1、1专题 13 等差与等比数列 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.等差数列及其性质理解选择题填空题2.等差数列前 n项和公式理解等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式;能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;了解等差数列与一次函数的关系掌握选择题填空题分析解读 1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前 n项和公式.2.体会等差数列与一次函数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求 an,Sn为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容在高考中主要考查数列定义、通项公式、前 n项和公式及性质,分值约为 5分,属中低档
2、题.考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.等比数列及其性质理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式;理解选择题填空题解答题 22.等比数列前n项和公式能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;了解等比数列与指数函数的关系掌握选择题填空题解答题分析解读 1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前 n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前 n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018 年文北京卷】 “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理
3、论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率 f， 则第八个单音频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，所以 ，又 ，则，故选 D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若 （ ）或 （ ） ， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列 中， 且
4、（ ） ，则数列是等比数列.2.【2018 年文北京卷】设 是等差数列，且 .（）求 的通项公式；（）求 .【答案】 （I） （II）【解析】分析：（1）设公差为 ，根据题意可列关于 的方程组，求解 ，代入通项公式可得；（2）3由（1）可得 ，进而可利用等比数列求和公式进行求解 . 点睛：等差数列的通项公式及前 项和共涉及五个基本量 ，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.3.【2018 年全国卷文】等比数列 中， （1）求 的通项公式；（2）记 为 的前 项和若 ，求 【答案】 （1） 或 （2）【解析】分析：（1）列出方程，解出 q可得；（2）求出前 n项和，解方程可得
5、m。详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 由已知得 ，解得 （舍去） ，或 故 或 （2）若 ，则 由 得 ，此方程没有正整数解若 ，则 由 得 ，解得 综上， 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前 n项和公式，属于基础题。4.【2018 年新课标 I卷文】已知数列 满足 ， ，设 （1）求 ；（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；（3）求 的通项公式【答案】(1) b1=1， b2=2， b3=4(2) bn是首项为 1，公比为 2的等比数列理由见解析.(3) an=n2n-41【解析】分析：(1)根据题中条件所给的数列 的递推公式 ，将其化为an+1= ，分别令 n=1和 n=2
6、，代入上式求得 a2=4和 a3=12，再利用 ，从而求得b1=1， b2=2， b3=4(2)利用条件可以得到 ，从而 可以得出 bn+1=2bn，这样就可以得到数列 bn是首项为 1，公比为2的等比数列(3)借助等比数列的通项公式求得 ，从而求得 an=n2n-1点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列 的通项公式，借助于 的通项公式求得数列 的通项公式，从而求得最后的结果.2017年高考全景展示1.【2017 浙江，6
7、】已知等差数列 an的公差为 d，前 n项和为 Sn，则“ d0”是“ S4 + S62S5”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】【考点】 等差数列、充分必要性5【名师点睛】本题考查等差数列的前 n项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652Sd， 结合充分必要性的判断，若 qp，则 是 的充分条件，若 qp，则 是 的必要条件，该题“0d”“ 02564S”，故为充要条件2.【2017 江苏，9】等比数列 na的各项均为实数 ,其前 n项的和为 nS,已知 3674S,则 8a= .【答案】32【解析】当 1q时，显然不符合题意
8、；当 时，316()74aq，解得 142aq，则 78123.【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3.【2017 课标 1，文 17】记 Sn为等比数列 na的前 n项和，已知 S2=2， S3=-6
9、（1）求 na的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1， Sn， Sn+2是否成等差数列 【答案】 （1） (2)na；（2） 32)1(nn，证明见解析【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得 2q， 1a；（2）利用等差中项证明 Sn+1， Sn， Sn+2成等差数列6【考点】等比数列【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法4.【2017 课标 II，文 17】
10、已知等差数列 na的前 项和为 nS，等比数列 nb的前 项和为 nT，12,aba(1)若 35 ，求 nb的通项公式；（2）若 T，求 3S.【答案】 （） ；（ ）当 时， .当 时， .【解析】试题分析：（1）根据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可， （2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差前三项求和.7【考点】等差、等比数列通项与求和【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比
11、数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用 “巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.2016年高考全景展示1.【2016 高考新课标 2文数】等差数列 na中， 3457,6a.（）求 na的通项公式；（） 设 b，求数列 nb的前 10项和，其中 x表示不超过 x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.【答案】 （） 235na；（）24.【解析】试题分析：() 题目已知数列 na是等差数列，根据通项公式列出关于 1a， d的
12、方程，解方程求得 1a，d，从而求得 na；（）根据条件 x表示不超过 x的最大整数，求 nb，需要对 分类讨论，再求数列nb的前 10项和.8考点：等差数列的性质 ，数列的求和. 【名师点睛】求解本题会出现以下错误：对“ x表示不超过 x的最大整数”理解出错；2.【2016 高考北京文数】 （本小题 13分）已知 na是等差数列， nb是等差数列，且 32b， 9， 1ba， 4.（1）求 的通项公式；（2）设 nnc，求数列 nc的前 n项和.【答案】 （1） 21na（ ， 2， 3， ） ；（2） 231n【解析】试题分析：（）求出等比数列 nb的公比，求出 1ba， 4的值，根据等差
13、数列的通项公式求解；（）根据等差数列和等比数列的前 项和公式求数列 nc的前 项和. 试题解析：（I）等比数列 nb的公比 329bq，所以 21bq， 43279设等差数列 na的公差为 d因为 1b， 1427b，所以 3d，即 所以 2na（ ， ， 3， ） 考点：等差、等比数列的通项公式和前 n项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前 n项和公式都可以看作项数 n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 n项和 Sn可视为数列S n的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及
14、到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 1q或 )等.3.【2016 高考四川文科】 （本小题满分 12分）已知数列 na 的首项为 1， nS 为数列 na的前 n项和， 1nSq ，其中 q0， *nN .（）若 23, 成等差数列，求 的通项公式；（）设双曲线21nyxa的离心率为 ne ，且 2 ，求 221nee.【答案】 （） 1=q-；（） (31)2.【解析】10试题分析：（）已知 nS的递推式 1nqS，一般是写出当 2n时， 1nSq，两式相减，利用 1nna，得出数列 a的递推式，从而证明 a为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（）先利用双曲线的离心率定义得到 ne的表达式，再由 2e解出 的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算. （）由（）可知， 1naq-=.所以双曲线2nyx-的离心率 22(1)nnneaq-+=.由 221eq=+解得 3.所以， 22(1)122(1)2)1(3). nnnneqq-=+=+-，考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
