1、- 1 -变化率问题教学目标1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中 运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数 ，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念 之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一
2、般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V(单位: L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 34)(rV 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 34(分析: 34)(Vr，1 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 )(62.0)(1dmr气球的平均膨胀率为 /62.0)(Ldr2 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 )(.)
3、(r气球的平均膨胀率为 /1.)(mr可以看出 ，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少? hto- 2 -12)(Vr问题 2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳后的时间 t（单位： s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v度粗略地描述其运动状态?思考计算： 5.0t和 1t的平均速度 v在 .0t这段时间里， )/(05.45.0)(smhv；在 21这段时间里， 2812)(探究：计算运动员在 4960t这段时间里的平均速度
4、，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有 什么问题吗？探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， )0(4965h，所以 )/(04965)(mshv，虽然运动员在 t这段时间里的平均速度为 )/(0ms，但实际情况是运动员仍然运 动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 12)(xff表示, 称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率2若设 12x, )(12ff (这里 看作是对于 x1的一个“增量”可用x1+ 代替 x2,同
5、 样 xyf)3 则平均变化率为 xxffff )( 1112思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率 12)(f表示什么?- 3 -直线 AB 的斜率三典例分析例 1已知函数 f(x)= 2的图象上的一点 )2,1(A及临近一点),(yB,则 解： )1(22xx， xy 3)1例 2 求 2在 0x附近的平均变化率。解： 20)(xy，所以 xy200)( x0202所以 2xy在 0附 近的平均变化率为 x0四课堂练习1质点运动规律为 32ts，则在时间 )3,(t中相应的平均速度为 2.物体按照 s(t)=3t2+t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率.3.过曲线 y=
6、f(x)=x3上两点 P（1，1）和 Q (1+ x,1+ y)作曲线的割线，求出当 x=0.1 时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业 x1 x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)x - 4 -1.1.2 导数的概念教学目标1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念教学过程：一创设情景（一 ）平均变化率（二）探究：计算运动员在 49650t这段时 间里的
7、平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用 平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程 ：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， )0(4965h，所以 )/(04965)(mshv，虽然运动员在 t这段时间里的平均速度为 )/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 2t时的瞬时速度是多少？考察 2t附近的情况：思考：当 t趋近
8、于 0 时，平均速度 v有什么样的变化趋势？结论：当 趋近于 0时，即无论 t从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，hto- 5 -平均速度 v都趋近于一个确定的值 13.从物理的角度看，时间 t间隔无限变小时，平均速度 v就无 限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员 在 2t时的瞬时速度是 ./ms为了表述方便，我们用 0()(2li 13.tht表示“当 t， 趋近于 0 时，平均速度 v趋近于定值 .”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是:
9、 00()limlimxff我 们称它为函数 f在 0出的导数，记作 0()fx或 0|xy，即0()()lixf说明：（1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率（2） 0x，当 时， ，所以 00()()limxfxf三典例分析例 1 （1）求函数 y=3x2 在 x=1 处的导数.分析：先求 f= y=f( x)-f() =6 x+( x)2再求 6x再求 0lim6x解：法一（略）法二：2211133()|lililim3()6x xxy （2）求函数 f(x)= 2在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 解： xxy 32)()120 0()(1)()limlim(
10、3)x xyf 例 2 （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 h时，原油的温度（单位： C）为 2()715(8)f x，计算第- 6 -2h时和第 6时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第 时和第 h时，原油温度的瞬时变化率就是 (2)f和 6f根据导数定义， 0(2)(fxf2()7157215)3x xx 所以 00()limli(3)xxff同理可得: 65在第 2h时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 3和 5，说明在 2h附近，原油温度大约以 3/C的速率下降，在第 6h附近， 原油温度大约以 /C的速率上升注：一
11、般地， 0()fx反映了原油温 度在时刻 0x附近的变化情况四课堂练习1质点运动规律为 32ts，求质点在 3t的瞬时速度为2求曲线 y=f(x)=x3在 1时的导数3例 2 中，计算第 h时和第 5时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念六布置作业1.1.3 导数的几何意义教学目标1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二
12、）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率，反映了 函数 y=f(x)在 x=x0附近的变化情况，导数 0()f的几何意义是什么呢？- 7 -二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当 (,)(1,234)nnPxf沿着曲线()fx趋近于点 0(,)Pxf时，割线 n的变化趋势是什么？我们发现,当点 nP沿着曲线无限接近点 P 即 x0 时,割线 nP趋近于确定的位置，这个确定位置 的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.问题：割线 n的 斜率 nk与切线 PT 的斜率 k有什么关系？切线 PT 的斜率 为多少？容易知道，割线 nP的斜率
