1、1专题能力训练 11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.在等差数列 an中, a4+a10+a16=30,则 a18-2a14的值为 ( )A.20 B.-20 C.10 D.-102.在各项均为正数的等比数列 an中,若 log2(a2a3a5a7a8)=5,则 a1a9=( )A.4 B.5 C.2 D.253.设 an是等比数列, Sn是 an的前 n项和 .对任意正整数 n,有 an+2an+1+an+2=0,又 a1=2,则 S101的值为( )A.2 B.200 C.-2 D.04.已知 an是等差数列,公差 d不为零,前 n项和是 Sn,若 a3,a4,a8成等比数列,则(
2、)A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS405.已知数列 an满足 ,且 a2=2,则 a4等于 ( )+1+1+1=12A.- B.23 C.12 D.116.已知各项均为正数的等差数列 an的前 n项和为 Sn,S10=40,则 a3a8的最大值为 . 7.设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 8.设 x,y,z是实数,若 9x,12y,15z成等比数列,且 成等差数列,则 = . 1,1,1 +9.已知 Sn为数列 an的前 n项和,且 a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN *).(1)求证: an-2n为等比数列;(2)求
3、数列 an的前 n项和 Sn.10.(2018全国 ,理 17)记 Sn为等差数列 an的前 n项和,已知 a1=-7,S3=-15.(1)求 an的通项公式;(2)求 Sn,并求 Sn的最小值 .11.已知数列 an是等比数列 .设 a2=2,a5=16.(1)若 a1+a2+a2n=t( + ),nN *,求实数 t的值;21+22 2(2)若在 之间插入 k个数 b1,b2,bk,使得 ,b1,b2,bk, 成等差数列,求 k的值 .11与 14 11 14,152二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件 .为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取
4、软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推 .求满足如下条件的最小整数 N:N100且该数列的前 N项和为 2的整数幂 .那么该款软件的激活码是( )A.440 B.330 C.220 D.11013.若数列 an为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= + 等于( )112+ 123 1+1A.1- B.14 23(1-14)C.1- D.12 23(1-12)14.已知等比数列 an的首项为,公比为 -,其前
5、n项和为 Sn,若 A Sn- B对 nN *恒成立,则 B-A1的最小值为 . 15.无穷数列 an由 k个不同的数组成, Sn为 an的前 n项和,若对任意 nN *,Sn2,3,则 k的最大值为 . 16.等比数列 an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a2a6.23(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 的前 n项和 .117.若数列 an是公差为正数的等差数列,且对任意 nN *有 anSn=2n3-n2.(1)求数列 an的通项公式 .(2)是否存在数列 bn,使得数列 anbn的前 n项和为 An=5+(2n-3
6、)2n-1(nN *)?若存在,求出数列 bn的通项公式及其前 n项和 Tn;若不存在,请说明理由 .3专题能力训练 11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.D 解析 因为 a4+a10+a16=30,所以 3a10=30,即 a10=10,所以 a18-2a14=-a10=-10.故选 D.2.A 解析 由题意得 log2(a2a3a5a7a8)=log2 =5log2a5=5,所以 a5=2.所以 a1a9= =4.故55 25选 A.3.A 解析 设公比为 q,a n+2an+1+an+2=0,a 1+2a2+a3=0,a 1+2a1q+a1q2=0,q 2+2q+1=0,q=- 1
7、.又 a1=2,S 101= =2.1(1-101)1- =21-(-1)1011+14.B 解析 设 an的首项为 a1,公差为 d,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a 3,a4,a8成等比数列, (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即 3a1d+5d2=0.d 0,a 1d=- d20,a80,所以 a3a810(1+10)2=16,当且仅当 a3=a8=4时取等号 .(3+82 )2=(82)27.64 解析 由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得 ,1+3(1+3)=105解得 q= ,a1=8,12所以 a1a2an
