1、14.5 解直角三角形过关演练 (30 分钟 70 分)1.cos 60的值等于 (D)A. B.1 C. D.322 12【解析】根据特殊角的三角函数值,可得 cos 60= .122.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,4),那么 sin 的值是 (C)A. B. C. D.35 34 45 43【解析】作 AB x 轴于点 B,由勾股定理得 OA=5,在 Rt AOB 中利用正弦的定义得出 sin = .=453.如图,已知 AD 是等腰 ABC 底边上的高,且 sin B= .点 E 在 AC 上,且 AEEC= 2 3,则45tan ADE= (D)A. B. C. D.
2、13 23 25 122【解析】作 EF CD 交 AD 于点 F, sin B=sin C= , 设 AD=4x,则 AC=5x,CD=3x.=45,DF= x,AF= x, ,EF= x, tan ADE=- =23 125 85 =25 65.=124. ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1),AD BC 于点 D,下列选项中,错误的是 (C)A.sin = cos B.tan C=2C.sin = cos D.tan = 1【解析】 AD BC,AD=BD,= 45, sin = cos ,tan = 1.在 Rt ACD 中,CD=1,AD=2,AC= , tan
3、 C= =2,sin = ,cos = , sin 12+22=5 15=55 25=255 cos .5.(2018浙江金华) 如图,两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上,量得 ABC= , ADC= ,则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为 (B)A. B. C. D. 【解析】在 Rt ABC 中, AB= ,在 Rt ACD 中, AD= ,ABAD= . =6.(2018江苏无锡) 如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点,正方形 EFGH 的顶点 G,H 都在边 AD 上,若 AB=3,BC=4,则 tan AFE 的值 (A)A.等于37B.等于333
4、C.等于34D.随点 E 位置的变化而变化【解析】 EF AD, AFE= FAG,EH CD, AEH ACD, .设=34EH=3x,AH=4x,HG=GF= 3x, tan AFE=tan FAG= .= 33+4=377.(2018重庆) 如图, AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端 B 出发,先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C,再经过一段坡度(或坡比)为 i=1 0.75、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D,然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E(A,B,C,D,E 均在同一平面内) .在E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24,则建筑物 AB 的高度
5、约为(参考数据:sin 240 .41,cos 240 .91,tan 240 .45)(A)A.21.7 米 B.22.4 米C.27.4 米 D.28.8 米【解析】作 BM ED 交 ED 的延长线于点 M,作 CN DM 于点 N.在 Rt CDN 中, , 设 CN=4k,DN=3k,CD= 10, (3k)2+(4k)2=100,k= 2,CN= 8,DN=6, 四=10.75=43边形 BMNC 是矩形, BM=CN= 8,MN=BC=20,EM=MN+DN+DE=66,在 Rt AEM 中,tan 24= , 0.45= ,AB= 21.7(米) . 8+668.在 ABC 中
6、, AB=12 ,AC=13,cos B= ,则 BC 的边长为 (D)222A.7 B.8C.8 或 17 D.7 或 17【解析】 cos B= , B=45,当 ABC 为钝角三角形时 ,如图221,AB= 12 , B=45,AD=BD= 12,AC= 13, 由勾股定理得 CD=5,BC=BD-CD= 12-5=7;2当 ABC 为锐角三角形时,如图 2,BC=BD+CD= 12+5=17.综上, BC 的长为 7 或 17.9.在 Rt ABC 中, ACB=90,CD 是斜边 AB 的中线, CD=5,AC=6,则 sin B 的值是 . 35【解析】 在 Rt ABC 中, C
7、D 是斜边 AB 的中线, CD=5,AB= 2CD=10, sin B= .=610=35410.(2018北京) 如图所示的网格是正方形网格, BAC DAE.(填“ ”“=”或“ 0.6, 正弦值随着角度的增大而增大, BAC DAE.=222=2211.(2018浙江宁波) 如图,在菱形 ABCD 中, AB=2, B 是锐角, AE BC 于点 E,M 是 AB 的中点,连接 MD,ME.若 EMD=90,则 cos B 的值为 . 3-12【解析】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H,连接 ED. 四边形 ABCD 是菱形,AD=BC=AB= 2,AD CH, ADM= H,AM
8、=BM , AMD= HMB, ADM BHM,HB=AD= 2,HM=DM,EM DH,EH=ED ,设 BE=x,A E BC,AE AD, AEB= EAD=90,AE 2=AB2-BE2=DE2-AD2, 22-x2=(2+x)2-22,解得 x= -1 或 - -1(舍弃), cos ABE= .3 3=3-1212.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为 34的斜坡,从 A 滑行至 B,已知 AB=500 米,则这名滑雪运动员的高度下降了 280 米 .(参考数据:sin 340 .56,cos 340 .83,tan 340 .67) 【解析】在 Rt ABC 中,sin B= ,AC
9、=AB sin 34500 0.56=280(米) .513.(8 分)某地铁站口的垂直截图如图所示,已知 A=30, ABC=75,AB=BC=4 米,求点 C到地面 AD 的距离 .(结果保留根号)解:过点 B 作 BE AD 于点 E,作 BF AD,过点 C 作 CF BF 于点 F,在 Rt ABE 中, A=30,BE= AB=2(米) .12BF AD, ABF= A=30,又 ABC=75, CBF=45.在 Rt BCF 中, CF=BCsin 45=4 =2 (米) .22 2 点 C 到地面 AD 的距离为(2 +2)米 .214.(10 分) (2018辽宁抚顺) 如图
