1、1专题 24 立体几何中综合问题 文考纲解读明方向考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度空间向量及其应用理解直线的方向向量与平面的法向量;能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用掌握 解答题 分析解读 1.能运用共线向量、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;会求线线角、线面角;会求点点距、点面距等距离问题,从而培养用向量法思考问题和解决问
2、题的能力.2.会利用空间向量的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平行、垂直、长度、角、距离等问题,从而培养准确无误的运算能力.3.本节内容在高考中延续解答题的形式,以多面体为载体,求空间角的命题趋势较强,分值约为 12 分,属中档题.2018 年高考全景展示1 【2018 年浙江卷】已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为 1， SE 与平面 ABCD 所成的角为 2，二面角 SABC 的平面角为 3，则A. 1 2 3 B. 3 2 1 C. 1 3 2 D. 2 3 12【答案】D【解析
3、】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设 O 为正方形 ABCD 的中心， M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD 于 F，过 O 作 ON 垂直 EF于 N，连接 SO， SN， OM，则 SO 垂直于底面 ABCD， OM 垂直于 AB， 因此从而 因为 ，所以 即 ，选 D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 2 【2018 年全国卷 II 文】在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用正方体 中， ，将问题转化为求共
4、面直线 与 所成角的正切值，在 中进行计算即可.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.3 【2018 年浙江卷】如图，已知多面体 ABCA1B1C1， A1A， B1B， C1C 均垂直于平面 ABC， ABC=120，3A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2（）证明： AB1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面
5、 ABB1所成的角的正弦值【答案】 （）见解析（）【解析】分析:方法一：（）通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定理得结论， （）找出直线 AC1与平面 ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为 0 得出,再根据线面垂直的判定定理得结论， （）根据方程组解出平面 的一个法向量，然后利用 与平面 法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.（）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .4由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，所以 是 与平面 所成的角.由 得，所以 ，故 .因此，直线 与平面 所成的
6、角的正弦值是 . 方法二：（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB， OC 为 x， y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此 由 得 .由 得 .所以 平面 .5点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4 【2018 年天津卷文】如图，在四面体 ABCD 中， ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB的中点， AB=2， AD= ， BAD=90（
7、）求证： AD BC；（）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；（）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值【答案】()证明见解析；() ；() 【解析】分析：（）由面面垂直的性质定理可得 AD平面 ABC，则 AD BC （）取棱 AC 的中点 N，连接 MN， ND由几何关系可知 DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角计算可得则异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 （）连接 CM由题意可知 CM平面ABD则 CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角计算可得 即直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 6（）连接 CM因为 ABC 为等边三角形， M
8、 为边 AB 的中点，故 CM AB， CM= 又因为平面 ABC平面ABD，而 CM 平面 ABC，故 CM平面 ABD所以， CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角在 Rt CAD 中， CD= =4在 Rt CMD 中， 所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力5 【2018 年江苏卷】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB=AA1=2，点 P， Q 分别为 A1B1， BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（
9、2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量 的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.7（1）因为 P 为 A1B1的中点，所以 ，从而 ，故 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，
10、构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6 【2018 年江苏卷】在平行六面体 中， 8求证：（1） ；（2） 【答案】答案见解析【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形 ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利 用线面垂直判定定理得线 面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论. 详解：证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AB A1B1因为 AB 平面 A1B1C， A1B1 平面 A1B1C，所
11、以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1 A1B又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC又因为 A1B BC=B， A1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形” ，再如菱形
12、对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.7 【2018 年新课标 I 卷文】如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折痕将9折起，使点 到达点 的位置，且 （1）证明：平面 平面 ；（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到 =90，即 ，再结合已知条件 BA AD，利用线面垂直的判定定理证得 AB平面 ACD，又因为 AB 平面 ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面 ACD平面 ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关
