1、1(二)立体几何1(2018苏州调研)如图，在三棱锥 P ABC 中， PAB 是正三角形， D， E 分别为 AB， AC的中点， ABC90.求证：(1) DE平面 PBC；(2)AB PE.证明 (1)因为 D， E 分别为 AB， AC 的中点，所以 DE BC，又 DE平面 PBC， BC平面 PBC，所以 DE平面 PBC.(2)连结 PD，因为 DE BC，又 ABC90，所以 DE AB.又 PA PB， D 为 AB 的中点，所以 PD AB，又 PD DE D， PD， DE平面 PDE，所以 AB平面 PDE.因为 PE平面 PDE，所以 AB PE.22.如图，在四棱锥
2、 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O， PC底面 ABCD， E为 PB 上一点， G 为 PO 的中点(1)若 PD平面 ACE，求证： E 为 PB 的中点；(2)若 AB PC，求证： CG平面 PBD.2证明 (1)连结 OE，由四边形 ABCD 是正方形知， O 为 BD 的中点，因为 PD平面 ACE， PD平面 PBD，平面 PBD平面 ACE OE，所以 PD OE.因为 O 为 BD 的中点，所以 E 为 PB 的中点(2)在四棱锥 P ABCD 中， AB PC，2因为四边形 ABCD 是正方形，所以 OC AB，22所以 PC OC.
3、因为 G 为 PO 的中点，所以 CG PO.又因为 PC底面 ABCD， BD底面 ABCD，所以 PC BD.而四边形 ABCD 是正方形，所以 AC BD，因为 AC， PC平面 PAC， AC PC C，所以 BD平面 PAC，因为 CG平面 PAC，所以 BD CG.因为 PO， BD平面 PBD， PO BD O，所以 CG平面 PBD.3.如图，在三棱锥 P ABC 中，点 E， F 分别是棱 PC， AC 的中点(1)求证： PA平面 BEF；3(2)若平面 PAB平面 ABC， PB BC，求证： BC PA.证明 (1)在 PAC 中， E， F 分别是棱 PC， AC 的
4、中点，所以 PA EF.又 PA平面 BEF， EF平面 BEF，所以 PA平面 BEF.(2)在平面 PAB 内过点 P 作 PD AB，垂足为 D.因为平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABC AB， PD平面 PAB，所以 PD平面 ABC，因为 BC平面 ABC，所以 PD BC，又 PB BC， PD PB P， PD平面 PAB， PB平面 PAB，所以 BC平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 BC PA.4(2018扬州调研)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别为 AB， AC 的中点(1)证明： B1C1平面 A1DE；(2)若平面 A1D
5、E平面 ABB1A1，证明： AB DE.证明 (1)在直三棱柱 ABC A1B1C1中，四边形 B1BCC1是平行四边形，所以 B1C1 BC，在 ABC 中， D， E 分别为 AB， AC 的中点，故 BC DE，所以 B1C1 DE，又 B1C1平面 A1DE， DE平面 A1DE，所以 B1C1平面 A1DE.(2)在平面 ABB1A1内，过 A 作 AF A1D 于点 F，4因为平面 A1DE平面 A1ABB1，平面 A1DE平面 A1ABB1 A1D， AF平面 A1ABB1，所以 AF平面 A1DE，又 DE平面 A1DE，所以 AF DE，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，A1A平面 ABC， DE平面 ABC，所以 A1A DE，因为 AF A1A A， AF平面 A1ABB1，A1A平面 A1ABB1，所以 DE平面 A1ABB1，因为 AB平面 A1ABB1，所以 DE AB.
