1、1第一章 第 3 节一元二次方程根与系数的关系专项练习七七、根与系数关系综合题 3：1已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m+1）x+m 24=0 有两个不相等的实数根（1）求实数 m 的取值范围；（2）若两个实数根的平方和等于 15，求实数 m 的值2已知一元二次方程 2)40kx（ 有两个不相等的实数根（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 240xk与 210xm有一个相同的根，求此时 m的值3已知关于 x 的方程 x22x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x 2（1）求实数 m 的取值范围；（2）若 x1x 2=2，求 实数 m 的值4已知
2、 x1，x 2是关于 x 的一元二次方程 x22(m1)xm 250 的两实根(1)若(x 11)(x 21)28，求 m 的值；(2)已知等腰ABC 的一边长为 7，若 x1，x 2恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长25已知 a、b 是实数，且 26|2|0ab，解关于 x 的方程：（a+2）x 2+b2=（a1）x6已知关于 x 的方程 20xn有两个不相等的实数根（1）求 n 的取值范围；（2）若 n3，且方程的两个实数根都是整数，求 n 的值7关于 x 的一元二次方程 0132mx的两个实数根分别为 1x、 2（1）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值；（2）若 0)(
3、211，求 m 的值8已知关于 x 的方程 x22（m+1）x+m 23=0（1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程的两实数根分别为 x1，x 2，当（x 1+1） （x 2+1）=8 时，求 m 的值39已知关于 x 的一元二次方程 22(1)0xmx （1）证明：不论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若 0，设方程的两个实数根分别为 1x， 2（其中 1x 2），若 y 是关于 m 的函数，且12xy，求 y 与 m 的函数解析式10已知关于 x 的方程（1）若方程有实数根, 求 k 的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求 k 的值,并求此时方
4、程的根。11已知关于 x 的一元二次方程 x22（m+1）x+m 2+2=0（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 1、 2，且满足 21x+ =10，求实数 m 的值12已知：关于 x的方程 22840mx（ ） （1）若方程有两个相等的实数根，求 的值，并求出这时的根（2）问：是否存在正数 ，使方程的两个实数根的平方和等于 136；若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由413已知关于 x的一元二次方程 2120xm（1）若方程有两个相等的实数根，求 的值；（2）若方程的两实数根之积等于 29，求 6的值14已知关于 x 的一元二次方程 x22
5、xm0 有两个不相等的实数根(1)求实数 m 的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是 x1，x 2（x 1x2） ，求代数式 x12x 2的值15已知 1x， 2是一元二次方程 210xm的两个实数根（1）求实数 m的取值范围；（2）如果 1， 2满足不等式 2174，且 为整数，求 m的值16先阅读下列的解答过程，然后再解答：阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根分别是 x1、x 2那么 x1+x2= ，x 1x2= 例如：已知方程 2x2+3x5=0 的两根分别为 x1、x 2则：x 1+x2= = ，
6、x 1、x 2= = =请同学阅读后完成以下问题：（1）已知方程 3x24x6=0 的两根分别为 x1、x 2，求 x1+x2和 x1x2的值（2）已知方程 3x24x6=0 的两根分别为 x1、x 2，求 + 的值（3）若一元二次方程 2x2+mx3=0 的一根大于 1，另一根小于 1，求 m 的取值范围517已知 m 是方程 02x的一个 根,求 4)3m()1(2的值18已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m2）x+（m 22m）=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为 x1，x 2，且 x12+x22=10，求 m 的值19已知 x1，x 2是一元二次方程（
