1、1提分专练(六) 特殊四边形相关的计算与证明(18年 21 题,17 年 20 题)|类型 1| 平行四边形的判定 +线段长度1.2017通州一模 如图 T6-1,四边形 ABCD的对角线 AC BD于点 E,AB=BC,F为四边形 ABCD外一点,且 FCA=90, CBF= DCB.图 T6-1(1)求证:四边形 DBFC是平行四边形;(2)如果 BC平分 DBF, F=45,BD=2,求 AC的长 .22.2017石景山二模 如图 T6-2,四边形 ABCD是矩形,点 E在 AD边上,点 F在 AD的延长线上,且 BE=CF.图 T6-2(1)求证:四边形 EBCF是平行四边形;(2)若
2、 BEC=90, ABE=30,AB= ,求 ED的长 .33.2015西城一模 如图 T6-3,在四边形 ABCD中, BD垂直平分 AC,垂足为 F,E为四边形 ABCD外一点,且 ADE= BAD,AE AC.图 T6-3(1)求证:四边形 ABDE是平行四边形;(2)如果 DA平分 BDE,AB=5,AD=6,求 AC的长 .34.2018房山一模 如图 T6-4,在 ABC中, ACB=90,点 D,E分别是 BC,AB的中点,连接 DE并延长至点 F,使EF=2DE,连接 CE,AF.图 T6-4(1)证明: AF=CE;(2)若 B=30,AC=2,连接 BF,求 BF的长 .|
3、类型 2| 菱形的判定 +线段长度45.2018顺义一模 如图 T6-5,在四边形 ABCD中, AD BC, A=90,BD=BC,点 E为 CD的中点,射线 BE交 AD的延长线于点 F,连接 CF.图 T6-5(1)求证:四边形 BCFD是菱形;(2)若 AD=1,BC=2,求 BF的长 .6.2018平谷一模 如图 T6-6,在 ABCD中, BF平分 ABC交 AD于点 F,AE BF于点 O,交 BC于点 E,连接 EF.图 T6-6(1)求证:四边形 ABEF是菱形;(2)连接 CF,若 ABC=60,AB=4,AF=2DF,求 CF的长 .57.2018门头沟一模 如图 T6-
4、7,在矩形 ABCD中,连接 AC,AC的垂直平分线交 AC于点 O,分别交 AD,BC于点 E,F,连接CE和 AF.图 T6-7(1)求证:四边形 AECF为菱形;(2)若 AB=4,BC=8,求菱形 AECF的周长 .68.2018西城一模 如图 T6-8,在 ABD中, ABD= ADB,分别以点 B,D为圆心, AB长为半径在 BD的右侧作弧,两弧交于点 C,分别连接 BC,DC,AC,记 AC与 BD的交点为 O.图 T6-8(1)补全图形,求 AOB的度数并说明理由 .(2)若 AB=5,cos ABD= ,求 BD的长 .35|类型 3| 菱形的判定 +图形面积9.2018延庆
5、一模 如图 T6-9,Rt ABC中, ABC=90,点 D,F分别是 AC,AB的中点, CE DB,BE DC.图 T6-9(1)求证:四边形 DBEC是菱形;(2)若 AD=3,DF=1,求四边形 DBEC面积 .710.2018大兴一模 如图 T6-10,矩形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,且 DE=OC,CE=OD.图 T6-10(1)求证:四边形 OCED是菱形;(2)若 BAC=30,AC=4,求菱形 OCED的面积 .11.2018怀柔一模 直角三角形 ABC中, BAC=90,D是斜边 BC上一点,且 AB=AD,过点 C作 CE AD,交 AD的延长8线于点 E,
6、交 AB的延长线于点 F.图 T6-11(1)求证: ACB= DCE;(2)若 BAD=45,AF=2+ ,过点 B作 BG FC于点 G,连接 DG.依题意补全图形,并求四边形 ABGD的面积 .212.2018海淀一模 如图 T6-12,ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,且 AE BD,BE AC,OE=CD.图 T6-12(1)求证:四边形 ABCD是菱形;(2)若 AD=2,则当四边形 ABCD的形状是 时,四边形 AOBE的面积最大,最大值是 . 9|类型 4| 矩形的判定 +线段计算13.2018石景山一模 如图 T6-13,在四边形 ABCD中, A= BCD=90,B
7、C=CD=2 ,CE AD于点 E.10图 T6-13(1)求证: AE=CE;(2)若 tanD=3,求 AB的长 .1014.2018丰台一模 已知:如图 T6-14,菱形 ABCD,分别延长 AB,CB到点 F,E,使得 BF=BA,BE=BC,连接 AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形 AEFC为矩形;(2)连接 DE交 AB于点 G,如果 DE AB,AB=4,求 DE的长 .图 T6-1415.2018通州一模 如图 T6-15,在平行四边形 ABCD中, DB AB,点 E是 BC边的中点,过点 E作 EF CD,垂足为 F,交 AB的延长线于点 G.图 T6-15(1)求
