1、考点 空间向量及其应用 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b 2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;aba1=b1,a2=b2,a3=b3(b0);ab a1b1+a2b2+a3b3=0 . 2.设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点的坐标减去起点的坐标. 3.两个向量的夹角及两点间的距离公式 (1)已知a=(a1
2、,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= = ; |b|= = ;,知识清单,ab=a1b1+a2b2+a3b3; cos= . (2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则| |= , 或者dAB=| |.其中dAB表示A与B两点间的距离,这就是空间两点的距离公 式. 4.向量a在向量b上的投影为|a|cos= . 5.设n是平面的一个法向量,AB、CD是内的两条相交直线,则n =0, n =0,由此可求出一个法向量n(向量 及 已知).,6.利用空间向量证明线面平行:只要在平面内找到一条直线,其方向向 量为b(b0),已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=
3、b(0)即可. 或者已知直线上的A、B两点坐标,在平面内找出两点C、D,写成坐标 形式, =(x1,y1,z1), =(x2,y2,z2),只要证明x1=x2,y1=y2且z1=z2(0)即 可. 7.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向 量a、b,只要证明ab,即ab=0即可. 8.证明线面垂直:已知直线l,平面,要证l,只要在l上取一个非零向 量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明:pa且pb,也就 是证明:ap=0且bp=0. 9.证明面面平行(面面垂直),最终都要转化为证明线线平行(线线垂直).,10.空间角公式 (1)异面直线所成角公式:设a、b分
4、别为异面直线l1、l2的方向向量,为异 面直线所成的角,则cos =|cos|= . (2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量, 为l与所成的角,则sin =|cos|= . (3)面面角公式:设n1、n2分别为平面、的法向量,二面角为,则=或=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos= .,11.点到平面的距离公式 P为平面外一点,a、n分别为平面的过P点的斜向量、法向量,d为P到 的距离,则d=|a|cos|= .,设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面,的法向量分别为u,v, 则lmaba=kb,kR且k0; lauau=0; uvu=v,
5、R且0. 例1 (2017天津,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC, BAC=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA= AC=4,AB=2. (1)求证:MN平面BDE; (2)求二面角C-EM-N的正弦值;,利用空间向量解决平行问题的方法,方法技巧,(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线 段AH的长.,解析 如图,以A为原点,分别以 , , 方向为x轴、y轴、z轴正方向 建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0, 0,2),E(0,2,
6、2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明: =(0,2,0), =(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则,即 不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又 =(1,2,-1),可得n=0. 因为MN平面BDE,所以MN平面BDE. (2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的 法向量,则 因为 =(0,-2,-1), =(1,2,-1),所以 不妨设y=1,可得n2=(-4,1,-2). 因此有cos= =- ,于是sin= . 所以,二面角C-EM-N的正弦值为 . (3)依题意,设AH=h(0h4),则H(0,
7、0,h),进而可得 =(-1,-2,h), =(-2, 2,2).由已知,得|cos|= = = ,整理得10h2- 21h+8=0,解得h= 或h= . 所以,线段AH的长为 或 .,方法总结 利用空间向量法证明线面位置关系与计算空间角的步骤: (1)根据题目中的条件,充分利用垂直关系,建立适当的空间直角坐标系, 尽量使相关点在坐标轴上,求出相关点的坐标;(2)求出相关直线的方向 向量及相关平面的法向量,根据题目的要求,选择适当的公式,将相关的 坐标代入进行求解或证明;(3)检验,得出最后结论.,设不同直线l,m的方向向量分别为a,b,不同平面,的法向量分别为u,v, 则lmabab=0;
8、laua=ku,kR且k0; uvuv=0. 例2 (2016河南洛阳二模,19)如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形 ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2. (1)求证:ACBF; (2)在线段BE上是否存在一点P, 使得平面PAC平面BCEF?若存在,求 出 的值;若不存在,请说明理由.,利用空间向量解决垂直问题的方法,解题导引,解析 (1)证明:平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD, AFAD,AF平面ADEF, AF平面ABCD. AC平面ABCD,AFAC. (2分) 过A作AHBC于H,则BH=1,AH= ,CH=3, AC=2 ,AB2+