8、=8n ,抛物线 f(n)=- n2+ n的对称轴为 n=-(12)1+2+(-1)=2-122+72 12 72=3.5,722( -12)又 nN *,所以当 n=3或 4时, a1a2an取最大值为 =26=64.2-1232+7328 解析 由题意知.3415 (12)2=915,2=1+1, 解得 xz= y2= y2,x+z= y,1229151615 32154从而 -2= -2=+=2+2=(+)2-2 =(+)2(3215)2216152 3415.来源:Zxxk.Com9.(1)证明 由 an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=
9、3(an-2n).又 a2=3a1-2,则 S2=a1+a2=4a1-2,得 a2+S2=7a1-4=31,得 a1=5,则 a1-21=30 .故 an-2n为等比数列 .(2)解 由(1)可知 an-2n=3n-1(a1-2)=3n,a n=2n+3n,S n= =2n+1+2(1-2)1-2 +3(1-3)1-3 3+12 72.10.解 (1)设 an的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15.由 a1=-7得 d=2.所以 an的通项公式为 an=2n-9.(2)由(1)得 Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4时, Sn取得最小值,最小值为 -16.11.解 设等比
10、数列 an的公比为 q,由 a2=2,a5=16,得 q=2,a1=1.(1)a 1+a2+a2n=t( + ),21+22 2=t ,即 =t 对 nN *都成立, t= 3.1(1-2)1- 21(1-2)1-2 1-221-2 1-221-4(2) =1, ,11 14=18,15=116且 ,b1,b2,bk, 成等差数列,11 14,15 公差 d= =- ,且 =(k+1)d,1514 116 1411即 -1=(k+1) ,解得 k=13.18 (- 116)二、思维提升训练12.A 解析 设数列的首项为第 1组,接下来两项为第 2组,再接下来三项为第 3组,以此类推,设第n组的
11、项数为 n,则前 n组的项数和为 第 n组的和为 =2n-1,前 n组总共的和为(1+)2 . 1-21-2-n=2n+1-2-n.2(1-2)1-2由题意, N100,令 100,得 n14 且 nN *,即 N出现在第 13组之后 .若要使最小整数(1+)2N满足: N100且前 N项和为 2的整数幂,则 SN- 应与 -2-n互为相反数,即 2k-(1+)21=2+n(kN *,n14),所以 k=log2(n+3),解得 n=29,k=5.所以 N= +5=440,故选 A.29(1+29)213.B 解析 因为 an=12n-1=2n-1,所以 anan+1=2n-12n=22n-1
12、=24n-1,所以1+1=12(14)-1.5所以 是等比数列 .1+1故 Tn= +112+ 123 1+1=121(1- 14)1-14 =23(1-14).14 解析 易得 Sn=1- ,.5972 (-13)89,1)(1,43因为 y=Sn- 上单调递增 (y0),1在 89,43所以 y A,B,因此 B-A的最小值为-1772,712 712(-1772)=5972.15.4 解析 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为 2,1,-1,0,0,0,所以最多由 4个不同的数组成 .16.解 (1)设数列 an的公比为 q.由 =9a2a6得 =9 ,所以 q2=23 23 2
13、4 19.由条件可知 q0,故 q=13.由 2a1+3a2=1得 2a1+3a1q=1,所以 a1=13.故数列 an的通项公式为 an=13.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-(+1)2 .故 =- =-2 ,1 2(+1) (1- 1+1)+11+12 1=-2 + =-(1-12) +(12-13) (1- 1+1) 2+1.所以数列 的前 n项和为 -1 2+1.17.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,则 d0,an=dn+(a1-d),Sn= dn2+ n.12 (1-12)对任意 nN *,恒有anSn=2n3-n2,则 dn+(a1
14、-d) =2n3-n2,122+(1-12)即 dn+(a1-d) =2n2-n.12+(1-12)6122=2,12(a1-)+(1-12)=-1,(1-)(1-12)=0. d 0, an=2n-1.1=1,=2,(2) 数列 anbn的前 n项和为 An=5+(2n-3)2n-1(nN *), 当 n=1时, a1b1=A1=4,b 1=4,当 n2 时, anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.b n=2n-2.假设存在数列 bn满足题设,且数列 bn的通项公式 bn=4,=1,2-2,2,T 1=4,当 n2 时, Tn=4+ =2n-1+3,当 n=1时也适合,1-2-11-2 数列 bn的前 n项和为 Tn=2n-1+3.