8、证:四边形 BDFG是矩形;(2)若 AE平分 BAD,求 tan BAE的值 .1116.2017朝阳一模 如图 T6-16,在 ABC中, AB=AC,AD是 BC边的中线,过点 A作 BC的平行线,过点 B作 AD的平行线,两直线交于点 E.图 T6-16(1)求证:四边形 ADBE是矩形;(2)连接 DE,交 AB于点 O,若 BC=8,AO= ,求 cos AED的值 .5212参考答案1.解:(1)证明: AC BD, FCA=90,BD CF. CBF= DCB,DC BF. 四边形 DBFC是平行四边形 .(2)由(1)得四边形 DBFC是平行四边形,CF=BD= 2.过点 C
9、作 CH BF于点 H, F=45,CH= .2BC 平分 DBF,CH=CE= ,2AB=BC ,BD AC,AC= 2CE=2 .22.解:(1)证明: 四边形 ABCD是矩形, A= CDF=90,AB=DC,AD=BC.在 Rt BAE和 Rt CDF中, =,=, Rt BAERt CDF. 1 = F.BE CF.又 BE=CF , 四边形 EBCF是平行四边形 .13(2) 在 Rt BAE中,2 =30,AB= ,3AE=AB tan2 =1,BE= =2,3 =60.cos 2在 Rt BEC中, BC= = =4.cos 3 2cos60AD=BC= 4.ED=AD-AE=
10、 4-1=3.3.解:(1)证明: ADE= BAD,AB ED.BD 垂直平分 AC,垂足为 F,BD AC,AF=FC.又 AE AC, EAC= DFC=90,AE BD, 四边形 ABDE是平行四边形 .(2)如图,连接 BE交 AD于点 O.DA 平分 BDE, ADE=1 .又 ADE= BAD, 1 = BAD,AB=BD ,14 ABDE是菱形 .AD BE.AB= 5,AD=6,BD=AB= 5,OA= AD=3.12在 Rt OAB中, OB= =4.2-2S ABD= ADOB= BDAF,12 12 64=5AF,解得 AF=4.8.BD 垂直平分 AC,AC= 2AF
11、=9.6.4.解:(1)证明: D ,E分别是 BC,AB的中点,DE 为 ABC的中位线,DE AC,AC=2DE.又 EF= 2DE,EF=AC , 四边形 ACEF为平行四边形,AF=CE.(2) ACB=90, ABC=30,AC=2,BC= 2 ,DE=1, EDB=90.3D 为 BC中点,BD= .315又 EF= 2DE,EF= 2.DF= 3.在 Rt BDF中,由勾股定理得BF= =2 .2+2 35.解:(1)证明: BD=BC ,E是 CD的中点, 1 =2 .AD BC, 2 =3, 1 =3, BD=DF.BD=BC ,DF=BC.又 DF BC, 四边形 BCFD
12、是平行四边形 .又 BD=BC , BCFD是菱形 .(2) A=90,AD=1,BD=BC=2,AB= = .BD2-AD2 3 四边形 BCFD是菱形,DF=BC= 2,AF=AD+DF= 3,16BF= = =2 .AB2+AF2 3+9 36.解:(1)证明: BF 平分 ABC, ABF= CBF. ABCD,AD BC. AFB= CBF. ABF= AFB.AB=AF.AE BF, ABF+ BAO= CBF+ BEO=90. BAO= BEO.AB=BE.AF=BE. 四边形 ABEF是平行四边形 . ABEF是菱形 .(2)AD=BC ,AF=BE,DF=CE.BE= 2CE
13、.AB= 4,BE= 4.CE= 2.过点 A作 AG BC于点 G.17 ABC=60,AB=BE, ABE是等边三角形 .BG=GE= 2.AF=CG= 4. 四边形 AGCF是平行四边形 . AGCF是矩形 .AG=CF.在 Rt ABG中, ABC=60,AB=4,AG= 2 .3CF= 2 .37.解:(1)证明: EF 是 AC的垂直平分线,AO=OC , AOE= COF=90, 四边形 ABCD是矩形,AD BC, EAO= FCO.在 AEO和 CFO中, EAO= FCO,AO=CO, AOE= COF, AEO CFO(ASA),OE=OF.又 OA=OC , 四边形 A
14、ECF是平行四边形,又 EF AC, 平行四边形 AECF是菱形 .(2)设 AF=x,EF 是 AC的垂直平分线,18AF=CF=x ,BF=8-x,在 Rt ABF中,由勾股定理得: AB2+BF2=AF2,即 42+(8-x)2=x2,解得 x=5,AF= 5, 菱形 AECF的周长为 20.8.解:(1)补全的图形如图所示 . AOB=90.理由:由题意可知 BC=AB,DC=AB. 在 ABD中, ABD= ADB,AB=AD ,BC=DC=AD=AB , 四边形 ABCD为菱形,AC BD, AOB=90.(2) 四边形 ABCD为菱形,OB=OD.在 Rt ABO中, AOB=9