9、AC2=BC2,ACAB, ABAF=A,AC平面FAB, BF平面FAB,ACBF. (5分) (2)存在.由(1)知,AF,AB,AC两两互相垂直.以A为坐标原点, , , 的 方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2 ,0),E(-1, ,2). (7分),假设在线段BE上存在一点P满足题意, 设 =(0),则P . 设平面PAC的法向量为m=(x,y,z).,由 = , =(0,2 ,0), 得 即 令x=1,则z= , 所以m= 为平面PAC的一个法向量. (9分) 同理,可求得n= 为平面BCEF的
10、一个法向量. (10分) 当mn=0,即= 时,平面PAC平面BCEF, 故存在这样的点,此时 = . (12分),评析 本题考查了垂直问题的证明方法,考查了线线、线面、面面垂直 的相互转化,利用向量法求解探索性问题是解题的关键.,1.两条异面直线所成角的向量求法 设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,其夹角为,异面直线l,m所成的角 为,则根据cos =|cos |= 求. 2.直线与平面所成角的向量求法 设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与 u的夹角为,则根据sin =|cos |或cos =sin 求. 3.二面角的平面角的向量求法 (1)若AB、CD分
11、别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则 二面角的平面角就是向量 与 的夹角(如图甲).,空间角与距离的向量求法,(2)设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角 (或其补角)就是二面角的平面角(如图乙、丙). 4.点面距离的向量求法 如图,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面 的法向量,则B到平面的 距离| |=| |cos|= .,5.线面、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解. 例3 (2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜 边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,
12、E为PD的 中点. (1)证明:CE平面PAB; (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.,解题导引,解析 解法一:(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为 PD,PA中点,所以EFAD且EF= AD. 又因为BCAD,BC= AD,所以EFBC且EF=BC, 即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF, 因此CE平面PAB.,(2)分别取BC,AD的中点为M,N. 连接PN交EF于点Q,连接MQ. 因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点, 在平行四边形BCEF中,MQCE. 由PAD为等腰直角三角形得PNAD. 由DCAD,N是AD的中点得
13、BNAD. 所以AD平面PBN,由BCAD得BC平面PBN, 那么平面PBC平面PBN. 过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成 的角.设CD=1.,在PCD中,由PC=2,CD=1,PD= 得CE= , 在PBN中,由PN=BN=1,PB= 得QH= , 在RtMQH中,QH= ,MQ= , 所以sinQMH= . 所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 . 解法二:(1)证明:设AD的中点为O,连接OB,OP. PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,OPAD. BC= AD=OD,且BCOD, 四边形BCDO为平行
14、四边形,又CDAD,OBAD,OPOB=O,AD平面OPB. 过点O在平面POB内作OB的垂线OM,交PB于M,以O为原点,OB所在直线为x轴,OD所在直线为y轴,OM所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系,如图.,设CD=1,则有A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0). 设P(x,0,z)(z0),由PC=2,OP=1, 得 得x=- ,z= . 即点P , 而E为PD的中点,E . 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,z1), = , =(1,1,0), ,方法总结 1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l) 利用线面平行的判定定理:在平面内找到一条与直线l平行的直线m, 从而得到l. 利用面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面,满足,从而 得l. 向量法:(i)求出平面的法向量n和直线l的方向向量l,证明nl=0,结合l 可得l. (ii)证明直线l的方向向量l能被平面内的两个基向量所表示,结合l 可得l.,2.求线面角的方法. 定义法:作出线面角,解三角形即可. 解斜线段、射影、垂线段构成的三角形. 例:求AB与平面所成角的正弦值,其中A.只需求出点B到平面的 距离d(通常由等体积法求d),由sin = 得结论. 向量法:求出平面的法向量n,设直线AB与所成角为,则sin =|cos |. 最好是画出图形,否则容易出错.,
