1、1专题 28 离散性随机变量与期望 考纲解读明方向考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.离散型随机变量及其分布列理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用理解2017 课标全国,18;2016 课标全国,19;2015 天津,16;2013 课标全国,19解答题 2.离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题掌握2017 浙江,8;2014 湖南,17;2015 福建,16选择题解答题 分析解读 1.会
2、求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为 12 分,属中高档题.1.条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布, 考纲解读考点 内容解读 要求 高考示 例常考题型预测热度并能解决一些简单的实际问题掌握2017 课标全国,13;2015 课标,4;2014 课标,5选择题解答题 2.正态分布及其应用利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 了解2017 课标
3、全国,19;2015 湖南,7;2015 湖北,4选择题解答题 分析解读 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件的概率求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率及正态分布均为近几年高考的热点.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,难度为易或中等,分值约为 5 分或 12 分.2018 年高考全景展示1.【2018 年浙江卷】设 0 = 【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有 1 部获得好评为第四类电影获得好评第五
4、类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从 0-1 分布，因此 ，即得 = 详解：解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为 点睛：互斥事件概率加法公式：若 A,B 互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若 A,B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B).5 【2018 年理新课标 I 卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一
5、箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 5（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;（ii）以检验费用与
6、赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】(1) .(2) （ i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.详解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此.令 ，得 .当 时， ；当 时， .所以 的最大值点为 .（2）由（1）知， .（i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即.所以 .（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来
7、研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.2017 年高考全景展示1.【2017 浙江，8】已知随机变量 i满足 P（ i=1）= pi， P（ i=0）=1 pi， i=1，2 若 0 C ， ， 2【答案】 A【解析】6试题分析： 1212(),(),()EpE1 21212() ()()0DpDpp，选 A【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出 X取各个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量
8、，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数由已知本题随机变量 i服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得 A 正确2.【2017 课标 II，理 13】一批产品的二等品率为 0.2，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取10次， 表示抽到的二等品件数，则 D 。【答案】 .96【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 10,2XB，由二项分布的期望公式可得 10.2981.6DXnp。【考点】 二项分布的期望与方差【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为 n 次独立重复试验。在每次试验
9、中事件 A 发生的概率是否均为 p。二是随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数。且 1nkknXCp表示在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率。3.【2017 山东，理 18】 （本小题满分 12 分 ）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4 名女志愿者 B1， B2， B3， B4，从中随机抽取 5 人接受甲种
10、心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 1的频率。（II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX.【答案】 （I） 5.18(II)X 的分布列为X 0 1 2 3 47P 142521102521142X 的数学期望是 EX.【解析】试题分析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1A但不包含 1B的事件为 M，计算即得(II)由题意知 X 可取的值为： 0,1234.利用超几何分布概率计算公式得 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 142521052112进一步计算 X 的数学期望.试题解析：（
11、I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1A但不包含 1B的事件为 M，则48510().CP(II)由题意知 X 可取的值为： 0,1234.则5610(),4CP6510(),2X364510(),CP2364510(),X46510(),2CP因此 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 1425210521128X 的数学期望是 0()1()2()3()4()EXPXPXP= 15150234.4【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研
12、究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.4.【2017 北京，理 17】为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理 指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A，B，C，D 四人中随机.选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望
13、 E（ ）； （）试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 的 大 小 .（ 只 需 写 出 结 论 ）【答案】 （）0.3；（）详见解析；（）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 y数据的方差.【解析】9（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 x的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.所以 的所有可能取值为 0,1,2.2122444CCC1 1(0),(),()636PPP.所以 的分布列为0 1 2P162316故 的期望 2()013E.（）在这 100 名患者
14、中，服药者指标 y数据的方差大于未服药者指标 y数据的方差.【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义.【名师点睛】求分布列的三种方法1由统计数据得到离散型随机变量的分布列；2由古典概型求出离散型随机变量的分布列；3由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列5.【2017 天津，理 16】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 1,234.（）设 X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这
15、 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.【答案】 (1) 13 (2) 4810【解析】试题分析： X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 , X的所有可能取值为 0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量 的分布列并计算数学期望， Y表示第一辆车遇到红灯的个数， Z表示第二辆车遇到红灯的个数，这 2 辆车共遇到 1 个红灯就是包括第一辆遇到 1 次红灯且第 2 辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第 2 辆遇上 1 次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（）随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3.(0)(1)(34PX，111)()()22342342，()(，134PX.所以，随机变量 的
16、分布列为0 1 2 3P142414124随机变量 X的数学期望 3() 2EX.（）设 Y表示第一辆车遇到红灯的个数， Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(,0)()1()0)PZZPYPYZPYZ 4248.所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 148.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科
17、高考数学必考问题.6.【2017 课标 3，理 18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：11最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数2 1636257 4以最高
18、气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【解析】试题分析：(1) X 所有的可能取值为 200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；(2)由题中所给条件分类讨论可得 n=300 时， Y 的数学期望达到最大值 520 元.试题解析：（1）由题意知， 所有的可能取值为 20
