1、1专题 23 立体几何中的角 2018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为 1， SE 与平面 ABCD 所成的角为 2，二面角 SABC 的平面角为 3，则A. 1 2 3 B. 3 2 1 C. 1 3 2 D. 2 3 1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设 O 为正方形 ABCD 的中心， M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD 于 F，过 O 作 ON
2、 垂直 EF于 N，连接 SO， SN， OM，则 SO 垂直于底面 ABCD， OM 垂直于 AB， 因此 从而 因为 ，所以 即，选 D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 2 【2018 年理数全国卷 II】在长方体 中， ， ，则异面直线 与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3 【2018 年浙江卷】如图，已知多面体 ABCA1B1C1， A1A，
3、 B1B， C1C 均垂直于平面 ABC， ABC=120，A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=22（）证明： AB1平面 A1B1C1； （）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值【答案】 （）见解析（）详解：方法一：（）由 得 ，所以 .故 .由 ， 得 ，由 得，由 ，得 ，所以 ，故 .因此 平面 .（）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .3由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，所以 是 与平面 所成的角.由 得，所以 ，故 .因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB， OC 为 x， y
4、轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此 由 得 .由 得 .所以 平面 .（）设直线 与平面 所成的角为 .由（）可知设平面 的法向量 .由 即 可取 .所以 .因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .4点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 1CA中， C120A， ， 1C，则异面直线 1A与 C所成角的余弦值为
5、（ ）A 32 B 5 C 105 D 3【答案】C【考点】 异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。2.【2017 浙江，9】如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥），
6、P， Q， R 分别为5AB， BC， CA 上的点， AP=PB， 2BQCRA，分别记二面角 DPRQ， DPQR， DQRP 的平面角为 ， ， ，则A 互补或相等，故有|cos |cos|= 。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。5.【2017 北京，理 16】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上， PD/平面 MAC， PA=PD= 6，AB=4（I）求证： M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小；（III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值【答案】 （）详
7、见解析：（） 3 ；（） 269 【解析】试题分析：（）设 ,ACBD交点为 E，连接 M， 因为线面平行， /PD平面 MAC,根据性质定理，可知线线平行，即 /P， 为 的中点，所以 为 B的中点；（）因为平面 PD平面ABCD， ，所以取 的中点 O为原点建立如图空间直角坐标系，根据向量法先求两平面的法向量， n和 p，再根据公式 cos,np ，求二面角的大小， （）根据（）的结论，直接求si|co,|M.试题解析：解：（I）设 ,ACBD交点为 E，连接 M.因为 PD 平面 ，平面 平面 P，所以 PDE .10因为 ABCD是正方形，所以 E为 BD的中点，所以 M为 PB的中点
8、.设平面 BDP的法向量为 (,)xyzn，则 0BDPn，即402xyz.令 1x，则 y， 2z.于是 (1,2).平面 A的法向量为 (0,)p，所以 1cos,|2n.所以直线 与平面 D所成角的正弦值为 269.11【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.6.【2017 天津，理 17】如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA底面 ABC， 90BAC
9、.点 D， E， N 分别为棱PA，P C， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4， AB=2. （）求证： MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 721，求线段 AH 的长.【答案】 （1）证明见解析（2） 1052 （3） 8 或 12 【解析】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法
10、向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为 0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出 AH的值.试题解析：如图，以 A 为原点，分别以 B， C， P方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0） ， B（2，0，0） ， C（0，4，0） ， P（0，0，4） ， D（0，0，2） ， E（0，2，2） ， M（0，0，1） ，N（1，2，0）.12（）证明： DE=（0，2，0） ， DB=（2，0， ）.设 (,)xyzn，为平面 BDE 的法向量，则
11、Bn，即 yxz.不妨设 1z，可得 (1,0).又 MN=（1，2， ） ，可得 0MNn.因为 MN平面 BDE，所以 MN/平面 BDE.（）依题意，设 AH=h（ 04） ，则 H（0，0， h） ，进而可得 (1,2)NHh， (2,)BE.由已知，得 2|7|cos, 2153NHBEh，整理得 2080h，解得 85，或 1h.所以，线段 AH 的长为 85或 1.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角13【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助
