1、- 1 -沁县中学 2017-2018 学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列 的一个通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】观察数列分子为以 0 为首项，2 为公差的等差数列，分母是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故可得数列的通项公式【详解】观察数列分子为以 0 为首项，2 为公差的等差数列，分母是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故可得数列的通项公式 an= （nZ *） 故选：C【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公
2、式的求法，是基础题2.设集合 Ax|x 24x30，则 AB( )A. ( ,3) B. (3, )C. (1, ) D. (3, )【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合 A，B，结合交集的定义，可得答案【详解】集合 A=x|x24x+30=（1，3） ，B=x|2x30=（ ，+） ，- 2 -AB=（ ，3） ，故选：A【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题3.在 中， ，则 （ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得 sinB= = ，结合范围 ，即可解得 B 的值【详解】由正弦定理可得：sinB= = = ，,解得：
3、B= 或 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查4.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出公差 d，由 a8+a10=28 求出公差 d，求利用前 n 项和公式求解 S9得答案【详解】等差数列的首项为 a1=2，设公差为 d，由 a8=a1+7d，a 10=a1+9d，a 8+a10=28即 4+16d=28- 3 -得 d= ，那么 S9= =72故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题5.若 ，则下列说法正确的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ，则C.
4、若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可【详解】A取 a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B取 c=0，显然不成立，C取 a=-3，b=2，显然不成立，D根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有 B 正确故选：D【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题6.若 的三个内角满足 ，则 （ ）A. 一定是锐角三角形； B. 一定是直角三角形；C. 一定是钝角三角形； D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理及题设，推断 a：b：c=7：11：1
5、3，再通过余弦定理求得 cosC 的值小于零，推断 C 为钝角【详解】根据正弦定理，- 4 -又 sinA：sinB：sinC=7：11：13a：b：c=7：11：13，设 a=7t，b=11t，c=13t（t0）c 2=a2+b22abcosCcosC= = = 0角 C 为锐角又角 C 为最大角，故一定是锐角三角形故选：A【点睛】由边角关系判断三角形形状，可以灵活应用 “角化边”或“边化角”两个途径，其中方法一综合应用正弦定理完成边向角的转化，应用和差角公式进行三角变形，得出角之间的关系，最终确定三角形的形状。方法二通过正、余弦定理完成角向边的转化，利用因式分解得出三边关系，从而确定形状。
6、7.在各项都为正数的数列 中，首项 ，且点 在直线 上，则数列 的前 项和 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入点 ，化简可得数列a n为首项为 2，公比为 3 的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和【详解】在正数数列a n中，a 1=2，且点 在直线 x9y=0 上，可得 an2=9an1 2，即为 an=3an1 ，可得数列a n为首项为 2，公比为 3 的等比数列，则a n的前 n 项和 Sn等于 = =3n1故选：B- 5 -【点睛】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前 n 项和公式和通项公
7、式的灵活运用8.若两个正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据 =1 可得 x+2y=（x+2y） （ ） ，然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件【详解】两个正实数 x，y 满足 =1，x+2y=（x+2y） （ ）=4+ 4+2 =8，当且仅当 时取等号即 x=4，y=2，故 x+2y 的最小值是 8故选：A【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题9.已知 中， 的对边分别是 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 A 的度数求出 si
8、nA 和 cosA 的值，根据 sinA 的值，三角形的面积及 b 的值，利用三角形面积公式求出 c 的值，再由 cosA，b 及 c 的值，利用余弦定理求出 a 的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值【详解】由A= ，得到 sinA= ，cosA= ，又 b=1，S ABC = ，- 6 - bcsinA= 1c = ，解得 c=4，根据余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=1+16+4=21，解得 a= ，根据正弦定理 = = = = ，则 = = = 故选：【点睛】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理
9、建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键10.已知 为等差数列， , ,以 表示 的前 项和，则使得达到最大值的 是（ ）A. 21 B. 20 C. 19 D. 18【答案】B【解析】试题分析：设等差数列 的公差为 ，则由已知 , ,得：，解得： ，由 ，得： ，当 时， ，当 时， ，故当 时， 达到最大值.故选 B考点：等差数列的前 n 项和【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前 n 项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前 n 项和公的角度，由二次函数求最值时，对于 n 等于 21 还是 20 时，- 7 -取得最大值，学生是最容易出错的.视
10、频11.若不等式组 表示一个三角形内部的区域，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先画出 的可行域，再对 a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数 a 的取值范围【详解】不等式组 表示的平面区域如图：由图可知， ，解得 x=y= ，即 A（ ， ） ，则 a + =实数 a 的取值范围是 a 故选：D【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画- 8 -出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围12.在锐角 中， ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定
