1、1专题 12 平面向量 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.平面向量的基本概念与线性运算了解向量的实际背景;理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;理解向量的几何表示;掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义掌握选择题填空题2.向量的共线问题掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;了解向量线性运算的性质及其几何意义掌握选择题填空题分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.
2、5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为 5 分,属中低档题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.平面向量基本定理了解平面向量的基本定理及其意义 了解选择题填空题2.平面向量的坐标运算掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件掌握选择题填空题分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值
3、约为 5 分,属中低档题.2考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.数量积的定义 理解选择题填空题2.平面向量的长度问题掌握选择题填空题3.平面向量的夹角、两向量垂直及 数量积的应用(1)平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题掌握选择题填空题分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质
4、及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.32018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】已知 a， b， e 是平面向量， e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足b24eb+3=0，则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】分析:先确定向量 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的
5、坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2 【2018 年天津卷文】在如图的平面图形中，已知 ,则 的值为4A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结 MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结 MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，则 ，由题意可知： ， ，结合数量积的运算法则可得： .本题选择 C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用3 【20
6、18 年文北京卷】设向量 a=（1,0） ， b=（1, m）,若 ，则 m=_.【答案】点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设 ，则； .4 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系 中， A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为5直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三 角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数
7、值域，是解决这类问题的一般方法.2017 年高考全景展示1.【2017 北京，文 7】设 m, n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m= n”是“ mn0”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若 0，使 mn，即两向量反向，夹角是 018，那么cos180mnT，若 0，那么两向量的夹角为 09,18，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分不必要条件，故选 A. 【考 点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若 ,pq，那么 p是 q的充分不必要 ，
8、同时 q是 p的必要不充分条件，若 pq，那互为充要条件，若 ，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若 :,:xAB,若 ，那么 是 的充分必要条件，同时 是 的必要不充分条件，若 B，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分6也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将 p是 q条件的判断，转化为q是 p条件的判断.2.【2017 课标 II，文 4】设非零向量 a， b满足 +=-ba则A.a b B. =ba C. D. 【答案】A【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行： 121/abxy， /,0,ababR,BACO
9、BOC(2)向量垂直： 120xy ，(3)向量加减乘： 21(,),|,|cos,ababab3.【2017 浙江，10】如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB BC AD2， CD3， AC 与 BD 交于点 O，记 1IOAB ， 2IC ， 3IOD ，则A 321IB 231IIC 213I D 312II【答案】 C【解析】试题分析：因为 90OCD，所以0(,)BABAOBD选 C7【考点】 平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数 量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到
10、化繁为简的妙用 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数本题通过所给条件结合数量积运算，易得 90AOBCD，由AB BC AD2， CD3，可求 OCA， DB，进而解得 213II4.【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）, b=(1,) ,若 a|b,则 .【答案】 【解析】【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若 a( x1,y1),b( x2,y2),则 a b
11、 的充要条件是 x1y2 x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可设所求向量为 a( R),然后结合其他条件列出关于 的方程,求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(3)三点共线问题 A,B,C 三点共线等价于 与 共线.AB AC 5.【2017 北京，文 12】已知点 P 在圆2=1xy上，点 A 的坐标为(-2,0)， O 为原点，则 AP的最大值为_【答案】6【解析】试题分析： |cos|2(1)6.AOPAOAP所以最大值是 6. 【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是