10、, BC 是路边坡角为 30,长为 10 米的一道斜坡,在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯,射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角 DAN 和 DBN 分别是 37和 60(图中的点 A,B,C,D,M,N 均在同一平面内, CM AN).(1)求灯杆 CD 的高度;(2)求 AB 的长度 .(结果精确到 0.1 米,参考数据: 1 .73,sin 370 .60,cos 3730 .80,tan 370 .75)解:(1)延长 DC 交 AN 于点 H. DBH=60, DHB=90, BDH=30, CBH=30, CBD= BDC=30,CD=BC= 10(
11、米) .答:灯杆 CD 的高度为 10 米 .(2)在 Rt BCH 中, CH= BC=5,BH=5 8 .65,12 3DH= 15,在 Rt ADH 中, AH= =20,37150.75AB=AH-BH= 20-8.6511 .4(米) .答: AB 的长度为 11.4 米 .名师预测1. A, B 都是锐角 ABC 的内角, cos A- + =0,则 C 的度数是 (D)32 (- 32)26A.30 B.45 C.60 D.90【解析】由题意得 cos A- =0,sin B- =0,则 cos A= ,sin B= ,故 A=30, B=60,则32 32 32 32 C=18
12、0-30-60=90.2.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图所示,斜坡 AB 的坡比为 (C)A.1 3 B.3 1C.1 2 D.2 12 2【解析】 AB= 3,BC=1, C=90, AC= =2 , 斜坡 AB 的坡比为 =1 2 .32-12 2 23.如图,点 D(0,3),O(0,0),C(4,0)在 A 上, BD 是 A 的一条弦,则 sin OBD=(A)A. B. C. D.35 34 45 12【解析】连接 CD,D (0,3),C(4,0),OD= 3,OC=4, COD=90,CD= =5, OBD= OCD, sin OBD=sin OCD= .32+42=354
13、.如图,在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE,在地面观测点 A 处测得屋顶 C 与树梢 D的仰角分别是 45与 60, CAD=60,在屋顶 C 处测得 DCA=90.若房屋的高 BC=6 米,则树高 DE 的长度为 (D)A.3 米 B.6 米6 2C.3 米 D.6 米3 6【解析】 在 Rt ABC 中, ABC=90, CAB=45,BC=6 米, AC= BC=6 米; 在 Rt2 2ACD 中, DCA=90, CAD=60, ADC=30,AD= 2AC=12 米; 在 Rt DEA 中,2 AED=90, EAD=60,DE=AD sin 60=6 米 .65.如图,在
14、菱形 ABCD 中, DE AB,垂足是 E,DE=6,sin A= ,则菱形 ABCD 的周长是 40 . 357【解析】由已知可得 AED 为直角三角形,则 sin A= ,即 ,解得 AD=10,故菱形35=6ABCD 的周长为 104=40.6.如图,在等腰 Rt ABC 中, C=90,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tan DBA= ,则 AD 的长为 152 . 【解析】过点 D 作 DE AB 于点 E, C=90,AC=BC=6,AB= AC=6 , A=45,在 Rt2 2ADE 中,设 AE=x,则 DE=x,AD= x,在 Rt BED 中,tan DBE= ,BE
15、= 5x,x+ 5x=6 ,2=15 2解得 x= ,AD= =2.2 227.轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30方向匀速航行,在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 75方向上,轮船航行半小时到达 C 处,在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60方向上,则 C 处与灯塔 A 的距离是 25 海里 . 【解析】根据题意, BCD=30, ACD=60, ACB=30+60=90, CBA=75-30=45, ABC 为等腰直角三角形, BC= 500.5=25,AC=BC= 25(海里) .8.计算:2cos 30 -(2017+) 0+|3tan 30-2|.解:原式 =2
16、-1+| -2|32 3= -1+2-3 3=1.9.如图,为了测量建筑物 AB 的高度,在 D 处竖立标杆 CD,标杆的高是 2 m,在 DB 上选取观测点 E,F,从点 E 测得标杆和建筑物的顶部 C,A 的仰角分别为 58,45.从点 F 测得 C,A 的仰角分别为 22,70.求建筑物 AB 的高度 .(结果精确到 0.1 m,参考数据:tan 220 .40,tan 581 .60,tan 702 .75)解:在 Rt CED 中, CED=58,DE= ,58= 2588在 Rt CFD 中, CFD=22,DF= ,22= 222EF=DF-DE= ,222 258同理 EF=B
17、E-BF= ,45 70 ,45 70= 222 258解得 AB5 .9(米),答:建筑物 AB 的高度约为 5.9 米 .10.如图,学校的实验楼对面是一栋教学楼,小敏在实验楼的窗户 C 处测得教学楼顶部 D 的仰角是 18,教学楼底部 B 的俯角是 20,量得实验楼与教学楼之间的距离是 AB=30 m.(1)求 BCD 的度数;(2)求教学楼的高 BD.(结果精确到 0.1 m,参考数据:tan 180 .32,tan 200 .36)解:(1)过点 C 作 CE BD 于点 E, DCE=18, BCE=20, BCD= DCE+ BCE=18+20=38.(2)由已知得 CE=AB=30 m,在 Rt CBE 中, BE=CEtan 2030 0.36=10.80 (m),在 Rt CDE 中, DE=CEtan 1830 0.32=9.60 (m), 教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4 (m).答:教学楼的高为 20.4 m.
