1、1第 1 讲 空间中的平行与垂直考情考向分析 自从江苏实施新课标以来，命题者严格执行江苏高考对立体几何的考试说明要求，大幅度降低难度，命题的焦点是空间平行与垂直试题总体在送分题的位置，但是对考生的规范答题要求比较高热点一 空间线面关系的判定例 1 (1)若直线 a 与平面 不垂直，则在平面 内与直线 a 垂直的直线有_条答案 无数(2)(2018江苏泰州中学调研)已知 a， b， c 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为_(填序号)若 a c， b c，则 a b；若 ， ，则 ；若 a ， b ，则 a b；若 a ， a ，则 .答案 解析 可以借助长方
2、体进行判断，中的 a， b 也可能相交或异面；中的 ， 可能相交，正确思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练 1 如图，平面 与平面 相交于 BC， AB ， CD ，点 ABC，点 DBC，则下列叙述正确的是_(填序号)直线 AD 与 BC 是异面直线；过 AD 只能作一个平面与 BC 平行；过 AD 只能作一个平面与 BC 垂直；过 D 只能作唯一平面与 BC 垂
3、直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行2答案 解析 由异面直线的判定定理得直线 AD 与 BC 是异面直线；在平面 内仅有一条直线过点D 且与 BC 平行，这条直线与 AD 确定一个平面与 BC 平行，即过 AD 只能作一个平面与 BC 平行；若 AD 垂直于平面 ，则过 AD 的平面都与 BC 垂直，因此错；过 D 只能作唯一平面与BC 垂直，但过 D 可作无数个平面与 BC 平行故正确热点二 直线与平面的平行与垂直例 2 (2018江苏扬州中学调研)如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形， PA平面 ABCD， BD 交 AC 于点 E， F 是线段 PC 中点，
4、G 为线段 EC 中点(1)求证： FG平面 PBD；(2)求证： BD FG.证明 (1)连结 PE，因为 G， F 分别为 EC 和 PC 的中点， FG PE，又 FG平面 PBD， PE平面 PBD， FG平面 PBD.(2)四边形 ABCD 为菱形， BD AC，又 PA平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD PA， PA平面 PAC， AC平面 PAC，且 PA AC A， BD平面 PAC， FG平面 PAC， BD FG.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利
5、用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l ， a l a.3跟踪演练 2 (2018苏锡常镇四市调研)如图，在四棱锥 P ABCD 中， ADB90，CB CD，点 E 为棱 PB 的中点(1)若 PB PD，求证： PC BD；(2)求证： CE平面 PAD.证明 (1)取 BD 的中点 O，连结 CO， PO，因为 CD CB，所以 CBD 为等腰三角形，所以
6、BD CO.因为 PB PD，所以 PBD 为等腰三角形，所以 BD PO.又 PO CO O， PO， CO平面 PCO，所以 BD平面 PCO.因为 PC平面 PCO，所以 PC BD.(2)由 E 为 PB 的中点，连结 EO，则 EO PD，又 EO平面 PAD， PD平面 PAD，所以 EO平面 PAD.由 ADB90及 BD CO，可得 CO AD，又 CO平面 PAD， AD平面 PAD，所以 CO平面 PAD.又 CO EO O， CO， EO平面 COE，所以平面 CEO平面 PAD，而 CE平面 CEO，所以 CE平面 PAD.热点三 平面与平面的平行与垂直例 3 (201
7、8江苏盐城中学模拟)如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1为长方体，点 P 是 CD 中点，点 Q 是 A1B1中点4(1)求证： AQ平面 PBC1；(2)若 BC CC1，求证：平面 A1B1C平面 PBC1.证明 (1)取 AB 中点为 R，连结 PR， B1R.由已知点 P 是 CD 中点，点 Q 是 A1B1中点可以证得，四边形 AQB1R， PRB1C1都为平行四边形，所以 AQ B1R， B1R PC1，所以 AQ PC1，因为 AQ平面 PBC1， PC1平面 PBC1，所以 AQ平面 PBC1.(2)因为四棱柱 ABCD A1B1C1D1为长方体， BC CC1，所以 B1
8、C BC1，因为 A1B1平面 BB1C1C， BC1平面 BB1C1C，所以 A1B1 BC1，因为 A1B1 B1C B1， A1B1平面 A1B1C， B1C平面 A1B1C，所以 BC1平面 A1B1C，又因为 BC1平面 PBC1，所以平面 A1B1C平面 PBC1.思维升华 证明面面平行或面面垂直的关键是寻找线面平行或线面垂直，充分体现了转化与化归思想跟踪演练 3 如图，在四面体 ABCD 中， AD BD， ABC90，点 E， F 分别为棱 AB， AC 上的点，点 G 为棱 AD 的中点，且平面 EFG平面 BCD.(1)求 的值；EFBC(2)求证：平面 EFD平面 ABC
9、.5(1)解 因为平面 EFG平面 BCD，平面 ABD平面 EFG EG，平面 ABD平面 BCD BD，所以 EG BD，又 G 为 AD 的中点，所以 E 为 AB 的中点，同理可得， F 为 AC 的中点，所以 .EFBC 12(2)证明 因为 AD BD，由(1)知， E 为 AB 的中点，所以 AB DE，又 ABC90，即 AB BC，由(1)知， EF BC，所以 AB EF，又 DE EF E， DE， EF平面 EFD，所以 AB平面 EFD，又 AB平面 ABC，所以平面 EFD平面 ABC.1(2018江苏)如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 A