19、0,300,500，由表格数据知21600.9PX，360.49PX，257400.9PX.因此 的分布列为 235P0.2 0.4 0.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 205n 当 305n 时，若最高气温不低于25，则 642Yn ，若最高气温位于区间 20,，则 304120nn;若最高气温低于20，则 8 ;因此 .41.482 .6.EYnn .当 203 时，若最高气温不低于20，则 6Y ;若最高气温低于20，则 204802nn ;12因此 20.4802.160.2EYnnn .所以 n=300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值
20、为 520 元.【考点】 离散型随机变量的分布列；数学期望；【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量 X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是 pi0( i1,2，)；二是p1 p2 pn1 检验分布列的正误.7.【2017 江苏，23】 已知一个口袋有 m个白球, n个黑球( ,*,2mnN ),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,3, 的抽屉内，其中第 k次取出的球放入编号为 k的抽屉 (1,23,)n .1 2 3 mn （1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p
21、;（2）随机变量 X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数 , ()EX是 的数学期望,证明:()(1nEm【答案】 （1） （2）见解析【解析】解:(1) 编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p为: 1C nm. (2) 随机变量 X 的概率分布为: X 1n12n 1k 1mnP 1Cmnn1Cmn 1Cnm 1Cn随机变量 X 的期望为： 1(1)!()CnnkkkmEkn.所以 (2)!(2)!()1()Cn mnk kX n 2211()Cnnmnm13122(CC)()nnnmm122()()nn12(C)()nnm 1()()nm()1EXn.【考点】古典概型概率、随机变量及
22、其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项
23、分布 (,)XBnp:)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期 望公式( ()EXnp)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.2016 年高考全景展示1.【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：14以这 100 台机器更换的易损零件数
24、的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求 X的分布列；（II）若要求 ()0.5P,确定 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n与 20之中选其一,应选用哪个？【答案】 （I）见解析（II）19（III） 19n【解析】试题分析：（I）先确定 X 的取值分别为 16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出 n=9,n=20 的期望,根据 19n时所需费用
25、的期望值小于 20n时所需费用的期望值 ,应选 19n.试题解析：（）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而04.2.)16(XP；167； 24.)8(；02019XP；4.)2(；8；0)(XP.所以 的分布列为15X16 17 18 19 20 21 22P04.16.2402.084.（）由（）知 )8(XP, 6)19(XP,故 n的最小值为 19.（）记 Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 19n时, 08.)52019(2.)502(6.0 E4)530(.
26、当 2时, 04.)520(8.0)520(8. EY 8.可知当 19n时所需费用的期望值小于 n时所需费用的期望值,故应选 19n.考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.2.【2016 高考新课标 2 理数】某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保费 0.85a1.25a1.5 1.75a2设该险种一续保人一年内出险次
27、数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】 （）0.55；（） ；（） 1.23.【解析】试题分析：（）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于 3，由条件概率公式求解；（）记续保人本年度的保费为 X，求 的分布列，再根据期望公式求解.16（）记续保人本年度
28、的保费为 X，则 的分布列为0.85a1.25a.1.75a2P3.00.0.85.3.1212EXa因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A) ，求 P(B|A)；P ABP A(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A) .n ABn A求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量 X 的意
29、义，写出 X 可能取得的全部值；(2)求 X 的每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)由均值定义求出 E(X)3.【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分）A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时） ；A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计 C 班的学生人数；（2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对
30、独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；17（3）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时） ，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 1 ，表格中数据的平均数记为 0 ，试判断 0和1的大小， （结论不要求证明）【答案】 （1）40；（2） 38；（3） 10.【解析】试题分析：（）根据图表判断 C 班人数，由分层抽样的抽样比计算 C 班的学生人数；（）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率.（）根据平均数公式进行判断即可.设事件 E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时
31、间长” ，由题意知， 323132121 CACACA 45534214因此 )()()()()()()()() 3231332212211 CAPCAPCAPCAPEP 8401545352515342414 （3）根据平均数计算公式即可知， 01.考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式18)(1)(AP，即运用逆向思维的方法 (正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重
32、复或遗漏.特别是对于含“至多” “至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.4.【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分.已知甲每轮猜对的概率是 4，乙每轮猜对的概率是 23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（） “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX.【答案】 （） 2
33、（）分布列见解析， 236E【解析】试题分析：（）找出“星队”至少猜对 3 个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（）由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到 X 的分布列，根据期望公式求解.试题解析：()记事件 A:“甲第一轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”.由题意， .ABCACA 由事件的独立性与互斥性， PEDPBDPBCDABCACAP 32123132=444.,19所以“星队”至少猜对
34、 3 个成语的概率为 23.()由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 110434PX, 210523472,13125434431,123PX,2605=44142,316.可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P 45741521所以数学期望 3121246E.考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式
35、和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.5. 【2016 高考天津理数】 （本小题满分 13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,.现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.（I）设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率；（II）设 X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布列和数学期望. 【答案】 （） 13（）详见解析【解析】20试题分析：（）先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事
36、件种数： 210C，再确定选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 所包含基本事件数： 134C，最后根据概率公式求概率（）先确定随机变量可能取值为 0,12.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解： ()由已知，有12340,CPA所以，事件 发生的概率为 13. ()随机变量 X的所有可能取值为 0,2.223410CP5，342107X，342105CP.所以，随机变量 X分布列为 012P41575415随机变量 X的数学期望 74021EX.考点：概率，概率分布与数学期望【名师点睛】求均值、方差的方法1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2已知随机变量 的均值、方差，求 的线性函数 ab 的均值、方差和标准差，可直接用 的均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解
