1、1提分专练(七) 圆中的相关计算与证明(18 年 22 题,17 年 24 题,16 年 25 题)|类型 1| 切线的性质相关证明或计算1.2018东城期末 如图 T7-1,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径的 O 与边 BC,AC 分别交于点 D,E.DF 是 O 的切线,交 AC 于点 F.(1)求证: DF AC;(2)若 AE=4,DF=3,求 tanA.图 T7-122.2018怀柔期末 如图 T7-2,已知 AB 是 O 的直径,点 M 在 BA 的延长线上, MD 切 O 于点 D,过点 B 作 BN MD 交 MD延长线于点 C,连接 AD 并延长,交 BN 于点
2、 N.(1)求证: AB=BN;(2)若 O 的半径长为 3,cosB= ,求 MA 的长 .25图 T7-23.2018门头沟期末 如图 T7-3,在 Rt ABC 中, ACB=90,点 D 是 AB 边上一点,以 BD 为直径的 O 与边 AC 相切于点 E,连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F.(1)求证: BD=BF;(2)若 CF=2,tanB= ,求 O 的半径 .43图 T7-334. 2018密云期末 如图 T7-4,AB 是 O 的直径, C,D 是 O 上两点, = .过点 B 作 O 的切线 l,连接 AC 并延长交l 于点 E,连接 AD 并延长交 l
3、 于点 F.(1)求证: AC=CE.(2)若 AE=8 ,sin BAF= ,求 DF 长 .235图 T7-45.2018顺义期末 已知:如图 T7-5,在 ABC 中, AB=AC,以 AC 为直径作 O 交 BC 于点 D,过点 D 作 O 的切线交 AB 于点 E,交 AC 的延长线于点 F.4(1)求证: DE AB;(2)若 tan BDE= ,CF=3,求 DF 的长 .12图 T7-56.2018朝阳期末 如图 T7-6,在 ABC 中, C=90,以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 D, O 的切线 DE 交 AC 于点 E.(1)求证: E 是 AC 中点;(2)若
4、AB=10,BC=6,连接 CD,OE,交点为 F,求 OF 的长 .5图 T7-67.2018石景山第一学期期末 如图 T7-7,AC 是 O 的直径,点 D 是 O 上一点, O 的切线 CB 与 AD 的延长线交于点B,点 F 是直径 AC 上一点,连接 DF 并延长交 O 于点 E,连接 AE.(1)求证: ABC= AED;(2)连接 BF,若 AD= ,AF=6,tan AED= ,求 BF 的长 .325 43图 T7-76|类型 2| 切线的证明与计算8.2018平谷期末 如图 T7-8,在 Rt ABC 中, ACB=90,AD 平分 BAC 交 BC 于点 D,点 O 是
5、AB 边上一点,以 O 为圆心作 O 且经过 A,D 两点,交 AB 于点 E.(1)求证: BC 是 O 的切线;(2)若 AC=2,AB=6,求 BE 的长 .图 T7-879.2018通州期末 如图 T7-9, ABC 是等腰三角形, AB=AC,以 AC 为直径的半圆 O 与 BC 交于点 D,DE AB,垂足为E,ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F.(1)求证: DE 是 O 的切线;(2)若 O 的半径为 2,BE=1,求 cosA 的值 .图 T7-910.2018燕山期末 如图 T7-10,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径作 O,交 BC 于点 D,连接
6、AD,过点 D 作 DE AC,垂足为点 E,交 AB 的延长线于点 F.8(1)求证: EF 是 O 的切线;(2)如果 O 的半径为 5,sin ADE= ,求 BF 的长 .45图 T7-1011.2018大兴期末 已知:如图 T7-11,AB 是半圆 O 的直径, D 是半圆上的一个动点(点 D 不与点 A,B 重合), CAD= B.(1)求证: AC 是半圆 O 的切线;(2)过点 O 作 BD 的平行线,交 AC 于点 E,交 AD 于点 F,且 EF=4,AD=6,求 BD 的长 .9图 T7-1112.2018海淀期末 如图 T7-12,A,B,C 三点在 O 上,直径 BD
7、 平分 ABC,过点 D 作 DE AB 交弦 BC 于点 E,在 BC 的延长线上取一点 F,使得 EF=DE.(1)求证: DF 是 O 的切线;(2)连接 AF 交 DE 于点 M,若 AD=4,DE=5,求 DM 的长 .图 T7-1210参考答案1.解:(1)证明:连接 AD,OD,如图 .AB 是 O 的直径, ADB=90.AB=AC ,BD=CD.又 OA=OB ,OD AC.DF 是 O 的切线, OD 是 O 的半径,DF OD.DF AC.(2)连接 BE.AB 是 O 的直径, AEB=90.DF BE. = .11CD=DB ,CF=EF.BE= 2DF=6.在 Rt
8、 ABE 中,tan BAC= = = .64322.解:(1)证明:连接 OD.MD 切 O 于点 D,OD MD.BN MC,OD BN, ADO= N.OA=OD , OAD= ADO, OAD= N,AB=BN.(2)由(1)知 OD BN, MOD= B, cos MOD=cosB= .25在 Rt MOD 中,cos MOD= ,OD=OA ,MO=MA+OA=3+MA, = ,33+2512MA= 4.5.3.解:(1)证明:连接 OE.AC 与 O 相切,OE AC.BC AC,OE BC.又 O 为 DB 的中点,E 为 DF 的中点,OE 为 DBF 的中位线,OE= BF
