1、1专题 22 几何体的表面积与体积 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度1.几何体的表面积 理解选择题填空题2.几何体的体积理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 理解选择题填空题解答题分析解读 1.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.2.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.3.备考时关注以三视图、柱、锥与球的接切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的命题.4.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为 5 分,属中档题.2018 年高考全景展示1 【2018 年新课标 I
2、卷文】在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为A. B. C. D. 【答案】C点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的2乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2 【2018 年新课标 I 卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆
3、半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.3 【2018 年全国卷文】设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：作图，D 为 MO 与球的交点，点 M 为三角形 ABC 的重心，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得。详解：如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点
4、当 平面 时，三棱锥 体积最大，此时， ， ， , 点 M 为三角形 ABC 的重心， 中，有 ， ，故选 B.3点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由 M 为三角形 ABC 的重心，计算得到，再由勾股定理得到 OM，进而得到结果，属于较难题型。4 【2018 年天津卷文】如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱柱 A1BB1D1D 的体积为_【答案】【解析】分析：由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.4点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生
5、的转化能力和计算求解能力.5 【2018 年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决6 【2018 年全国卷 II 文】已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若的面积为 ，则该圆锥的体积为_【答案】8【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线 ，
6、高 ，底面圆半径 的长，代入公式计算即 可.详解：如下图所示， ，又 ，解得 ，所以，所以该圆锥的体积为 .5点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.2017 年高考全景展示1.【2017 山东，文 13】由一个长方体和两个 14 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】 2【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也
7、是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：看视图,明关系；分部分,想整体；综合起来,定整体2.【2017 课标 1，文 16】已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径若平面SCA平面 SCB， SA=AC， SB=BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_【答案】 366【解析】【考点】三棱锥外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分
8、点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球3.【2017 课标 II，文 15】长方体的长、宽、高分别为 3,21，其顶点都在球 O的球面上，则球 的表面积为 【答案】 14.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2 2314,14.RSR【考点】球的表
9、面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.4.【2017 江苏，6】 如图,在圆柱 12,O内有一个球 ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱712,O的体积为 1V,球 O的体积为 2V,则 1的值是 .【答案】 32 【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，
10、则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 2016 年高考全景展示1.【2016 高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A） 12+3（B） 23（C） 6（D） 16【答案】C【解析】8考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.2. 2016 高考新课标文数如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面
11、体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） 18365 （B） 4185 （C）90 （D）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积 236235418S，故选 B考点：空间几何体的三视图及表面积【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解 3.【2016 高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 .9【答案】 3【解析】考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图4.【2016 高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是_cm 2,体积是_cm 3.【答案】80；40【解析】10考点：三视图.【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积
