1、1课时训练(二十四) 平行四边形|夯实基础|1.如图 24-7,在 ABCD中, M是 BC延长线上的一点,若 A=135,则 MCD的度数是 ( )图 24-7A.45 B.55C.65 D.752.如图 24-8,ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,已知 AD=8,BD=12,AC=6,则 OBC的周长为 ( )图 24-8A.13 B.17C.20 D.263.2018泸州 如图 24-9,ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,E是 AB的中点,且 AE+EO=4,则 ABCD的周长为( )图 24-9A.20 B.16C.12 D.84.2016株洲 如图 24-10,已知四边
2、形 ABCD是平行四边形,对角线 AC,BD交于点 O,E是 BC的中点,以下说法错误的是 ( )2图 24-10A.OE= DC B.OA=OC12C. BOE= OBA D. OBE= OCE5.A,B,C是同一平面内不在同一条直线上的三个点, D是该平面上的一点,若 A,B,C,D恰为一平行四边形的四个顶点,则可选择的点 D有 ( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个6.四边形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 O,给出下列四个条件: AD BC, AD=BC, OA=OC, OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形 ABCD为平行四边形的选法有 ( )A.3种 B.4种C.5种
3、 D.6种7.2016青山区二模 如图 24-11,P为平行四边形 ABCD边 AD上一点, E,F分别为 PB,PC的中点, PEF, PDC,PAB的面积分别为 S,S1,S2,若 S=2,则 S1+S2等于( )图 24-11A.12 B.6 C.8 D.48.2016包头样题 如图 24-12,在 ABCD中, AC与 BD交于点 O,E为 AB上一点,且 AE=2EB,连接 CE交 BD于点 F,则 S BEF与 S COF的比值为 ( )3图 24-12A.13 B.12C.23 D.349.2017连云港 如图 24-13,在平行四边形 ABCD中, AE BC于点 E,AF C
4、D于点 F.若 EAF=56,则 B= . 图 24-1310.2016十堰 如图 24-14,在 ABCD中, AB=2 cm,AD=4 cm,AC BC,则 DBC比 ABC的周长长 cm.13图 24-1411.2018淄博 在如图 24-15所示的 ABCD中, AB=2,AD=3,将 ACD沿对角线 AC折叠,点 D落在 ABC所在平面内的点 E处,且 AE过 BC的中点 O,则 ADE的周长等于 . 图 24-1512.2018 衡阳 如图 24-16,ABCD的对角线相交于点 O,且 AD CD,过点 O作 OM AC,交 AD于点 M.如果 CDM的周长为 8,那么 ABCD的
5、周长是 . 4图 24-1613.2018临沂 如图 24-17,在 ABCD中, AB=10,AD=6,AC BC,则 BD= . 图 24-1714.如图 24-18,在 ABCD中,连接 BD,AD BD,AD=4,sinA= ,则 ABCD的面积是 . 34图 24-1815.如图 24-19,在 ABCD中, E为 AD的中点, BE,CD的延长线相交于点 F.若 DEF的面积为 1,则 ABCD的面积等于 .图 24-1916.2015东河区一模 如图 24-20,在 ABCD中,点 E在 AB上, CE,BD相交于点 F.若 AEBE= 4 3且 BF=3,则 BD= .图 24
6、-2017.ABCD的周长为 64 cm,两组对边的距离分别为 3 cm和 5 cm,则这个平行四边形的面积为 cm2. 18.如图 24-21,在 ABCD中, AE BC于点 E,AF CD于点 F, EAF=45,若 AE+AF=2 ,则 ABCD的周长为 .25图 24-2119.2018包头 如图 24-22,在 ABCD中, AC是一条对角线, EF BC,且 EF与 AB相交于点 E,与 AC相交于点F,3AE=2EB,连接 DF.若 S AEF=1,则 S ADF的值为 . 图 24-2220.2016包头样题 如图 24-23,在 ABCD中, AD=2AB,F是 AD的中点