13、垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得， =90， 又 BA AD，且 ，所以 AB平面 ACD又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，10在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可. 2017 年高考全景展示1.【2017 课标 3，文 9】已知圆柱的高为 1
14、，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B 4C 2 D 4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面， 1,2ACB，所以32rBC，那么圆柱的体积是22314Vrh，故选 B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.2.【2016 高考新课标 1 文数】平面 过正文体 ABCDA1B1C1D1的
15、顶点 A 1/CBD平 面 ,ABCDm平 面, 1ABn平 面 ,则 m,n 所成角的正弦值为（ ）（A） 32（B）（C） 3（D）【答案】A【解析】11考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.3.【2017 天津，文 11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92 【解析】【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外
16、接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，123.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.4.【2017 课标 II，文 18】如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PA为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,01,9.2ABCDBA（1）证明：直线 /平面 ;（2）若 P面积为 7，求四棱锥 PABC的体积
17、 .【答案】 （）见解析（）【解析】试题分析：（1）先由平几知识得 BCAD，再利用线面平行判定定理证结论， （2）取 AD 的中点 M，利用面面垂直性质定理证明 PM底面 ABCD，得四棱锥的高，再通过平几计算得底面直角梯形面积，最后代入椎体体积得体积.试题解析：（1）在平面 ABCD 内，因为BAD=ABC=90，所以 BCAD.又 BCPAD平 面 ，ADP平 面，故 BC平面 PAD.（2）取 AD 的中点 M，连结 PM，CM，由12ABCD及 BCAD，ABC=90得四边形 ABCM 为正方形，则 CMAD.13【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、
18、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.5.【2017 课标 3，文 19】如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD=CD（1）证明： AC BD；（2）已知 ACD 是直角三角形， AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比【答案】（1）详见解析；（2）1【解析】试题分析：（1）取 AC中点 O，由等腰三角形及等比三角形性质得 ODAC， B，再根据线面垂直判定定理得
19、平面 BD，即得 ACBD；（2）先由 AEEC，结合平几知识确定ECA，再根据锥体体积公式得，两者体积比为 1:1.试题解析：（1）证明：取 中点 ，连 , D， O为 A中点， A，又 BC是等边三角形，14 OBAC，又 D， AC平面 OBD， 平面 B， . 【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.6.【2017 北京，文 18】如图，在三棱锥 PABC 中， PA AB， PA BC， AB
20、 BC， PA=AB=BC=2， D 为线段 AC的中点， E 为线段 PC 上一点（）求证： PA BD；（）求证：平面 BDE平面 PAC；15（）当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积【答案】详见解析【解析】试题解析：证明： （I）因为 PAB， C，所以 PA平面 BC，又因为 BD平面 C，所以 D.（II）因为 ABC， D为 A中点，所以 BDAC，由（I）知， P，所以 平面 P，所以平面 E平面 .（III）因为 平面 ，平面 平面 E，所以 PAD .因为 为 C的中点，所以 12EPA， 2BDC.由（I）知， 平面 ，所以 平面 .所以三棱锥 EB的体积
21、163VE.【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.2016 年高考全景展示161.【2016 高考新课标 1 文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是（ ）283（A）17 （B）18
22、（C）20 （D）28 【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 2.【2016 高考新课标 1 文数】 （本题满分 12 分）如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形, PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点
23、E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由）,并求四面体 PDEF的体积17PABDCGE【答案】 （I）见解析（II）作图见解析,体积为 43【解析】试题分析：先证明 .ABPG由 B可得 是 A的中点. （II）在平面 PAB内,过点 E作 P的平行线交 于点 F, 即为 E在平面 C内的正投影.要求四面体 DEF的体积可先证明 D平面P,把 DE看作高,求出高及底面积 ,即可确定体积.试题解析：（I）因为 在平面 内的正投影为 ,所以 .B因为 D在平面 PAB内的正投影为 E,所以 .ABD所以 平面 ,故 .PG又由已知可得, ,从而 是 的中点. （II）在平面 内,过点
24、作 的平行线交 于点 F, 即为 E在平面 PAC内的正投影.理由如下：由已知可得 BA, C,又 /EPB,所以 ,因此 F平面 ,即点 F为 E在平面 PC内的正投影.连接 G,因为 在平面 内的正投影为 D,所以 是正三角形 的中心.由（I）知, 是 的中点,所以 在 G上,故 2.3由题设可得 P平面 AB, E平面 PAB,所以 /EPC,因此 21,.3PGDEC由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 6,可得 2. 18在等腰直角三角形 EFP中,可得 2.F所以四面体 D的体积 1433V 考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证
25、明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.3.2016 高考新课标文数如图，四棱锥 PABC中， 平面 ABCD， A，3ABDC， 4PAB， M为线段 D上一点， 2M， N为 P的中点（I）证明 MNA平面 PB；（II）求四面体 C的体积.【答案】 （）见解析；（） 453【解析】试题分析：（）取 PB的中点 T，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由
26、条件可知四面体 BC的高，即点 N到底面的距离为棱 的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得 23ADM，取 BP的中点 T，连接 A,，由 为 P中点知BCTN/， 21. 3 分又 AD，故 TA，四边形 NT为平行四边形，于是 MN/.因为 平面 P， 平面 PAB，所以 /平面 PAB. 6 分19考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积 【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解