10、B， AB1 B1C1.求证：(1) AB平面 A1B1C；(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.证明 (1)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB A1B1.因为 AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1 AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1 A1B.又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC.又因为 A1B BC B， A1B， BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.因为 AB1平面 ABB1A1，6所
11、以平面 ABB1A1平面 A1BC.2(2018江苏南京师大附中模拟)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上(异于点 P， C)，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.(1)求证： AB EF；(2)若 AF EF，求证：平面 PAD平面 ABCD.证明 (1)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB CD.又 AB平面 PDC， CD平面 PDC，所以 AB平面 PDC，又因为 AB平面 ABE，平面 ABE平面 PDC EF，所以 AB EF.(2)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB AD.因为 AF EF，(1)中已证 AB EF，所以 A
12、B AF，又 AB AD，由点 E 在棱 PC 上(异于点 C)，所以 F 点异于点 D，所以 AF AD A， AF， AD平面 PAD，所以 AB平面 PAD，又 AB平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD.7A 组 专题通关1设 a， b 是平面 内两条不同的直线， l 是平面 外的一条直线，则“ l a， l b”是“l ”的_条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 若 a， b 是平面 内两条不同的直线， l 是平面 外的一条直线，l a， l b， a b，则 l 可以与平面 斜交，推不出 l .若 l ， a， b 是
13、平面 内两条不同的直线， l 是平面 外的一条直线，则 l a， l b.“ l a， l b”是“l ”的必要不充分条件2已知平面 平面 ， l，点 A ，直线 AB l，直线 AC l，直线m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_(填序号) AB m； AC m； AB ； AC .答案 解析 如图所示， AB l m； AC l， m l， AC m； AB l， AB ， l ， AB ，只有不一定成立3在三棱锥 A BCD 中，若 AD BC， BD AD， BCD 是锐角三角形，下列一定正确的是_(填序号)平面 ABD平面 ADC；平面 ABD平面 ABC；平面 ADC
14、平面 BCD；平面 ABC平面 BCD.答案 解析 由 AD BC， BD AD， BC BD B， BC， BD平面 BCD， AD平面 BCD，又 AD平面 ADC，平面 ADC平面 BCD.4已知 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线， l ， m .给出下列命题： l m； l m； m l ； l m .其中正确的命题是_. (填写所有正确命题的序号)答案 8解析 ， l l l m，命题正确； ， l l， m 可平行，可相交，可异面，命题错误； m ， l l ml 与 可平行， l 可在 内， l 可与 相交，命题错误； l ， l m ，命题正确95如图， G，
15、 H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH， MN 是异面直线的图形的序号为_答案 解析 由题意可得图中 GH 与 MN 平行，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意则表示 GH， MN 是异面直线的图形的序号为.6给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a ；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命
16、题的个数为_答案 3解析 对于，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线 a 与平面 内一条直线 b平行，那么 a ，故正确；对于，因为垂直于同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；对于，平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；对于，因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确故真命题的个数为 3.7.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA
17、16， AB3， AD8，点 M 是棱 AD 的中点， N 在棱AA1上，且满足 AN2 NA1， P 是侧面四边形 ADD1A1内一动点(含边界)，若 C1P平面 CMN，则线段 C1P 长度的最小值是_10答案 17解析 取 A1D1的中点 Q，过点 Q 在平面 ADD1A1内作 MN 的平行线交 DD1于 E，则易知平面C1QE平面 CMN，在 C1QE 中作 C1P QE，则 C1P 为所求178.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a，点 D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上
