1、1第 5课时 直线与椭圆的位置关系基础达标(水平一 )1.若直线 ax+by+4=0和圆 x2+y2=4没有公共点,则过点( a,b)的直线与椭圆 + =1的公共点29 24个数为( ).A.0 B.1C.2 D.与 a,b的值有关【解析】因为直线 ax+by+4=0和圆 x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线的距离 d=2,所以 a2+b2b0)相交于 A,B两点,若 M是线段 AB12 2222的中点,则椭圆 C的离心率为 . 【解析】设点 A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得 +(1-2)(1+2)2=0,根据题意有 x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且
2、 =- ,所以 + =0,整(1-2)(1+2)21-21-2 12 2222 (-12)理得 a2=2b2,所以 a2=2(a2-c2),整理得 a2=2c2,所以 = ,即 e= . 22 22【答案】227.已知椭圆 E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且一个焦点为(0, - ),点 A(1, )在该2 2椭圆上 .(1)求椭圆 E的方程;(2)若斜率为 的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 B,C,当 ABC的面积最大时,求直线 l的2方程 .【解析】(1)椭圆的一个焦点为(0, - ),设椭圆方程为 + =1(a ).22222-2 23将点 A(1, )代入方程,得 + =1,222
3、12-2整理得 a4-5a2+4=0,解得 a2=4或 a2=1(舍去),故所求椭圆方程为 + =1.24 22(2)设直线 BC的方程为 y= x+m,点 B(x1,y1),C(x2,y2),2代入椭圆方程并化简,得 4x2+2 mx+m2-4=0,2由 = 8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,可得 0 m2b0)的左 ,右焦点分别为 F1,F2,点 P(a,b)满足 |F1F2|=|PF2|,设直线 PF22222与椭圆交于 M,N两点 .若 |MN|=16,则椭圆的方程为( ).A. + =1 B. + =121442108 2100275C. + =1 D. + =123622
4、7 216212【解析】因为点 P(a,b)满足 |F1F2|=|PF2|,所以 =2c.(-)2+2整理得 2e2+e-1=0,解得 e= .所以 a=2c,b= c,椭圆的方程为 3x2+4y2=12c2.12 3直线 PF2的方程为 y= (x-c),将直线方程代入椭圆方程,3整理得 5x2-8cx=0,解得 x=0或 x= c,85所以 M(0,- c),N ,3 (85,335)因此 |MN|= c=16,所以 c=5.1654所以椭圆的方程为 + =1,故选 B.2100275【答案】B9.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学“三巨匠”,他对圆锥
5、曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书 .阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点 M与两定点 A,B的距离之比为 ( 0, 1),那么点 M的轨迹就是阿波罗尼斯圆 .下面,我们来研究与此相关的一个问题 .已知圆: x2+y2=1和点 A ,点 B(1,1),M为圆 O上的动点, 则 2|MA|+|MB|的最小值为( ).(-12,0)A. B. C. D.6 7 10 11【解析】设点 M的坐标为( x,y),令 2|MA|=|MC|,则 = .| 12由题意知,圆 x2+y2=1是关于点 A,C的阿波罗尼斯圆,且 = .12设点 C的坐标为 C(m,n),
6、则 = = ,| (+12)2+2(-)2+(-)212整理得 x2+y2+ x+ y= .2+43 23 2+2-13由题意得该圆的方程为 x2+y2=1, 解得2+4=0,2=0,2+2-13 =1, =-2,=0, 点 C的坐标为( -2,0), 2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|,因此当点 M位于图中点 M1,点 M2的位置时,2 |MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小值为,故选 C.10【答案】C10.若点( x,y)在椭圆 4x2+y2=4上,则 的最大值为 ,最小值为 . -2【解析】 表示椭圆上的点 (x,y)与定点(2,0)连线的斜率 .-2不妨设 =k,
7、则过定点(2,0) 的直线方程为 y=k(x-2).-2由 得( k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.=(-2),42+2=4,令 = (-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,5解得 k= ,233所以 的最大值为 , 的最小值为 - .-2 233 -2 233【答案】 -233 23311.已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,其中左焦点为 F(-2,0).2222 22(1)求椭圆 C的方程;(2)若直线 y=x+m与椭圆 C交于不同的两点 A,B,且线段 AB的中点 M在圆 x2+y2=1上,求 m的值 .【解析】(1)由题意,得 解得 a=2 ,b=2.= 22,=2,2=2+2, 2 椭圆 C的方程为 + =1.28 24(2)设点 A,B的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB的中点为 M(x0,y0),由 消去 y,得 3x2+4mx+2m2-8=0,28+24=1,=+,= 96-8m20,- 2 m2 .3 3又 x 1+x2=- ,43x 0= =- ,y0=x0+m= .1+22 23 3又 点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=1上, + =1,解得 m= ,满足条件 .(-23)2(3)2 355