9、,12又 OE= BD,12BF=BD.(2)设 BC=3x,由 tanB= 可得: AC=4x,AB=5x,43CF= 2,BF= 3x+2,由(1)得: BD=BF,BD= 3x+2,OE=OB= ,AO=AB-OB=5x- = .3+22 3+22 7-2213OE BF, AOE= B, cos AOE=cosB,即 = = ,3+22 27-235解得: x= ,83则 O 的半径为 = =5.3+22 1024.解:(1)证明:连接 BC.AB 是 O 的直径, C 在 O 上, ACB=90, = ,ACBCAC=BC , CAB=45.AB 是 O 的直径, EF 切 O 于点
10、 B, ABE=90, AEB=45,AB=BE ,AC=CE.(2)在 Rt ABE 中, ABE=90,AE=8 ,AB=BE.2AB= 8.14在 Rt ABF 中, AB=8,sin BAF= ,35易得 BF=6.连接 BD,则 ADB= FDB=90, BAF+ ABD=90, ABD+ DBF=90, DBF= BAF. sin BAF= ,35 sin DBF= ,35 = ,DFBF35DF= .1855.解:(1)证明:连接 OD.EF 切 O 于点 D,OD EF.又 OD=OC , ODC= OCD,AB=AC , ABC= OCD, ABC= ODC,AB OD,DE
11、 AB.15(2)连接 AD.AC 为 O 的直径, ADB=90. B+ BDE=90, B+1 =90, BDE=1 .AB=AC , 1 =2 .又 BDE=3, 2 =3 . FCD FDA. = .FCFDCDDA tan BDE= , tan2 = ,12 12 = , = ,CDDA12 FCFD12CF= 3,FD= 6.6.解:(1)证明:连接 OD,16 C=90,BC 为 O 的直径,EC 为 O 的切线, A+ B=90.DE 为 O 的切线,EC=DE ,DE OD. EDA+ ODB=90.OD=OB , ODB= B. EDA= A.EA=DE.EA=EC.故 E
12、 是 AC 中点 .(2)EC ,DE 是 O 的切线,EO 平分 CED.EO CD,F 是 CD 中点 . 点 E,O 分别是 AC,BC 的中点,OE= AB=5.12Rt ABC 中, AB=10,BC=6,17AC= 8.ED= AC=4.12在 Rt DOE 中, OD= BC=3,OE=5,12DF= = .EDDOOE 125Rt OFD 中, OF= = .OD2-DF2957.解:(1)证明:连接 CD.AC 是 O 的直径, ADC=90, DAC+ ACD=90.BC 是 O 的切线, ACB=90, DAC+ ABC=90, ABC= ACD. AED= ACD, A
13、BC= AED.(2) AED= ACD= ABC, tan ACD=tan AED=tan ABC= ,4318 tan ACD= = ,ADCD43即 = ,CD= .325CD43 245AC= 8.AF= 6,FC= 2, tan ABC= = ,即 = ,ACBC43 8BC43BC= 6,BF= 2 .108.解:(1)证明:连接 OD,OA=OD , OAD= ODA.AD 平分 BAC, CAD= OAD. CAD= ODA.OD AC. ACB=90, ODB=90.即 OD BC 于 D.BC 是 O 的切线 .(2)OD AC,19 BDO BCA. = .AC= 2,A
14、B=6, 设 OD=r,则 BO=6-r. = .26-6解得 r= .32AE= 3.BE= 3.9.解:(1)证明:连接 OD,AD.AC 为直径, ADC=90,AD BC.又 AB=AC , 点 D 为 BC 中点,又 点 O 为 AC 中点,OD AB.又 DE AB, AED=90, ODE=90.20OD DE,故 DE 是 O 的切线 .(2)r= 2,AB=AC= 2r=4.BE= 1,AE=AB-BE= 3.OD AB, FOD FAE. = = .23设 CF=x,则 OF=x+2,AF=x+4, = ,解得 x=2.+2+423AF= 6.在 Rt AEF 中, AEF
15、=90, cos FAE= = .1210.解:(1)证明:连接 OD,OD=OB , ODB= DBO.又 AB=AC,21 DBO= C, ODB= C,OD AC.又 DE AC,DE OD,EF 是 O 的切线 .(2)AB 是直径, ADB=90, ADC=90. ADE+ EAD=90, C+ EAD=90, ADE= C, ADE= ABD. sin ADE= =sin ABD= ,45 = ,AD= 8.4510BD= 6,在 Rt AED 中,sin ADE= = ,45AE= = .485 325设 BF=x.OD AE, ODF AEF, = ,即 = ,解得 x= .
16、5325 5+10+ 90722故 BF 长为 .90711.解:(1)证明: AB 是半圆 O 的直径, BDA=90, B+ DAB=90.又 DAC= B, DAC+ DAB=90,即 CAB=90,AC 是半圆 O 的切线 .(2)由题意知,OE BD, D=90, D= AFO= AFE=90,OE AD,AF= AD.12又 AD= 6,AF= 3. AFE= BDA, CAD= B, AEF BAD, = . = ,46 3BD= .9212.解:(1)证明: BD 平分 ABC,23 ABD= CBD.DE AB, ABD= BDE. CBD= BDE.ED=EF , EDF= EFD. EDF+ EFD+ EDB+ EBD=180, BDF= BDE+ EDF=90.OD DF.OD 是半径,DF 是 O 的切线 .(2)连接 DC,BD 是 O 的直径, BAD= BCD=90.又 ABD= CBD,BD=BD, ABD CBD.CD=AD= 4,AB=BC.DE= 5,24CE= =3,EF=DE=5.2-2 CBD= BDE,BE=DE= 5.BF=BE+EF= 10,BC=BE+EC=8.AB= 8.DE AB, ABF MEF. = .ME= 4.DM=DE-EM= 1.