7、a6）x 2+2ax+a=0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使x 1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x 1+1） （x 2+1）为正整数的实数 a 的整数值6答案：1 （1）m 74；（2）m=3，m=1试题分析：（1）根据题意可得0，再代入相应数值解不等式即可；（2）设此方程的两个实数根为 x1，x 2，根据根与系数的关系可得 x1+x2=2m+1，x 1x2=m24，根据“方程的两个实数根的平方和为 15”可得 x12+x22=15，整理后可即可解出 k 的值试题解析：（1）关于 x 的一元二次方程 x2（2m+1）x+m 24=
8、0 有两个不相等的实数根，=（2m+1） 241（m 24）0，m74；（2）设此方程的两个实数根为 x1，x 2则 x1+x2=2m+1，x 1x2=m24，两个实数根的平方和等于 15，x 12+x22=（x 1+x2） 22x 1x2=（2m+1） 22（m 24）=15，解得：m=3，m=12(1) k0解得：k4 且 k2（2）k4 且 k2k=3，方程 x2-4x+k=x2-4x+3=（x-1） （x-3）=0，解得：x 1=1，x 2=37当 x=1 时，有 1+m-1=0， 解得：m=0；当 x=3 时，有 9+3m-1=0，解得：m=- 83 3 （1）m1；（2）0.分析：
9、（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出 m 即可详解：（1）由题意得：=（2） 241m=44m0，解得：m1，即实数 m 的取值范围是 m1；（2）由根与系数的关系得：x 1+x2=2，即 ，解得：x 1=2，x 2=0，由根与系数的关系得：m=20=04 （1）m 的值为 6;（2）17.试题分析：（1）由题意和根与系数的关系可得：x 1x 22(m1)，x 1x2m 25；由(x 11)(x 21)28，可得：x 1x2(x 1x 2)27；从而得到：m 252(m1)
10、27，解方程求得 m 的值，再由“一元二次方程根的判别式”进行检验即可得到 m 的值；（2）当 7 为腰长时，则方程的两根中有一根为 7，代入方程可解得 m 的值（此时 m 的取值需满足根的判别式 ） ，将 m 的值代入原方程，可求得两根（此时两根和 7 需满足三角形三边之间的关系） ，从而可求得等腰三角形的周长；当 7 为底边时，则方程的两根相等，由此可得“根的判别式=0” ，从而可得关于 m 的方程，解方程求得 m 的值，代入原方程可求得方程的两根，再由三角形三边之 间的关系检验即可.试题解析：(1)(x11)(x 21)28，即 x1x2(x 1x 2)27，而 x1x 22(m1)，x
11、 1x2m 25，m 252(m1)27，解得 m16，m 24，又 2(m1) 241(m 25)0 时，m2，8m 的值为 6; (2) 若 7 为腰长，则方程 x22(m1)xm 250 的一根为 7，即 7227(m1)m 250，解得 m110，m 24，当 m10 时，方程 x222x1050，根为 x115，x 27，不符合题意，舍去当 m4 时，方程为 x210x210，根为 x13 ，x 27，此时周长为 77317 若 7 为底边，则方程 x22(m1)xm 250 有两等根，0，解得 m2，此时方程为 x26x90，根为 x13，x 23，33 2） ，解关于 x 的一元
12、二次方程 2()0m可得，1， 21 xy110 （1） ；（2）解析：（1）有两种情况，当 k0 时，根的判别式=b 2-4ac0 有实数根，当 k0 时，一元一次方程 有实数根，即可求得 k 的取值即可；11（2）只要让根的判别式=b 2-4ac=0，求得 k 的值，进而求得方程的解即可解：(1) 有两种情况，当 k0 时， 3636 k0 解得: k1 且 k0；当 k0 时，一元一次方程 有实数根，综上所述，当 k1 时，关于 x 的方程 有实数根.(2)由题意得:3636 k=0，解得: k=1，原方程化为: x26x+9=0，解得: x1=x2=3.11 （1）m ；(2) m=1
13、解：（1）关于 x 的一元二次方程 x22（ m+1） x+m2+2=0 有实数根，0，即（2 m+2） 24（ m2+2）0， m ； （2） 1x+ 2=2m+2， 1x 2=m2+2， 21x+ =（ 1+ 2x） 22 1 2x=10，（2 m+2） 22（ m2+2）=10， 解得， m=1 或5（舍去） 12 （1） =1， 12x；（2）不存在试题分析：（1） 根据一元二次方程的根的判别式=0，建立关于 m 的等式，由此求出 m 的取值再化简方程，进而求出方程相等的两根；（2）利用根与系数的关系，化简 x12+x22=136，即（ x1+x2） 22 x1x2=136根据根与系数