12、平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.7.【2017 浙江，19】（本题满分 15 分）如图，已知四棱锥 PABCD， PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， ADBC/， CD AD， PC=AD=2DC=2CB， E 为 PD 的中点（）证明： /CE平面 PAB；（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【答案】 （）见解析；（） 82【解析】试题分析：（）取 PA 中点 F，构造平行四边形 BCEF，可求证；（）由题取取 BC， AD 的中点为M， N ，可得 AD平面 PBN，即 BC平面 PBN，过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MH可知 M
13、H 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角依此可在 Rt MQH 中，求 QMH 的正弦值试题解析：（）如图，设 PA 中点为 F，连结 EF， FBMFHQNPABCDE14因为 E， F 分别为 PD， PA 中点，所以 ADEF/且 21，又因为 ADBC/， 21，所以 BC/且 ，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 FE/，因此 /E平面 PAB（）分别取 BC， AD 的中点为 M， N连结 PN 交 EF 于点 Q，连结 MQ因为 E， F， N 分别是 PD， PA， AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边形 B
14、CEF 中， MQ/CE由 PAD 为等腰直角三角形得 PN AD由 DC AD， N 是 AD 的中点得 BN AD所以 AD平面 PBN，由 BC/AD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MHMH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD=1在 PCD 中，由 PC=2， CD=1， PD= 2得 CE= ，在 PBN 中，由 PN=BN=1， PB= 3得 QH= 41，在 Rt MQH 中， QH= 41， MQ= 2，所以 sin QMH= 8， 所以直线 CE 与平
15、面 PBC 所成角的正弦值是 82【考点】证明线面平行，求线面角【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行15于另一平面 本题（1）是就是利用方法证明的另外，本题也可利用空间向量求解线面角8.【2017 江苏，22】 如图, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AA1平面
16、 ABCD,且 AB=AD=2,AA1= 3,20BAD.（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值.【答案】 （1） 7（2） 4【解析】解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AEAD，交 BC 于点 E.因为 AA1 平面 ABCD，所以 AA1 AE， AA1 AD.如图，以 ,AED为正交基底，建立空间直角坐标系 A-xyz.因为 AB=AD=2， AA1= 3， 120BA.则 11(0,)(,0)(,)(3,)(0,3),(,3)EC .(1) 11ABC，则 11(,)(,)cos, 77|A.因此异面直线 A1B 与 AC1所
17、成角的余弦值为 1.16从而 (3,0)(,2)3cos, 4|AEm,设二面角 B-A1D-A 的大小为 ，则 |cos|.因为 0,，所以 27sin14.因此二面角 B-A1D-A 的正弦值为 .【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.172016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 卷】平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,/平面 CB1D1,
18、I平面 ABCD=m,I平面 AB B1A1=n,则 m、 n 所成角的正弦值为(A) 32 (B) 2 (C) 3 (D)【答案】A【解析】试题分析：如图,设平面 1CBD平面 A= m,平面 1CBD平面 1A= n,因为 /平面 1CBD,所以 /,/mn,则 所成的角等于 ,n所成的角.延长 ,过 作 /EB,连接 ,则CE为 ,同理 1F为 ,而 1/EF,则 n所成的角即为 1D所成的角,即为 60,故 ,n所成角的正弦值为 32,选 A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角
19、、连线成形,解形求角、得钝求补.2.【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分为 12 分）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形, AF=2FD, 90AFD,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60（I）证明：平面 ABEF平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值18【答案】 （I）见解析（II） 219【解析】试题分析：（I）先证明 FA平面 DC,结合 FA平面 ,可得平面 FA平面 FDC （II ）建立空间坐标系 ,分别求出平面 的法向量 m及平面 C的法向量 n,再利用cos,nm求二面角 .又平面 CD
20、A平面 FC,故 /DA, /F由 /,可得 平面 ,所以 为二面角 C的平面角,F60从而可得 203所以 1,3, ,4, ,43, 4,0设 nxyz是平面 C的法向量,则0,即 04z,所以可取 3,nCADF19设 m是平面 CDA的法向量,则 C0mA,同理可取 0,34则 219cos,n故二面角 CA的余弦值为 219考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不
21、大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.3.【2016 高考新课标 3 理数】如图，四棱锥 PABC中， 地面 ABCD， A，ABDC， 4PAB， M为线段 D上一点， 2M， N为 P的中点（I）证明 MNA平面 PB；（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （）见解析；（） 852【解析】试题分析：（）取 PB的中点 T，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以 为坐标原点，以 ,DP所在直线分别为20,yz轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线 AN的方向向量与平面 PMN法向量的夹角来
22、处理 AN与平面 PMN所成角（）取 BC的中点 E，连结 A，由 CB得 BAE，从而 ADE，且5)2(2AE.以 为坐标原点，的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz，由题意知， )4,0(P， )0,(M， ),5(C， )2,1(N，,2， 2,1N， ,A.设 (,)nxyz为平面 P的法向量，则 0PNnM，即 0254zyx，可取 (,21)n，于是 |85|cos, 2nAN.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理