11、 B 的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可【详解】在锐角ABC 中，A=2B，B（30，45） ，cosB（ ， ） ，cos 2B（ ， ） ，所以由正弦定理可知： = = = =34sin 2B=4cos2B1（ 1，2） ，故选：B【点睛】本题是中档题，考查正弦定理在解三角形中的应用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.数列满足 ，则 _【答案】【解析】【分析】求出数列的周期，然后求解数列的项【详解】数列a n满足 ， ，可得 a2= ，a 3=1，a 4= ，所以数列的
12、周期为 3，故答案为： 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键- 9 -14.已知 的解集为 ，则 _【答案】5【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出【详解】关于 x 的不等式 ax2+x+b0 的解集是（2，3） ，2，3 是方程 ax2+x+b=0 的两个实数根，且 a02+3= ，23= ，解得 a=1，b=6，a+b=5故答案为：5【点睛】二次函数图象与 x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式15.如图，为了测量 两点间的距离，选取同一平面上的 两点，测出四边形 各边的
13、长度： ,且 与 互补，则 的长为_ 【答案】【解析】【分析】分别在ACD，ABC 中使用余弦定理计算 cosB，cosD，令 cosB+cosD=0 解出 AC【详解】在ACD 中，由余弦定理得：cosD= = ，在ABC 中，由余弦定理得：cosB= = - 10 -B+D=180，cosB+cosD=0，即 + =0，解得 AC=7故答案为： 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于中档题16.设数列 的前 项和为 ，且 ，正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，, 数列 中， ，且 ，则 的通项公式为_【答案】【解析】【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，利用叠加法求出数列的通项公
14、式【详解】 ，令 n=1，a 1=1，a n=SnS n1 =2（n1） （n2） ，经检验 a1=1 不能与 an（n2）时合并，又数列b n为等比数列，b2=a2=2，b 4=a5=8， ，q=2，b 1=1， ， ，- 11 -，以上各式相加得 ，c1=a1=1， ， 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ，求 的长度。【答案】【解析】【分析】由余弦定理求得 BD，再由正弦定理求出 BC 的值【详解】在 中 ，由余弦定理得，解得 或 （舍），
15、，在 中 ，由正弦定理得 ，即 解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，一元二次方程的解法，求出 BD 的值，是解题的关键18.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，- 12 -据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y（单位：元）与营运天数 x 满足函数关系式 .（1）要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 的值最大？【答案】(1) 40 到 80 天之间(2) 每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天【解析】试题分析： 直接代入令 ，解出 的值
16、即可根据条件列出不等式求出 的值，即可得到结论解析：（1）要使营运累计收入高于 800 元，令 ， 解得 . 所以营运天数的取值范围为 40 到 80 天之间 （2） 当且仅当 时等号成立，解得 所以每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天 19.已知公差不为 0 的等差数列 的首项 ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，计算可得公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 = = （ ） ，运用数列的裂项相消求和，可得- 13
17、-Sn【详解】 （1）设数列 的公差为 ，则 ， .由 ， ， 成等比数列，得 ， 即 ，得 （舍去）或 . 所以数列 的通项公式为 ， .（2）因为 ， 所以 .【点睛】本题考查等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，不等式的解法，属于中档题20.某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需要 100 米，铁丝 300 米，设该厂用所有原来编制个花篮 ， 个花盆.（）列出 满足的关系式，并画出相应的平面区域；（）若出售一个花篮可
18、获利 300 元，出售一个花盘可获利 200 元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？【答案】 （1）见解析；（2）该厂编制 200 个花篮,100 花盆所获得利润最大,最大利润为 8 万元.【解析】试题分析：(1)列出 x、y 满足的关系式为 ,画出不等式组所表示的平面区域即可.(2)设该厂所得利润为 z 元,写出目标函数,利用目标函数的几何意义,求解目标函数z=300x+200y,所获得利润.试题解析：(1)由已知 x、 y 满足的关系式为 等价于该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分.- 14 -(2)设该厂所得利润为 z 元,则目标函数为
19、z=300x+200y将 z=300x+200y 变形为 ,这是斜率为 ,在 y 轴上截距为 、随 z 变化的一族平行直线.又因为 x、 y 满足约束条件,所以由图可知,当直线 经过可行域上的点 M 时,截距最大,即 z 最大.解方程组 得点 M 的坐标为(200,100)且恰为整点,即 x=200,y=100.所以, .答：该厂编制 200 个花篮,100 花盆所获得利润最大,最大利润为 8 万元.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目
20、标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.21.设 的内角 的对边分别为 ，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的值及 的周长.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得 ，由于 sinA0，可求 tanB 的值，结合范围 B（0，） ，利用特殊角的三角函数值即可求得 B 的值- 15 -（2）由已知及正弦定理可得 c=2a，利用余弦定理可求 9=a2+c2ac，联立即可解得 a，c 的值，利用三角形面积公式即可计算得解【详解】 （1）由正弦定理得在 中，即 ； （2） ，由正弦定理得 又，解得 （负根舍去） ， 的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理
21、，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题22.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n2(nN *)，在数列b n中，b 11，点P(bn，b n1 )在直线 xy20 上(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)记 Tna 1b1a 2b2 a nbn，求 Tn【答案】 （1） =2n-1；（2） 【解析】试题分析：（1）利用“当 n=1，a 1=2；当 n2 时，a n=Sn-Sn-1”和等比数列的通项公式即可得出 an；利用等差数列的定义和通项公式即可得出 bn（）先把所求结论代入求出数列cn的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和试题解析：解（1）由 ，得 （n2）两式相减得 即 （n2）又 ，- 16 - 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列 点 P( ， )在直线 x-y+2=0 上 +2=“0“ 即 =2 是等差数列， =2n-1(2) 两式相减得，=2+2=2+4考点：1数列的求和；2等比数列；3数列递推式