14、的关系即可得到关于 m 的方程，解得 m 的值，再判断 m 是否符合满足方程根的判别式试题解析：解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有= b24 ac=（84 m）216 m2=6464 m=0，解得 m=1，当 m=1 时，原方程为 x2+4x+4=0， x1=x2=2；（2）不存在假设存在，则有 x12+x22=136 x1+x2=4m8， x1x2=4m2，（ x1+x2） 22 x1x2=136即（4 m8） 224 m2=136， m28 m9=0， （ m9） （ m+1）=0， m1=9， m2=1=（84 m） 216 m2=6464 m0，0 m1， m1=9， m2=1
15、都不符合题意，不存在正数12m，使方程的两个实数根的平方和等于 136点拨：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根13 （1）7 或-1；（2）4.整体分析：(1)根据判别式为 0，列出关于 m 的一元二次方程求解；（2）由根与系数的关系列方程求解.解：（1）因为方程有两个相等的实数根，所以（m-1） 2-41（m+2）=0，即 m2-6m-7=0，解得 m1=7，m 2=-1.(2)根据题意得 m2-9m+2=m+2，解得 m1=0，m 2=10.当 m=0 时，原方程为 x2+x+2=0，没有实数根，所
16、以 m=0 舍去；当 m=10 时， 6= 10=4；所以 的值为 4.14(1)、m=1；(2)、3 21.试题分析：(1)、根据方程有两个不相等的实数根求出 m 的取值范围，然后求出 m 的值；(2)、将 m的值代入方程求出方程的解，然后进行计算.试题解析：(1)、由题意得：0，即 2()4-0 m2 m 的最大整数为 m=1.(2)、把 m=1 代入 210x-+= 1x 2 解得： 1x=1+ 2x=1+ 1x+2 2=(1+ )+2(1+ )=1+ 2+2 =3 1.15 （1） m；（2）2，1试题分析：（1）根据判别式的意义得到= 2()4(1)0m，然后解不等式即可；（2）根据
17、根与系数的关系得到 12x， 1x，再变形已知条件得到2174x，于是有 76m，解得 3，所以 m 的取值范围为 132m，13然后找出此范围内的整数即可试题解析：（1）根据题意得= 2()4(1)0m，解得 12；（2）根据题意得 12x， 1x， 1274， 22117()x，即 21276()x， 6m，解得 3， m，整数 m 的值为2，116 （1）x 1 +x2= ，x 1x2=2；（2） ；（3）m1试题分析：（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可（2）先把所求的代数式变形为含有 x1+x2和 x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答（3）依据题意可得0 及把
18、x=1 代入方程求解即可解：（1）x 1+x2=（ ）= ，x 1x2= =2；（2） + = = = ；（3）由题意得： ，解得 m1172试题分析：先根据 m 是一元二次方程的根，可得含 m 的式子，然后化简代数式，再整体代入在求值试题解析：m 是 02x的一个根 2 4)3m()1(2 =m 2+m+4=-（m 2-m ）+4=218 （1）方程有两个不相等的实数根；（2）m=1 或 m=3分析：根据根与系数的关系即可求出答案解：（1）由题意可知：=（2m2） 24（m 22m）=40，方程有两个不相等的实数根（2）x 1+x2=2m2，x 1x2=m22m，x 12+x22=（x 1+
19、x2） 22x 1x2=10，14（2m2） 22（m 22m）=10，m 22m3=0，m=1 或 m=319 （1）24；（2）a=0 ，3，4，5试题分析： 1根据根与系数的关系求得 1212,66aaxx； 将已知等式变形为1212,xx即 246a， 通过解该关于 的方程即可求得 的值；（2）根据限制性条件“ 12x为正整数”求得 a的取值范围，然后在取值范围内取 a的整数值试题解析： 12,x是一元二次方程 260ax的两个实数根，由根与系数的关系可知, 1212,6ax； 一元二次方程 60a有两个实数根， 24A， 且 a60，解得， 0，且 a6；(1) 122xx， 24, 即 6a， 解得， a=240；存在实数 a,使 1224xx， 成立， a 的值是 24；(2) 1212616a 当 x为正整数时， 0， 且 a6 是 6 的约数，6362aa， ， ， ， 0,345. 使 12x为正整数的实数 a 的整数值有 0,345.
