1、1提分专练(五) 与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型 1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题 1.如图 T5-1,在 ABC 中, AB=AC,AD BC,CE AB,AE=CE.求证:(1) AEF CEB;(2)AF=2CD.图 T5-122.2017苏州 如图 T5-2, A= B,AE=BE,点 D 在 AC 边上,1 =2, AE 和 BD 相交于点 O.(1)求证: AEC BED;(2)若1 =42,求 BDE 的度数 .图 T5-23.2017呼和浩特 如图 T5-3,等腰三角形 ABC 中, BD,CE 分别是两腰上的中线 .(1)求证: BD=CE;(2)设 BD
2、与 CE 相交于点 O,点 M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点 .当 ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时,判断四边形 DEMN 的形状,无需说明理由 .图 T5-334.如图 T5-4, ACB 和 DCE 均为等腰三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.若 CAB= CBA= CDE= CED=50.(1)求证: AD=BE;(2)求 AEB 的度数 .图 T5-44|类型 2| 全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图 T5-5,在 ABC 中, AD BC,CE AB,垂足分别为 D,E,AD,CE 交于点 H,请你添加一个适当条件 ,使AEH CEB. 图
3、 T5-56.如图 T5-6,在 ABC 中, C=90,AD 平分 CAB,交 CB 于点 D,过点 D 作 DE AB 于点 E.(1)求证: ACD AED;(2)若 B=30,CD=1,求 BD 的长 .图 T5-65|类型 3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图 T5-7, ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形, ACB= ECD=90,D 为 AB 边上一点 .(1)求证: ACE BCD;(2)求证:2 CD2=AD2+DB2.图 T5-768.如图 T5-8,在 ABC 和 BCD 中, BAC= BCD=90,AB=AC,CB=CD.延长 CA 至点 E,
4、使 AE=AC;延长 CB 至点 F,使 BF=BC.连接 AD,AF,DF,EF,延长 DB 交 EF 于点 N.(1)求证: AD=AF;(2)求证: BD=EF.图 T5-87参考答案1.证明:(1) AD BC,CE AB, BCE+ B=90, FAE+ B=90, FAE= BCE.在 AEF 和 CEB 中,=,=,=, AEF CEB(ASA).(2) AB=AC,AD BC, BC=2CD. AEF CEB, AF=BC, AF=2CD.2.解析 (1)用 ASA 证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出 EC=ED, C= BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角
5、,即可求出 C 的度数,进而得到 BDE 的度数 .解:(1)证明: AE 和 BD 相交于点 O, AOD= BOE.在 AOD 和 BOE 中, A= B, BEO=2 .又1 =2,1 = BEO, AEC= BED.8在 AEC 和 BED 中, =,=,=, AEC BED(ASA).(2) AEC BED, EC=ED, C= BDE.在 EDC 中, EC=ED,1 =42, C= EDC=69, BDE= C=69.3.解:(1)证明: AB,AC 为等腰三角形的两腰, AB=AC. BD,CE 分别是两腰上的中线, AE=AD.在 AEC 与 ADB 中,=,=,=, AEC
6、 ADB, BD=CE.(2)四边形 DEMN 为正方形 .4.解:(1)证明: CAB= CBA= CDE= CED=50, AC=BC,DC=EC, ACB= DCE=180-250=80.9 ACB= ACD+ DCB, DCE= DCB+ BCE, ACD= BCE.在 ACD 和 BCE 中,=,=,=, ACD BCE(SAS), AD=BE.(2) ACD BCE, ADC= BEC.点 A,D,E 在同一直线上,且 CDE=50, ADC=180- CDE=130, BEC=130. BEC= CED+ AEB,且 CED=50, AEB= BEC- CED=130-50=80
7、.5.AE=EC(答案不唯一) 解析 根据垂直关系,可以判断 AEH 与 CEB 有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了 . AD BC,CE AB,垂足分别为 D,E, BEC= AEC= HDC=90,在 Rt AEH 中, EAH=90- AHE,在 Rt CDH 中, DCH=90- DHC,又 AHE= DHC, EAH= BCE.10所以根据 AAS 可添加 AH=CB 或 EH=EB;根据 ASA 可添加 AE=CE.故答案为 AH=CB 或 EH=EB 或 AE=CE 等 .6.解:(1)证明: AD 平分 CAB, CAD= EAD. DE AB, C=9
8、0, ACD= AED=90.又 AD=AD, ACD AED.(2) ACD AED, DE=CD=1. B=30, DEB=90, BD=2DE=2.7.证明:(1) ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形, AC=BC,CD=CE, ACB= DCE=90, ACE+ ACD= BCD+ ACD, ACE= BCD,在 ACE 和 BCD 中,=,=,=, 11 ACE BCD(SAS).(2) ACB 是等腰直角三角形, B= BAC=45. ACE BCD, B= CAE=45. DAE= CAE+ BAC=45+45=90, AD2+AE2=DE2.由(1)知 AE=DB, AD2+DB2=DE2,又 DE2=2CD2,2 CD2=AD2+DB2.8.证明:(1) AB=AC, BAC=90, ABC= ACB=45, ABF=135. BCD=90, ACD=135. ABF= ACD, CB=CD,CB=BF, BF=CD.在 ABF 和 ACD 中,=,=,=, ABF ACD(SAS), AD=AF.(2)由(1)知, AF=AD, ABF ACD,12 FAB= DAC. BAC=90, EAB= BAC=90, EAF= BAD.在 AEF 和 ABD 中,=,=,=, AEF ABD(SAS), BD=EF.