15、0,AB=5,cos ABD= ,35OB=AB cos ABD=3,19BD= 2OB=6.9.解:(1)证明: CE DB,BE DC, 四边形 DBEC是平行四边形 .在 Rt ABC中,D 是 AC的中点, ABC=90,BD=DC , 四边形 DBEC是菱形 .(2)F 是 AB的中点, D是 AC的中点,BC= 2DF=2, AFD= ABC=90,在 Rt AFD中, AF= =2-2=2 .32-1 2S DBC= BCBF= 22 =2 ,12 12 2 2S 菱形 DBEC=2S DBC=4 .210.解:(1)证明: DE=OC ,CE=OD, 四边形 OCED是平行四边
16、形 . 四边形 ABCD是矩形,AC=BD ,OC= AC,OD= BD.12 12OC=OD. 平行四边形 OCED是菱形 .(2)在矩形 ABCD中, ABC=90, BAC=30,AC=4,20BC= 2.AB=DC= 2 .3如图,连接 OE,交 CD于点 F. 四边形 OCED为菱形,F 为 CD中点 .O 为 BD中点,OF= BC=1.12OE= 2OF=2.S 菱形 OCED= OECD= 22 =2 .12 12 3 311.解:(1)证明: AB=AD , ABD= ADB. ADB= CDE, ABD= CDE. BAC=90, ABD+ ACB=90.CE AE, DC
17、E+ CDE=90. ACB= DCE.(2)补全图形,如图所示:21 BAD=45, BAC=90, BAE= CAE=45, F= ACF=45.AE CF,BG CF,AD BG.BG CF, BAC=90且 ACB= DCE,AB=BG.AB=AD ,BG=AD , 四边形 ABGD是平行四边形 .AB=AD , 平行四边形 ABGD是菱形 .设 AB=x,则 BG=GD=AD=x,BF= BG= x.2 2AB+BF=x+ x=2+ ,2 2x= .2过点 B作 BH AD于 H,BH= AB=1.22S 四边形 ABGD=ADBH= .212.解:(1)证明: AE BD,BE A
18、C,22 四边形 AEBO是平行四边形 . 四边形 ABCD是平行四边形,DC=AB.OE=CD ,OE=AB. 平行四边形 AEBO是矩形 . BOA=90,AC BD, 平行四边形 ABCD是菱形 .(2)正方形;2 .13.解:(1)证明: (法一)过点 B作 BH CE于 H,如图 .CE AD, BHC= CED=90,1 + D=90. BCD=90, 1 +2 =90, 2 = D.又 BC=CD, BHC CED.BH=CE.23BH CE,CE AD, A=90, 四边形 ABHE是矩形,AE=BH.AE=CE.(法二)过点 C作 CH AB交 AB的延长线于 H.图略,证明
19、略 .(2) 四边形 ABHE是矩形,AB=HE. 在 Rt CED中,tan D= =3,设 DE=x,CE=3x,CD= x=2 .10 10x= 2.DE= 2,CE=6.CH=DE= 2.AB=HE= 6-2=4.14.解:(1)证明: BF=BA ,BE=BC, 四边形 AEFC为平行四边形 . 四边形 ABCD为菱形,BA=BC ,BF=BE.BA+BF=BC+BE ,即 AF=EC. 四边形 AEFC为矩形 .24(2)连接 DB.由(1)知, AD EB,且 AD=EB, 四边形 AEBD为平行四边形 .DE AB, 四边形 AEBD为菱形 .AE=EB ,AB=2AG,ED=
20、2EG. 矩形 AEFC中, EB=AB,AB=4,AG= 2,AE=4. Rt AEG中, EG=2 .3ED= 4 .315.解:(1)证明: BD AB,EF CD, ABD=90, EFD=90.在 ABCD中, AB CD, BDC= ABD=90,BD GF. 四边形 BDFG为平行四边形 .又 BDC=90, 四边形 BDFG为矩形 .25(2)AE 平分 BAD, BAE= DAE.AD BC, BEA= DAE, BAE= BEA,BA=BE. 在 Rt BDC中,点 E为 BC边的中点,BE=ED=EC.又 在 ABCD中, AB=CD, ECD为等边三角形, C=60, BAE= BAD=30,12 tan BAE= .3316.解:(1)证明: AE BC,BE AD, 四边形 ADBE是平行四边形 .AB=AC ,AD是 BC边的中线,AD BC.即 ADB=90. 四边形 ADBE为矩形 .(2) 在矩形 ADBE中, AO= ,52AB=DE= 5.D 是 BC的中点, BC=8,26DB= 4,AE= 4. 在 Rt AED中,cos AED= = .45