18、，当 AF_时，CF平面 B1DF.答案 a 或 2a解析 由题意易知， B1D平面 ACC1A1，又 CF平面 ACC1A1，所以 B1D CF.要使 CF平面 B1DF，只需 CF DF 即可令 CF DF，设 AF x，则 A1F3 a x.易知 Rt CAFRt FA1D，得 ，即 ，ACA1F AFA1D 2a3a x xa整理得 x23 ax2 a20，解得 x a 或 x2 a.9. (2017江苏)如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.11求证：(1
19、) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内， AB AD， EF AD，则 AB EF. AB平面 ABC， EF平面 ABC， EF平面 ABC.(2) BC BD，平面 ABD平面 BCD BD，平面 ABD平面 BCD， BC平面 BCD， BC平面ABD. AD平面 ABD， BC AD. AB AD， BC， AB平面 ABC， BC AB B， AD平面 ABC，又 AC平面 ABC， AD AC.10.如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形， GAD 为等边三角形， BF平面ABCD， GDC90，点 P 为线段 GD 的中点(1)求证： AP平
20、面 GCD；(2)求证：平面 ADG平面 FBC.证明 (1) GAD 是等边三角形，点 P 为线段 GD 的中点， AP GD. AD CD， GD CD，且 AD GD D， AD， GD平面 GAD，故 CD平面 GAD，又 AP平面 GAD，故 CD AP，又 CD GD D， CD， GD平面 GCD，故 AP平面 GCD.(2) BF平面 ABCD， CD平面 ABCD， BF CD， BC CD， BF BC B， BF， BC平面 FBC， CD平面 FBC，由(1)知 CD平面 GAD，平面 ADG平面 FBC.12B 组 能力提高11.如图，平面 平面 ， l， A， C
21、是 内不同的两点， B， D 是 内不同的两点，且 A， B， C， D直线 l， M， N 分别是线段 AB， CD 的中点下列判断正确的是_(填序号)当 CD2 AB 时， M， N 两点不可能重合； M， N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交；当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交；当 AB， CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行答案 解析 由于直线 CD 的两个端点都可以动，所以 M， N 两点可能重合，此时两条直线 AB， CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形 ACDB 是平行四边形，因此 AC BD，而
22、BD ， AC ，所以由线面平行的判定定理可得 AC ，又因为 AC ， l，所以由线面平行的性质定理可得 AC l，故正确12如图，在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是_(填序号)答案 (1)解析 对于(1)，作如图所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD AB. QD平面 MNQ Q， QD 与平面 MNQ 相交，直线 AB 与平面 MNQ 相交；对于(2)，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，13又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB
23、平面 MNQ；对于(3)，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD MQ， AB MQ，又 AB平面 MNQ， MQ平面 MNQ， AB平面 MNQ；对于(4)，作如图所示的辅助线，则 AB CD， CD NQ， AB NQ，又 AB平面 MNQ， NQ平面 MNQ， AB平面 MNQ.故四个正方体中直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(1)13.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC，点 E， F 分别在棱 BB1， CC1上(均异于端点)，且 ABE ACF， AE BB1， AF CC1.求证：(1)平面 AEF平面 BB1C1C；(2)BC平面 AEF.证明 (1)在
24、三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 CC1.因为 AF CC1，所以 AF BB1.又 AE BB1， AE AF A， AE平面 AEF， AF平面 AEF，所以 BB1平面 AEF，又因为 BB1平面 BB1C1C，所以平面 AEF平面 BB1C1C.(2)因为 AE BB1， AF CC1， ABE ACF，14AB AC，所以 AEB AFC.所以 BE CF.又由题意知， BE CF.所以四边形 BEFC 是平行四边形从而 BC EF.又 BC平面 AEF， EF平面 AEF，所以 BC平面 AEF.14(2018江苏启东中学模拟)如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC，
25、 O 为 AC 的中点， PO底面 ABC， M 为 AB 的中点(1)证明： AC平面 POM；(2)设 E 是棱 PA 上的一点，若 PB平面 EOM，求 的值PEPA(1)证明 因为 M， O 分别是 AB， AC 的中点，所以 MO BC，因为 AC BC，所以 AC MO.因为 PO底面 ABC， AC底面 ABC，所以 PO AC.因为 PO平面 POM， MO平面 POM， PO MO O，所以 AC平面 POM.(2)解 因为 PB平面 EOM， PB平面 PAB，平面 EOM平面 PAB EM，所以 PB EM.因为 M 是 AB 的中点，所以 E 是 PA 的中点，所以 .PEPA 12