7、,作 CE AB,垂足 E在线段 AB上,连接 EF,CF,则下列结论中一定成立的是 .(填写所有正确结论的序号) DCF= BCD; EF=CF; S BEC=2S CEF; DFE=3 AEF.12图 24-2321.如图 24-24,在 ABCD中, E是 BC的中点,连接 AE并延长交 DC的延长线于点 F.(1)求证: AB=FC;(2)连接 DE,若 AD=2AB,求证: DE AF.图 24-24622.2017毕节 如图 24-25,在 ABCD中,过点 A作 AE DC,垂足为 E,连接 BE,F为 BE上一点,且 AFE= D.(1)求证: ABF BEC;(2)若 AD=
8、5,AB=8,sinD= ,求 AF的长 .45图 24-257|拓展提升|23.2017绥化 如图 24-26,在平行四边形 ABCD中, AC,BD相交于点 O,E是 OA的中点,连接 BE并延长交 AD于点F,已知 S AEF=4,则下列结论: = , S BCE=36, S ABE=12, AEF ACD,其中一定正确的是 ( )AFFD12图 24-26A. B.C. D.24.如图 24-27,ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,AE平分 BAD交 BC于点 E,且 ADC=60,AB= BC,连接 OE.下列结12论: CAD=30; SABCD=ABAC; OB=AB; O
9、E= BC.其中成立的有 ( )14图 24-27A.1个 B.2个C.3个 D.4个25.2018青山区二模 如图 24-28,在平行四边形 ABCD中, DAB的平分线交 CD于点 E,交 BC的延长线于点G, ABC的平分线交 CD于点 F,交 AD的延长线于点 H,AG与 BH交于点 O,连接 BE,下列结论中错误的是 ( )8图 24-28A.BO=OH B.DF=CEC.DH=CG D.AB=AE26.2018通辽 如图 24-29,ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,DE平分 ADC交 AB于点 E, BCD=60,AD= AB,连12接 OE.下列结论: SABCD=ADB
10、D; DB平分 CDE; AO=DE; S ADE=5S OFE.其中正确的有 ( )图 24-29A.1个 B.2个 C.3个 D.4个27.2018抚顺 如图 24-30,在 ABC中, AB=BC,BD AC于点 D, FAC= ABC,且 FAC在 AC下方 .点 P,Q分别是12射线 BD,AF上的动点,且点 P不与点 B重合,点 Q不与点 A重合 .连接 CQ,过点 P作 PE CQ于点 E,连接 DE.(1)若 ABC=60,BP=AQ.如图(a),当点 P在线段 BD上运动时,请直接写出线段 DE和线段 AQ的数量关系和位置关系;如图(b),当点 P运动到线段 BD的延长线上时
11、,试判断中的结论是否成立,并说明理由 .(2)若 ABC=2 60,请直接写出当线段 BP和线段 AQ满足什么数量关系时,能使(1)的结论仍然成立(用含 的三角函数表示) .9图 24-3010参考答案1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A9.56 解析 根据四边形的内角和,由垂直的性质可求得 C=360-90-90-56=124,再根据平行四边形的性质可求得 B=56.10.411.10 解析 由 AD CB,AC平分 DAE可得 OA=OC. O为 BC的中点, OB=OC=OA, B= BAO. B= D, D= E, BAO= E, EC AB, D,C,E在同
12、一条直线上,从而可得AE=AD=3,ED=4, ADE的周长为 10.12.16 解析 在 ABCD中, AD=BC,AB=CD. O为 AC的中点, OM AC, MO为 AC的垂直平分线, MC=MA, CDM的周长 =MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8,平行四边形 ABCD的周长 =2(AD+CD)=16.13.4 解析 如图,过点 D作 DE BC交 BC的延长线于点 E,则四边形 ACED为矩形, DE=AC,CE=AD.四边形13ABCD是平行四边形, BC=AD=6. AC BC, AC= =8=DE. BE=BC+CE=6+6=12, BD= =4 .102-6
13、2 122+82 1314. 解析 因为 AD BD,所以在 Rt ADB中,sin A= = .设 DB=3x,AB=4x.因为 AB2=DB2+AD2,所以 16x2=9x2+16,所487 7 DBAB34以 x= ,所以 BD= ,所以 ABCD的面积 =4 = .47 7 127 7 127 7487 715.416.1017.601118.819. 解析 由 3AE=2EB,得 = .由 EF BC易证得 AEF ABC,所以 = .又因为 S AEF=1,所以 S ABC= .因为 AC52 AEEB23 S AEFS ABC425 254是 ABCD的对角线,所以 S ADC=
