起,使P点在底面 ABCD的射影恰为AD的中点Q,如图2,AB=BC=1,BD=2,线段PA、PB、 PC的
5、中点分别为G、E、F. (1)求证:PQ平面GEF; (2)求平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.,解题导引,解析 (1)在PAB中,因为G,E分别是PA,PB的中点, 所以GEAB. 因为AB平面ABCD,GE平面ABCD, 所以GE平面ABCD.同理,EF平面ABCD, 又GEEF=E,所以平面GEF平面ABCD. 由题意得PQ平面ABCD,所以PQ平面GEF. (4分) (2)因为PQ平面ABCD,AD平面ABCD,所以PQAD, 又Q为AD的中点,APD为等腰三角形. AB=BC=1,BD=2,AD=CD= ,ADC= , 在题图1的RtPCD中,APB= ,在RtPBA中,
6、PA= , 又AQ=QD= ,在RtAPQ中,PQ= . 连接AC、CQ,易知PQQC,ADC为等边三角形, CQAD. (6分) 如图,以Q为原点,以QC所在直线为x轴,QD所在直线为y轴,QP所在直线 为z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,则Q(0,0,0),D ,C ,P ,B ,A . 设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 令z1=1,则n1=(0,- ,1). (9分) 设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 令x2=1,则n2=(1, ,1). (11分),于是,|cos|= = . 故平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 . (12分),1
7、.证明两个平面垂直,主要的途径是:利用面面垂直的定义,即两平面 相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直;利用 面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那 么这两个平面垂直. 2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:先从现有的直线 中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证 明面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决,而 作辅助线应有理论根据并有利于证明,不能随意添加. 3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直 来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂 直、面面垂直的相互
8、转化.,平面与平面垂直的证明方法,例2 (2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角 形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的 两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.,解题导引,解析 本题考查面面垂直的证明,二面角的求法. (1)由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC. 又ACD是直角三角形,所以ADC=90. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO. 又由于ABC是正三角形,故BOAC. 所以DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90. 所以平面ACD平面ABC. (2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点, 的方向为x轴 正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,故 =(-1,0,1), =(-2,0,0), = . 设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量, 则 即 可取n= . 设m是平面AEC的法向量,则 同理可取m=(0,-1, ). 则cos= = . 易知二面角D-AE-C为锐二面角,
