1、1专题能力训练 13 空间几何体一、能力突破训练1.(2018 北京,理 5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.42.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A. +1 B. +32 2C. +1 D. +332 323.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 .若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( )283A.17 B.18C.20 D.284.已知平面 截球 O 的球面得圆 M,过圆心 的平面 与 的夹角为 ,且平面 截球 O 的球面6得圆 N.已知球
2、的半径为 5,圆 M 的面积为 9,则圆 N 的半径为( )A.3 B. C.4 D.13 215.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, ).若 S1,S2,S3分别是三2棱锥 D-ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则 ( )A.S1=S2=S3B.S2=S1,且 S2 S3C.S3=S1,且 S3 S22D.S3=S2,且 S3 S16.(2018 全国 ,理 7)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如下图 .圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上
3、的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2 B.217 5C.3 D.27.在四面体 ABCD 中, AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 . 8.由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 . 9.(2018 全国 ,理 16)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为, SA 与圆锥底面所成角为 45.若 SAB 的面积为 5 ,则该圆锥的侧面积为 . 1510.下列三个图中,左面是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图 .右面两个是其正视图和侧视图 .(
4、1)请按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程);(2)求该多面体的体积(尺寸如图) .11.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1上, A1E=D1F=4,过点E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 .(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 .3二、思维提升训练12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.9( +1) +8 B.9( +2) +4 -82 3
5、3 3C.9( +2) +4 D.9( +1) +8 -83 3 2 313.如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切 .记圆柱 O1O2的体积为 V1,球 O 的体积为 V2,则 的值是 . 1214.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点, DBC, ECA, FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB为折痕折起 DBC, ECA, FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥 .当 ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:c
6、m 3)的最大值为 . 15.若三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA平面 ABC,SA=2 ,AB=1,AC=2, BAC=60,15则球 O 的表面积为 . 16.如图 ,在矩形 ABCD 中, AB=4,BC=3,沿对角线 AC 把矩形折成二面角 D-AC-B(如图 ),并且点 D在平面 ABC 内的射影落在 AB 上 .(1)证明: AD平面 DBC;(2)若在四面体 D-ABC 内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?4专题能力训练 13 空间几何体一、能力突破训练1.C 解析 由该四棱锥的三视图,得其直观图如图 .由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知
7、PD平面 ABCD,所以侧面 PAD 和 PDC 都是直角三角形 .由俯视图为直角梯形,易知 DC平面 PAD.又 AB DC,所以 AB平面 PAD,所以 AB PA,所以侧面 PAB 也是直角三角形 .易知 PC=2 ,BC= ,PB=3,从而 PBC 不是直角三角形 .故选 C.2 52.A 解析 V= 3 +1,故选 A.13 (1212+1221)=23.A 解析 由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体,则 R3= ,解得 R=2,7843 283所以它的表面积为 4 R2+ R2=14 +3 =17 .78 344.B 解析 如图, OA= 5,AM=3,OM= 4. NMO=
8、,ON=OM sin =23 3 3.又 OB= 5,NB= ,故选 B.2-2=135.D 解析 三棱锥的各顶点在 xOy 坐标平面上的正投影分别为 A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然点 D1为 A1C1的中点,如图(1),正投影为 Rt A1B1C1,其面积 S1= 22=2.12三棱锥的各顶点在 yOz 坐标平面上的正投影分别为 A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,).显然 B2,C2重合,如图(2),正投影为 A2B2D2,其面积 S2= 22122=2.来源:学科网ZXXK三棱锥的各顶点在 zOx
9、 坐标平面上的正投影分别为 A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,),由图 (3)可知 ,正投影为 A3D3C3,其面积 S3= 2212 2=2.综上, S2=S3,S3 S1.故选 D.图(1)5图(2)图(3)6.B 解析 如图所示,易知 N 为 的中点,将圆柱的侧面沿母线 MC 剪开,展平为矩形 MCCM,易知CN=CC=4,MC=2,从 M 到 N 的路程中最短路径为 MN.在 Rt MCN 中, MN= =22+2 5.7 解析 构造一个长方体 ,使得它的三条面对角线长分别为 4,5,6,设长方体的三条边长分别为.772x,y,z,则 x2+y2
10、+z2= ,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 S=4 R2=772 772.8.2+ 解析 由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积 V=211+2 121=2+2 14 2.9.40 解析 设 O 为底面圆圆心,2 cos ASB= , sin ASB=78 1-(78)2=158.S ASB= |AS|BS| =512 158 15.SA 2=80.SA= 4 5.SA 与圆锥底面所成的角为 45, SOA=90,SO=OA= SA=222 10.S 圆锥侧 = rl=4 2 =405 10 2.10.解 (1)作出俯视图如图所示 .6(2)依题意,该多面体是由一个正方体( A
11、BCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥( E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积 A1E= 1= ,-111=13111 13(1222) 23正方体体积 =23=8,正方体 -1111故所求多面体的体积 V=8-23=223.11.解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示 .(2)作 EM AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH= =6,AH=10,HB=6.2-2因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确 ).二、思维提升训练12.D
12、解析 由三视图可知,该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成,故 S= (2 3)312+ 32-(2 )2+4 =9( +1) +8 -8.故选 D.2 2(348) 2 313 解析 设球 O 的半径为 r,则圆柱 O1O2的高为 2r,故 ,答案为.3212=22433=32 32.14.4 解析 如图所示,连接 OD,交 BC 于点 G.由题意知 OD BC,OG= BC.1536设 OG=x,则 BC=2 x,DG=5-x,3三棱锥的高 h= 2-2=25-10+2-2=25-10.因为 S ABC= 2 x3x=3 x2,12 3 3所以三棱锥的体积 V= S ABCh= x213
13、 3 25-10=3 254-105.令 f(x)=25x4-10x5,x ,则 f(x)=100x3-50x4.令 f(x)=0,可得 x=2,(0,52)7则 f(x)在(0,2)单调递增,在 单调递减,(2,52)所以 f(x)max=f(2)=80.所以 V =4 ,所以三棱锥体积的最大值为 4380 15 15.15.64 解析 如图,三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,因为 AB=1,AC=2, BAC=60,所以 BC= ,3所以 ABC=90.所以 ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 r=1.设 OO=x,球 O 的半径为 R,则 R2=x2+12,R2=(S
14、A-x)2+12,所以 x2+1= +1,(215-)2解得 x= ,R2= +12,R=4.15 (15)2所以球 O 的表面积为 4 R2=64 .16.(1)证明 设 D 在平面 ABC 内的射影为 H,则 H 在 AB 上,连接 DH,如图,则 DH平面 ABC,得 DH BC.又 AB BC,AB DH=H,所以 BC平面 ADB,故 AD BC.又 AD DC,DC BC=C,所以 AD平面 DBC.(2)解 当球的体积最大时,易知球与三棱锥 D-ABC 的各面相切,设球的半径为 R,球心为 O,则 VD-ABC= R(S ABC+S DBC+S DAC+S DAB).由已知可得 S ABC=S ADC=6.13过点 D 作 DG AC 于点 G,连接 GH,如图,可知 HG AC.易得 DG= ,HG= ,DH= ,S DAB= 4125 2720 2-2=374 12 374=372.在 DAB 和 BCD 中,因为 AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以 DAB BCD,故 S DBC= ,VD-ABC= 6372 13 374=372.则 ,3(6+327+6+327)=372于是(4 + )R= ,7327所以 R=372(4+7)=47-76 .
