1、12.3 一元二次方程学用 P17过关演练 (30 分钟 70 分)1.(2018山东临沂) 一元二次方程 y2-y- =0 配方后可化为 (B)34A. =1 B. =1(+12)2 (-12)2C. D.(+12)2=34 (-12)2=34【解析】将一元二次方程 y2-y- =0 配方后可化为 =1.34 (-12)22.若 1- 是方程 x2-2x+c=0 的一个根,则 c 的值为 (A)3A.-2 B.4 -2 C.3- D.1+3 3 3【解析】 关于 x 的方程 x2-2x+c=0 的一个根是 1- , (1- )2-2(1- )+c=0,解得 c=-2.3 3 33.(2018
2、山东泰安) 一元二次方程( x+1)(x-3)=2x-5 根的情况是 (D)A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于 3D.有两个正根,且有一根大于 3【解析】( x+1)(x-3)=2x-5,整理得 x2-4x+2=0,即( x-2)2=2,解得 x1=2+ 3,x2=2- ,故有两2 2个正根,且有一根大于 3.4.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m-2=0 有两个实数根, m 为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数 m 的和为 (B)A.6 B.5 C.4 D.3【解析】 a= 1,b=2,c=m-2,关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m
3、-2=0 有实数根, =b 2-4ac=22-4(m-2)=12-4m0, m 3 .m 为正整数,且该方程的根都是整数, m= 2 或 3. 2+3=5.5.若( a2+b2)(a2+b2-2)=8,则 a2+b2的值为(B)A.4 或 -2 B.4 C.-2 D.-4【解析】设 a2+b2=x,可得 x(x-2)=8,解得 x1=4,x2=-2,因为 a2+b2的值为非负数,所以 a2+b2的值为 4.26.(2018辽宁大连) 如图,有一张矩形纸片,长 10 cm,宽 6 cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒 .若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32
4、 cm2,求剪去的小正方形的边长 .设剪去的小正方形边长是 x cm,根据题意可列方程为 (B)A.106-46x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.106-4x2=32【解析】设剪去的小正方形边长是 x cm,则纸盒底面的长为(10 -2x)cm,宽为(6 -2x)cm,根据题意得(10 -2x)(6-2x)=32.7.(2018四川眉山) 我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方 4860 元的均价开盘销售,则平均每次
5、下调的百分率是 (C)A.8% B.9% C.10% D.11%【解析】设平均每次下调的百分率为 x,由题意得 6000(1-x)2=4860,解得 x1=0.1,x2=1.9(舍去) .即平均每次下调的百分率为 10%.8.(2018浙江嘉兴) 欧几里得的原本记载,形如 x2+ax=b2的方程的图解法:画 Rt ABC,使 ACB=90,BC= ,AC=b,再在斜边 AB 上截取 BD= .则该方程的一个正根是 (B)2 2A.AC 的长 B.AD 的长C.BC 的长 D.CD 的长【解析】设 AD=x,根据勾股定理得 =b2+ ,整理得 x2+ax=b2,则该方程的一个正根是(+2)2 (
6、2)2AD 的长 .9.(2018湖南常德) 若关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根,则 b 的值可能是 6(本题答案不唯一) .(只写一个) 【解析】 关于 x 的一元二次方程 2x2+bx+3=0 有两个不相等的实数根, =b 2-4230,解得 b2 .6 610.已知 m2-2m-1=0,n2+2n-1=0 且 mn1,则 的值为 3 . +1【解析】由 n2+2n-1=0 可知 n0 . 1+ =0. -1=0,又 m2-2m-1=0 且 mn1,即212 122m .m , 是方程 x2-2x-1=0 的两根 .m+ =2. =m+1+ =2+1=3
7、.1 1 1 +1 111.(2018四川内江) 已知关于 x 的方程 ax2+bx+1=0 的两根为 x1=1,x2=2,则方程 a(x+1)2+b(x+1)+1=0 的两根之和为 1 . 【解析】设 x+1=t,方程 a(x+1)2+b(x+1)+1=0 的两根分别是 x3,x4,at 2+bt+1=0,由题意可知 t1=1,t2=2,t 1+t2=3,x 3+x4+2=3,即 x3+x4=1.312.(6 分)解方程:2( x-3)=3x(x-3).解:2( x-3)=3x(x-3),移项得 2(x-3)-3x(x-3)=0,整理得( x-3)(2-3x)=0,x- 3=0 或 2-3x
8、=0,解得 x1=3,x2= .2313.(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根 x1,x2,请用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明 x1x2= .解: ax 2+bx+c=0(a0), x 2+ x=- , x 2+ x+ =- ,即 , (2)2 +(2)2 (+2)2=2-442 4a20, 当 b2-4ac0 时,方程有实数根,x+ = ,2 2-42 当 b2-4ac0 时, x1= ,x2= ;当 b2-4ac=0 时, x1=x2=-+2-42 - 2-42.2x 1x2= ,(-+2-4)(- 2-4)42 =2-(2-4
