1、1专题 30 推理与证明 考纲解读明方向考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异掌握2017北京,14;2016课标全国,15;2015福建,15;2014课标,14填空题 2.直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.(2)了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、
2、特点了解2017江苏,19;2016江苏,20;2015北京,20解答题 23.数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题掌握 2017浙江,22 解答题 分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳猜想证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为 5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为 12分,属中高档题.2017年高考全景展示1. 【2017 课标 II，理 7】甲、乙
3、、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(
4、前提和推理形式都正确的前提下)。2.(2017北京,14,5 分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.记 Qi为第 i名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3中最大的是 ; 记 pi为第 i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3中最大的是 . 3答案 Q 1 p 23.(2017江苏,19,16 分)对于给定的正整数 k,若数列a n满足:a n-k+an-k+1+an-1+an+1+a
5、n+k-1+an+k=2kan对任意正整数 n(nk)总成立,则称数列a n是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列a n是“P(3)数列”;(2)若数列a n既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:a n是等差数列.(2)数列a n既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当 n3 时,a n-2+an-1+an+1+an+2=4an,当 n4 时,a n-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,a n-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代入,得 an-1+an+1=2an,其中
6、n4,所以 a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为 d.在中,取 n=4,则 a2+a3+a5+a6=4a4,所以 a2=a3-d,在中,取 n=3,则 a1+a2+a4+a5=4a3,所以 a1=a3-2d,所以数列a n是等差数列.4.(2017北京,20,13 分)设a n和b n是两个等差数列,记 cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann(n=1,2,3,),其中 maxx1,x2,xs表示 x1,x2,xs这 s个数中最大的数.(1)若 an=n,bn=2n-1,求 c1,c2,c3的值,并证明c n是等差数列;(2)证明:或者对任意正数 M,存在正整数 m,当 nm
7、时,M;或者存在正整数 m,使得 cm,cm+1,cm+2,是等差数4列.解析 本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.当 n3 时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0时,取正整数 m,则当 nm 时,nd 1d2,因此 cn=b1-a1n.此时,c m,cm+1,cm+2,是等差数列.当 d1
8、=0时,对任意 n1,cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1).此时,c 1,c2,c3,cn,是等差数列.当 d1时,有 nd1max,故当 nm 时,M.2016年高考全景展示1.【2016 高考新课标 2理数】有三张卡片，分别写有 1和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 5【答案】1 和 3考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎” ，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.
