1、第3讲 立体几何中的向量方法,高考定位 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.,1.(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ),解析 法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.,真 题 感 悟,图(1) 图(2),则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).,法二 如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PNBC1，MNAB1，
2、 AB1与BC1所成的角是MNP或其补角. AB2，BCCC11，,在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC,答案 C,(1)证明：平面AMD平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.,(1)证明 由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD. 因为BCCD，BC平面ABCD， 所以BC平面CMD，又DM平面CDM，故BCDM.,所以DMCM. 又BCCMC，所以DM平面BMC. 由于DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.,由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)， M(0，1，1)，,设n(
3、x，y，z)是平面MAB的法向量，,3.(2018全国卷)如图，四边形ABCD为正方形， E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,(1)证明 由已知可得，BFPF，BFEF， 又PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.,(2)解 作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.,由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，,1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法,设直线l的方向向量为a(a1
4、，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行 laa0a1a2b1b2c1c20. (2)线面垂直 laaka1ka2，b1kb2，c1kc2. (3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c3. (4)面面垂直 vv0a2a3b2b3c2c30.,考 点 整 合,2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算,设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).,热点一 利用空间向量证明平行、垂直关系 【例1】 如图，在四棱锥PABC
5、D中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.证明：,(1)BEDC； (2)BE平面PAD； (3)平面PCD平面PAD.,证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，,可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2). 由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).,(2)因为ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD， 所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD， 所以AB平面PAD，,又BE平面PAD，所以BE平面PAD.,设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，,不妨令y1，可得n(0，1，1)为平面
6、PCD的一个法向量.,所以平面PAD平面PCD.,探究提高 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素). 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件，如在(2)中忽略BE平面PAD而致误.,【训练1】 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.,证明 (1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直
7、线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4). 设BAa，则A(a，0，0)，,则B1DBA，B1DBD.又BABDB，BA，BD平面ABD， 因此B1D平面ABD.,即B1DEG，B1DEF. 又EGEFE，EG，EF平面EGF， 因此B1D平面EGF. 结合(1)可知平面EGF平面ABD.,热点二 利用空间向量计算空间角 考法1 求线面角或异面直线所成的角 【例21】 (2018烟台质检)如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，ACBD，平面BDFE平面ABCD，EFBD，BEBD.,(1)证明
8、平面BDFE平面ABCD，平面BDFE平面ABCDBD，AC平面ABCD，ACBD， AC平面BDFE.又AC平面AFC， 平面AFC平面BDFE.,ODOC1，OBOA2， FEOB且FEOB，四边形FEBO为平行四边形， OFBE，且OFBE2， 又BE平面ABCD，OF平面ABCD.,则B(0，2，0)，D(0，1，0)，F(0，0，2)，C(1，0，0)，,不妨设z1，得xy2，得n(2，2，1).,探究提高 1.异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos |cos |. 2.直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin |cos |，
9、有时也可分别求出斜线与它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两方向向量的夹角(或其补角).,【训练2】 (2018江苏卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.,因为ABAA12，,设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，,(1)证明：BCB1M； (2)若平面MB1C把此棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角MB1CA的余弦值.,BC2，则有AB2BC28AC2， ABC90，BCAB， 又BB1BC，BB1ABB， BC平面ABB1A1，又B
10、1M平面ABB1A1， 故BCB1M.,(2)解 由题设知，平面MB1C把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥CABB1M和四棱锥B1A1MCC1.,由(1)知四棱锥CABB1M的高为BC2，,此时M为AA1中点，,A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，4)，M(2，0，2).,设n1(x1，y1，z1)是平面CB1M的一个法向量，,令z11，可得n1(1，2，1)，设n2(x2，y2，z2)是平面ACB1的一个法向量，,探究提高 1.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或
11、其补角. 2.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.,(1)求证：AC平面BEF； (2)求二面角BCDC1的余弦值； (3)证明：直线FG与平面BCD相交.,(1)证明 在三棱柱ABCA1B1C1中， 因为CC1平面ABC， 所以四边形A1ACC1为矩形. 又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF. 因为ABBC，所以ACBE. 又EFBEE，所以AC平面BEF. (2)解 由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1， 又CC1平面ABC，所以EF平面ABC， 因为BE平面ABC，所以EFBE.,如图建立空间直角坐标系Exyz，由题意得B
12、(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1).,设平面BCD的法向量为n(x0，y0，z0)，,令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4).,所以直线FG与平面BCD相交.,解 (1)设BD交AC于点O，连接OE. PB平面AEC，平面AEC平面BDPOE，PBOE. 又O为BD的中点，在BDP中E为PD中点.,(2)连接OP，由题知PO平面ABCD，且ACBD，,设平面AEC的法向量为m(x1，y1，z1).,设平面BDF的法向量n(x2，y2，z2)，,探究提高 1.空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理
13、，只需通过坐标运算进行判断. 2.空间向量求解探索性问题：(1)假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论；(2)在这个前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标(或参数)是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.,(1)当BF长为多少时，平面AEF平面CEF? (2)在(1)的条件下，求二面角EACF的余弦值.,解 (1)连接BD交AC于点O，则ACBD. 取EF的中点G，连接OG，则OGDE. DE平面ABCD，OG平面ABCD. OG，AC，BD两两垂直. 以AC，BD
14、，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，,设平面AEF，平面CEF的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).,若平面AEF平面CEF，则n1n20，,设平面AEC的一个法向量为n(x，y，z)，则,3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错. 4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性.,