9、)42 =442=或 x1x2= ,(- 2)2=242=442=x 1x2= .14.(9 分)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3 月份的生产成本是 361 万元 .假设该公司 2,3,4 月每个月生产成本的下降率都相同 .(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测 4 月份该公司的生产成本 .解:(1)设每个月生产成本的下降率为 x,根据题意得 400(1-x)2=361,解得 x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去) .答:每个月生产成本的下降率为 5%.(2)361(1-5%)=342.95(万元) .答:预测 4 月份
10、该公司的生产成本为 342.95 万元 .名师预测1.方程 x-2=x(x-2)的解为 (D)A.x=0 B.x1=0,x2=2C.x=2 D.x1=1,x2=2【解析】原方程变形为 x-2-x(x-2)=0,(x-2)(1-x)=0,x-2=0 或 1-x=0,解得 x1=1,x2=2.42.若 x=0 是关于 x 的一元二次方程( m-1)x2+5x+m2-3m+2=0 的一个根,则 m 的值为 (B)A.1 B.2 C.1 或 2 D.0【解析】把 x=0 直接代入方程得 m2-3m+2=0,解得 m=1 或 2,又由已知可得 m1,故 m=2.3.某商店今年 1 月份的销售额是 2 万
11、元,3 月份的销售额是 4.5 万元,从 1 月份到 3 月份,该店销售额平均每月的增长率是 (C)A.20% B.25% C.50% D.62.5%【解析】设该店销售额平均每月的增长率为 x,则 2 月份销售额为 2(1+x)万元,3 月份销售额为 2(1+x)2万元,由题意可得 2(1+x)2=4.5,解得 x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去) .4.某中学组织初三学生篮球比赛,以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排 15 场比赛,则共有多少个班级参赛? (C)A.4 B.5 C.6 D.7【解析】设共有 x 个班级参赛,根据题意得 =15,解得 x1=6,x2=-5
12、(不合题意,舍去),则(-1)2共有 6 个班级参赛 .5.在实数范围内定义一种运算“ *”,其规则为 a*b=a2-b,根据这个规则,方程( x-1)*9=0 的解为 x1=-2,x2=4 . 【解析】由已知可得( x-1)*9=(x-1)2-9=0,即 x-1=3,解得 x1=-2,x2=4.6.已知关于 x 的一元二次方程 x2-(n+3)x+3n=0.(1)求证:此方程总有两个实数根;(2)若此方程有两个不相等的整数根,请选择一个合适的 n 值,写出这个方程并求出此时方程的根 .解:(1) = (n+3)2-12n=(n-3)2,又( n-3)20, 方程有两个实数根 .(2) 方程有
13、两个不相等的实根,n 3,取 n=0,则方程化为 x2-3x=0,因式分解为 x(x-3)=0,x 1=0,x2=3.7.阅读下列材料,解答问题 .(2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2.解:设 m=2x-5,n=3x+7,则 m+n=5x+2,则原方程可化为 m2+n2=(m+n)2,所以 mn=0,即(2 x-5)(3x+7)=0,解得 x1= ,x2=- .52 73请利用上述方法解方程(4 x-5)2+(3x-2)2=(x-3)2.解:设 m=4x-5,n=3x-2,则 m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3,原方程化为 m2+n2=(m-n)2,整理得 mn=0,即(4
14、x-5)(3x-2)=0,4x-5=0,3x-2=0,解得 x1= ,x2= .54 238.已知关于 x 的一元二次方程 x2-5x+2m=0 有实数根 .(1)求 m 的取值范围;5(2)当 m= 时,方程的两根分别是矩形的长和宽,求该矩形外接圆的直径 .52解:(1) 方程有实数根, = (-5)2-412m0,解得 m ,258m 的取值范围为 m .258(2)当 m= 时,原方程可化为 x2-5x+5=0,52设方程的两个根分别为 x1,x2,则 x1+x2=5,x1x2=5, 该矩形外接圆的直径是矩形的对角线 AC,如图所示,AC= ,21+22=(1+2)2-212=52-25
15、=15 该矩形外接圆的直径是 .159.为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为 30 万元,经过市场调研发现,每台售价为 40 万元时,年销售量为 600台;每台售价为 45 万元时,年销售量为 550 台 .假定该设备的年销售量 y(单位:台)和销售单价 x(单位:万元)成一次函数关系 .(1)求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 70 万元,如果该公司想获得 10000 万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?解:(1)设年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0),将(40,600),(45,550)代入 y=kx+b,得解得40+=600,45+=550, =-10,=1000, 年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=-10x+1000.(2)设此设备的销售单价为 x 万元,则每台设备的利润为( x-30)万元,销售数量为( -10x+1000)台,根据题意得( x-30)(-10x+1000)=10000,整理得 x2-130x+4000=0,解得 x1=50,x2=80. 此设备的销售单价不得高于 70 万元, x= 50.答:该设备的销售单价应是 50 万元 .