14、 .又因为 = = ,所以 S ADF= S ADC= = .254 AFFCAEEB23 25 25 2545220.21.证明:(1)四边形 ABCD是平行四边形, AB DF(平行四边形的两组对边分别平行), BAE= F(两直线平行,内错角相等) . E是 BC的中点, BE=CE.在 AEB和 FEC中, BAE= F, AEB= FEC,BE=CE, AEB FEC(AAS), AB=FC(全等三角形的对应边相等) .(2)四边形 ABCD是平行四边形, AB=CD(平行四边形的对边相等) . AB=FC,DF=CD+FC, DF=2FC, DF=2AB. AD=2AB, AD=D
15、F. AEB FEC, AE=FE(全等三角形的对应边相等), DE AF(等腰三角形三线合一) .22.解:(1)证明:四边形 ABCD为平行四边形,12 AB CD,AD BC, D+ C=180, ABF= BEC. AFE+ AFB=180, AFE= D, AFB= C, ABF BEC.(2) AE DC,sinD= ,45 AE=ADsinD=5 =4,45 BE= = =4 .AE2+AB2 42+82 5四边形 ABCD为平行四边形, BC=AD=5. ABF BEC, = ,即 = , AF=2 .AFBCABBE AF5 845 523.D 解析 因为四边形 ABCD是平
16、行四边形,所以 AD BC, AEF CEB,所以 = = ,AD=BC,所以 AF= FD,故正确;AFBCAEEC13 12=( )2= ,所以 S BCE=36,故正确;因为 ABE底边 AE上的高与 BCE底边 CE上的高相等,所以它们的面积之比等S AEFS BCEAFBC19于底的比,所以有 = = ,所以 S ABE=12,故正确;由已知条件不能证明 AEF ACD,故不正确 .故选 D.S ABES BCEAECE1324.C 解析 四边形 ABCD是平行四边形, ABC= ADC=60, BAD=120. AE平分 BAD, BAE= EAD=60, ABE是等边三角形, A
17、E=AB=BE, AEB=60. AB= BC, BE= BC,12 1213 CE=BE=AE, ACB=30, CAD=30,故正确 .由 BAD=120, CAD=30,易得 BAC=90, SABCD=ABAC,故正确 .在 Rt OAB中, OB为斜边, AB为直角边, ABAB, AODE,故错误;12 12 AE=BE,DO=BO, OE= AD,且 OE AD,12 S ADF=4S OFE.又 S AFE S OFE, S ADF+S AFE5 S OFE,14即 S ADE5 S OFE,故错误 .综上所述,选 B.27.解:(1) DE AQ,DE= AQ.理由如下:12
18、连接 CP,PQ. AB=BC,BD AC, FAC= ABC, ABC=60,12 ABC为等边三角形, AD=CD, CBP= ABD= CAQ=30, AC=BC, BAC= ACB=60.在 AQC和 BPC中,AQ=BP, CAQ= CBP,AC=BC, AQC BPC, CQ=CP, ACQ= BCP, PCQ= ACB=60, PQC为等边三角形 . PE CQ, E是 CQ的中点 .又 D是 AC的中点, DE AQ,DE= AQ.12成立 .理由如下:连接 CP,PQ.15 AB=BC,BD AC, FAC= ABC, ABC=60,12 ABC为等边三角形, AD=CD,
19、CBP= ABD= CAQ=30, AC=BC, BAC= ACB=60.在 AQC和 BPC中,AQ=BP, CAQ= CBP,AC=BC, AQC BPC, CQ=CP, ACQ= BCP, PCQ= ACB=60, PQC为等边三角形 . PE CQ, E是 CQ的中点 .又 D是 AC的中点, DE是 ACQ的中位线, DE AQ,DE= AQ.12(2) ABC=2 60, AB=BC,BD AC, FAC= ABC,12 ABD= CAQ= , ABD+ BAC=90,即 BAQ= BAC+ CAQ=90. DE AQ,DE= AQ,12 E是 CQ的中点, PE是线段 CQ的垂直平分线 .连接 CP,PQ,AP.16 AB=BC,BD AC, BP是线段 AC的垂直平分线, PC=PQ=PA,即 APQ为等腰三角形 .过点 P作 PM AQ交 AQ于点 M,则 AM= AQ, PMA=90,12 AB PM.过点 M作 MN BP交 AB于点 N,则四边形 NBPM是平行四边形, BP=MN, ANM= ABP=.在 Rt ANM中,sin ANM=sin= = = ,AMMN12AQBPAQ2BP AQ=2BPsin.故当线段 BP和线段 AQ满足 AQ=2BPsin 时,能使(1)的结论仍然成立 .
