1、1第 2课时 曲线与方程的应用基础达标(水平一 )1.方程 x+|y-1|=0表示的曲线是( ).【解析】由 x+|y-1|=0,可知 x0,故选 B.【答案】B2.已知点 A(1,0),B(-1,0),动点 M满足 |MA|-|MB|=2,则点 M的轨迹方程为( ).A.y=0(-1 x1) B.y=0(x1)C.y=0(x -1) D.y=0(|x|1)【解析】由题意知 |AB|=2,则点 M的轨迹方程为射线 y=0(x -1).【答案】C3.如图,定点 A,B都在平面 内,定点 P ,PB ,C是 内异于 A,B的动点,且 PC AC,那么动点 C在平面 内的轨迹是( ).A.一条线段,
2、但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一条直线,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点【解析】由 PB ,得 PB AC.又 PC AC,所以 AC平面 PBC,从而 AC BC.由于 A,B是平面 内的两个定点,故 AB为定长 .因此,动点 C在以 AB为直径的圆周上,但不包含 A,B两个点,故选 B.【答案】B4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 P在侧面 BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP BD1,则动点 P的轨迹是( ).A.线段 B1CB.线段 BC1C.BB1中点与 CC1中点连成的线段D.BC中点与 B1C1中点连成的线段2【解析】设 P1,P2为动
3、点 P的轨迹上的两点,则 AP1 BD1,AP2 BD1.AP 1 AP2=A, 直线 AP1与 AP2确定一个平面 ,与平面 BCC1B1交于直线 P1P2,且知BD1平面 ,P 1P2 BD1.又 BD 1在平面 BCC1B1内的射影为 BC1,P 1P2 BC1,而在平面 BCC1B1内只有 B1C与 BC1垂直, 点 P的轨迹为 B1C.【答案】A5.在平面直角坐标系 xOy中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足: =4,则动点 P的轨迹方程为 . 【解析】由 =4,可得( x,y)(1,2)=4,即 x+2y=4.【答案】 x+2y-4=06.已知 l1是过原点 O且与向量
4、 a=(2,- )垂直的直线, l2是过定点 A(0,2)且与向量 b=平行的直线,则 l1与 l2的交点 P的轨迹方程是 ,轨迹是 (-1,2). 【解析】由题意,得 l1可为过原点 O除 x轴的任意直线, l2可为过定点 A(0,2)除 y轴的任意直线 .由平面几何性质知,向量 a,b共线,方向相反,因为 l1与 a垂直, l2与 b平行,所以l1与 l2互相垂直,交点 P的轨迹是以(0,1)为圆心, OA为直径的圆(除去原点 O).【答案】 x2+(y-1)2=1(y0) 以(0,1)为圆心,1 为半径的圆(不包括原点)7.如图,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P为平面上的动点
5、,过点 P作 l的垂线,垂足为 Q,且 = .求动点 P的轨迹 C的方程 .【解析】设点 P(x,y),则点 Q(-1,y), =(x+1,0), =(2,-y), =(x-1,y), =(-2,y). 由 = ,得 2(x+1)+0(-y)=-2(x-1)+y2,整理得 y2=4x. 动点 P的轨迹 C的方程为 y2=4x.拓展提升(水平二)8.已知点 A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,动点 M满足 =m +n ,其中 m,nR,且 2m2-n2=2,则点 M的轨迹方程为( ).A. -y2=1 B. +y2=122 223C.x2- =1 D.x2+ =122 22【解析】设点
6、 M(x,y),则( x,y)=m(2,-1)+n(-1,1)=(2m-n,n-m),所以 又 2m2-n2=2,=2-,=-.所以消去 m,n,得 -y2=1,即为点 M的轨迹方程 .22【答案】A9.“点 M在曲线 y=|x|上”是“点 M到两坐标轴距离相等”的( ).A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】“点 M在曲线 y=|x|上”“点 M到两坐标轴距离相等”,但“点 M到两坐标轴距离相等”时,“点 M不一定在曲线 y=|x|上” .例如, M(-1,-1).【答案】B 10.已知点 Q(2,0)和圆 x2+y2=1,动点 M到圆 O的切线
7、长等于圆 O的半径与 |MQ|的和,则动点M的轨迹方程为 .【解析】过点 M作圆的切线 MN,N为切点,设点 M(x,y).由题意知 |MN|=|MQ|+|ON|,因为 |MN|= = ,|2-|2 2+2-1|MQ|= ,|ON|=1,(-2)2+2所以 = +1.2+2-1 (-2)2+2整理得 3x2-y2-8x+5=0 .(32)即 9 -3y2=1 .(-43)2 (32)所以点 M的轨迹方程为 9 -3y2=1 .(-43)2 (32)【答案】9 -3y2=1(-43)2 (32)11.在边长为 1的正方形 ABCD中,边 AB,BC上分别有一个动点 Q,R,且 |BQ|=|CR|
8、,建立适当的坐标系,求直线 AR与 DQ的交点 P的轨迹方程 .【解析】分别以 AB,AD边所在的直线为 x轴, y轴建立平面直角坐标系 .如图所示,则点 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设动点 P(x,y),|AQ|=t(0 t1),则Q(t,0),由 |BQ|=|CR|,知 |AQ|=|BR|,所以 R(1,t).当 t0 时,直线 AR的方程为 y=tx, 直线 DQ的方程为 +y=1, 由 式,得 1-y= , 4由 ,得 y(1-y)=tx ,化简得 x2+y2-y=0.当 t=0时,点 P与原点重合,坐标(0,0)也满足上述方程 .故点 P的轨迹方程为 x2+y2-y=0.