13、是 0()nfxf,当点 nP沿着曲线无限接近点 P 时， nk无限趋近于切线 PT 的斜率 k，即 000)(lim()xffxf说明：（1）设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在 0处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否 有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以 无穷多个.（二）导数的几何意义：函数 y=f(x)
14、在 x=x0处的导数 等于在该点 0(,)xf处的切线的斜率，图 3.1-2- 8 -即 000()()limxfxff k说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标;求出函数在点 0处的变化率 000()()limxfxff k ，得到曲线在点0(,)xf的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数 f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 0()fx 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作： 或 y，即: 0()limxffy注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数（三）函数 ()f在点 0处的导数
15、 0()fx、导函数 ()fx、导数 之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数 ()f，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之 比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是 函数 f(x)的导函数 3）函数 ()fx在点 0处的导 数 0()f就是导函数 ()fx在 0处的函数值，这也是 求函数在点 0处的导数的方法之一。三典例分析例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.（2）求函数 y=3x2 在点 1,3)处的导数.解：（1）22210 0()|limlimx xx ,所以，所求切线的斜率为 2，因此，
16、所求的切线方程为 (1)yx即 0y（2）因为2211133()|lilili36x xxy所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 ()y即 30xy（2）求函数 f(x)= 2在 1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 - 9 -解： xxxy 32)1()(220 0()()(1)limlim(3)x xyf A A例 2 （课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数()4.96.5hx，根据图像，请描述、比较曲线 t在 0、 1t、 2附近的变化情况解：我们用曲线 ()h在 0、 1t、 2处的切线，刻画曲线 ()t在上述三个时刻附近的变化情况（1
17、） 当 0时，曲线 ()t在 0处的切线 0l平行于 x轴，所以，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2） 当 1t时，曲线 ()ht在 1处的切线 1l的斜率 1()0ht，所以，在 1t附近曲线下降，即函数 24.96.50xx在 附近单调递减（3） 当 2t时，曲线 ()t在 2处的切线 2l的斜率 2()t，所以，在 2t附近曲线下降，即函数 1hxx在 附近单调递减从图 3.1-3 可以看出，直线 1l的倾斜程度小于直线 2l的倾斜程度，这说明曲线在 1t附近比在 2t附近下降的缓慢例 3 （课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 ()cft(单位： /mgL)随时间
18、 t（单位： min）变化的图象根据图像，估计 0.2,4.6,08t时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到 0.1） - 10 -解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 ()ft在此时刻的导数 ，从图像上看，它表示曲线 ()ft在此点处的切线的斜率如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作 0.8t处的切线，并在切线上去两点，如 (0.7,91)， (.0,48)，则它的斜率为：0.4891.47k所以 (.).f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估 计值：t0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率 ()
19、ft0.4 0 -0.7 -1.4四课堂练习1求曲线 y=f(x)=x3在点 (1,)处的切线；2求曲线 在点 4,2处的切线五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六布置作业 1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 yc、 x、 2y、yx的导数公式； 2掌握并 能运用这四个公式正确求函数的导数- 11 -教学重点：四种常见函数 yc、 x、 2y、 1x的导数公式及应用教学难点： 四种常见函数 、 、 、 的导数公式教学过程：一创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那
20、么， 对于函数 ()yfx，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出 了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快 地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二新课讲授1函数 ()yfxc的导数根据导数定义，因为 ()(0yfxfxc所以 00limlixx函数 导数ycy0y表示 函数 图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为 0若 yc表示路程关于时间的函数，则 0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即物体一直处于静止 状态2函数 ()yfx的导数因
21、为 ()1fx所以 00limlixxy函数 导数y1y1y表示函数 x图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为 1若 yx表示路程关于时间 的函数，则 1y可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动- 12 -3函数 2()yfx的导数因为2()fx22()x所以 00limli()xxyx 函数 导数2y2yx2yx表示函数 2x图像（图 3.2-3）上点 (,)处的 切线的斜率都为 2x，说明随着的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导 数作为函 数在一点的瞬时变 化率来看，表明：当 0时，随着 的增加，函数 2yx减少得越来越慢；当 0时，随着 的增加，函数 2yx增加得越来越快若 表示路程关于 时间的函数，则 2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 x的瞬时速度为 4函数 1()f的导数因为1()yfxfxx2()所以 22001limli()xxyx函数 导数y21yx（2）推广：若 *()nfxQ，则 ()nf三课堂练习1课本 P13探究 12课本 P13探究 24求函数 yx的导数- 13 -四回顾总结函数 导数yc0yx12y2yx1x2*()nyfQ1nyx五布置作业