12、确定的，所以根据向量数量积的几何意义若AP最大，即向量 AP在方向上的投影 最大，根据数形结合分析可得当点 P在圆与 x轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果 236.86.【2017 课标 3，文 13】已知向量 (2,3)(,)abm，且 ab，则 m= .【答案】2【解析】由题意可得： 20,m.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行： 121/abxy， /,0,ababR,1BACOBOC(2)向量垂直： 120xy，(3)向量加减乘： 21(,),|,|cos,ababab7.【2017 浙江，14】已知向量 a， b 满足 则 的最小值是_，最大值是_【答案】4
13、， 25【解析】【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量 ,ab的夹角 ，结合模长公式， 解得54cos54cosab，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求8.【2017 天津，文 14】在 ABC 中， 60A， AB=3， AC=2.若 2BDC， AEB（ R） ，且 4ADE，则 的值为 .9【答案】 31 【解析】【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量 ,ABC，要注意结合图形的性质，灵活运用
14、向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.9.【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（1，2）， b=（ m，1）若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=_【答案】7【解析】试题分析：由题得 (1,3)abm，因为 ()0ab，所以 (1)230，解得 7 【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量【名师点睛】如果 a( x1， y1)， b( x2， y2)(b0)，则 ab 的充要条件是 x1x2+y1y2010.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量 OA, B, C的模分别为 1,1, ,OA与 C的夹角为,且 tan =7,
15、OB与 C的夹角为 45.若 Cmn()R, 则 mn .【答案】3 【解析】由 tan7可得 72sin10， 2cos10，根据向量的分解，易得 cos45sinim，即 2701nm，即 5107nm，即得 57,4n，所以 3. 10【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向
16、量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.11.【2017 江苏，16】 已知向量 (cos,in)(3,)0,.xxab（1）若 a b,求 x 的值；（2）记 ()f,求 ()f的最大值和最小值以及对应的 x的值.【答案】 （1） 56x（2） 0x时， 取得最大值，为 3； 56时， 取得最小值，为 23.【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行： 121/abxy， /,0,ababR,111BACOBOC(2)向量垂直： 1200abxy，(3)向量加减乘： 21(
17、,),|,|cos,abab2016 年高考全景展示1.2016 高考新课标文数已知向量 13(,)2BAuv, 31(,)2Cuv则 ABC（ ）(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A【解析】考点：向量夹角公式【思维拓展】 （1）平面向量 a与 b的数量积为 cosab，其中 是 a与 b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围： 018；（2）由向量的数量积的性质有 |=， cosab， 0ab，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题2.【2016 高考天津文数】已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 ED,分别是边 BCA,的
18、中点，连接DE并延长到点 F，使得 EF2，则 BCA的值为（ ）（A） 85（B） 81（C） 4（D） 81【答案】B【解析】试题分析：设 BAa， b， 1()2EAba， 3()24FEba，1353()244FDa， 255318BC，故选 B.考点：向量数量积12【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言” ，实质是“形”化为“数” 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与
19、形紧密结合起来3.【2016 高考四川文科】已知正三角形 ABC 的边长为 32，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 1Aur，PMCur，则2Bur的最大值是( )(A) 43 (B) 9 (C) 4367 (D) 4327【答案】B【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 120ADCBC，且 2DABC，因此我们采用解析法，即建立直角坐标13系，写出 ,ABCD坐标，同时动点 P的轨迹
20、是圆，222134xyBM，因此可用圆的性质得出最值因此本题又考查了数形结合的数学思想4.【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 a=(m,4)， b=(3,-2)，且 a b，则 m=_. 【答案】 6【解析】考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.【名师点睛】如果 a( x1， y1)， b( x2， y2)(b0)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y10 .5.【2016 高考北京文数】已知向量 =,3(,1a ，则 a 与 b 夹角的大小为_.【答案】 30【解析】试题分析：两向量夹角为 603. 23cos,ab，且两个向量夹角范围是 0,，所以夹角为 3，故填： . 考点
21、：平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义 cos|ba( 为 a， b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二 可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.6.【2016 高考新课标 1 文数】设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a b,则 x= .【答案】 23【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3xxab考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又
22、要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若 12,xyyab,则 12xyab.147.【2016 高考浙江文数】已知平面向量 a， b，| a|=1，| b|=2， ab=1若 e 为平面单位向量，则|ae|+|be|的最大值是_【答案】 7【解析】考点：平面向量的数量积和模.【思路点睛】先设 a， b和 e的坐标，再将转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得 e的最大值8.【2016 高考山东文数】已知向量 1,-()()6,-4ab， 若 atb，则实数 t 的值为_【答案】 5 【解析】试题分析： 6,4,6,41,20tabttabtt，解得 5t 考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从 atb出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算15能力等.
