1、- 1 -第 2 课时 空间中直线与直线的位置关系基础达标(水平一 )1.下列说法正确的个数是( ). 若直线 a,b 相交, b,c 相交,则 a,c 相交; 若 a b,则 a,b 与 c 所成的角相等; 若 a b,b c,则 a c.A.3 B.2 C.1 D.0【解析】 中 a 与 c 也可能异面或平行, 中 a 与 c 也可能相交或异面, 正确 .【答案】C2.下列选项中,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS是异面直线的一个图是( ).【解析】易知选项 A,B 中 PQ RS,选项 D 中 RS 与 PQ 相交,只有选项 C 中 R
2、S 与 PQ 是异面直线 .【答案】C3.已知两条直线 a,b 都和第三条直线 c 垂直并相交,则直线 a,b 的位置关系是( ).A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能【解析】直线 a,b 都和第三条直线 c 垂直并相交,则直线 a,b 的关系可能平行,可能相交,也可能异面 .【答案】D4.设 P 是直线 l 外一定点,过点 P 且与 l 成 30角的异面直线( ).A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条【解析】如图所示,过点 P 作直线 l l,以 l为轴,与 l成 30角的圆锥面的所有母线所在的直线都与 l 成 30角 .【答案】A5.若线段 AB、 CD 所在的直线异
3、面, M、 N 分别是 AB、 CD 的中点,则 2MN 与 AC+BD 的大小关系是 . 【解析】如图,设 P 是 BC 的中点,则 MNPM+PN,即 MN (AC+BD),即 2MNAC+BD.12【答案】2 MNAC+BD- 2 -6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线 EF与 GH 所成的角等于 .【解析】连接 A1B,BC1,因为 EF A1B,GH BC1,所以 A1B 与 BC1所成的角即为 EF 与 GH 所成的角 .因为 A1BC1为正三角形,所以 A1B 与 BC1所成的角为 60,即
4、EF 与 GH 所成的角为 60.【答案】607.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别是 AD,AA1的中点 .(1)求直线 AB1和 CC1所成的角的大小;(2)求直线 AB1和 EF 所成的角的大小 .【解析】(1)如图,连接 DC1.DC 1 AB1,DC 1和 CC1所成的角 CC1D 就是 AB1和 CC1所成的角 . CC1D=45, 直线 AB1和 CC1所成的角为 45.(2)连接 DA1,A1C1.EF A1D,AB1 DC1, A1DC1是直线 AB1和 EF 所成的角 . A1DC1是等边三角形, A1DC1=60,即直线 AB1和 EF 所成的角为 6
5、0.拓展提升(水平二)8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,若 BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于( ).A.30 B.45 C.60 D.90【解析】如图,延长 CA 到 D,使得 AD=AC,连接 C1D,BD,A1D.因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 A1C1AC,故 A1C1AD,所以四边形 A1DAC1是平行四边形,故 A1DAC1,所以 BA1D 是异面直线 BA1与 AC1所成的角 .设 AB=AC=AA1=x,- 3 -则 A1D=AC1= x,BA1= x.2 2因为 BAC=90,所以 BD= x,2所以 A1D=B
6、A1=BD= x,2则 BA1D 为等边三角形,所以 BA1D=60,故选 C.【答案】C9.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM 与 ED 平行;CN 与 BE 是异面直线;CN 与 BM 成 60角;DM 与 BN 是异面直线 .以上四个命题中,正确命题的序号是( ).A. B.C. D.【解析】由题意画出正方体的图形如图所示 .显然 不正确; CN 与 BM 成 60角,即 ANC=60,正确; 正确 .【答案】C10.在四面体 A-BCD 中, E、 F 分别是 AB、 CD 的中点 .若 BD、 AC 所成的角为 60,且 BD=AC=1.则 EF 的长度为 . 【解析】如
7、图,取 BC 中点 O,连接 OE、 OF,OE AC,OF BD,OE 与 OF 所成的锐角(或直角)即为 AC 与 BD 所成的角 .而 AC、 BD 所成的角为 60, EOF=60或 EOF=120.当 EOF=60时, EF=OE=OF= .12- 4 -当 EOF=120时,取 EF 的中点 M,连接 OM,则 OM EF,EF=2EM=2 = .34 32【答案】 或32 1211.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, AE=A1E1,AF=A1F1,P E1F1.(1)过点 P 作一条直线与棱 CD 平行,说明作法 .(2)试说明 EF 与 E1F1的关系,并证明 .【解析】(1)如图,在平面 A1B1C1D1内过点 P 作直线 l C1D1,CD C1D1,l CD,l 即为所求直线 .(2)EF E1F1,且 EF=E1F1.证明如下:连接 EE1,FF1,如图所示 .AE A1E1,且 AE=A1E1, 四边形 A1E1EA 为平行四边形 .AA 1 EE1,且 AA1=EE1.同理可证, AA1 FF1,且 AA1=FF1,EE 1 FF1,且 EE1=FF1, 四边形 E1F1FE 为平行四边形,EF E1F1,且 EF=E1F1.
