1、1第二章 第四节 圆周角1如图，在半圆 O 中，AB 为直径，半径 OCOB，弦 AD 平分CAB，连结 CD、OD，以下四个结论：ACOD； EC；ODEADO； ABCED2其中正确结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图，A、B、C 三点在O 上，且AOB=80，则ACB 等于（ ）OABCA100 B80 C50 D403已知半径为 5 的 O 中，弦 AB=52，弦 AC=5，则 BAC 的度数是（ ）A 15 B 210 C 105或 15 D 210或 304如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，ABC=65，则D 的度数为（ ）A 130 B 65 C 35 D
2、 255如图，B，C，D 是半径为 6 的O 上的三点，已知 的长为 2，且 ODBC，则 BD 的长为（ ）A3 B6 C6 D1226如图，在O 中，已知OAB=25，则C 的度数为（ ）A 50 B 100 C 115 D 1257如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，B=30，CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点D，连接 AE，则 SADE ：S CDB 的值等于（ ）A 1： B 1： C 1：2 D 2：38如图， AB 是 O 的直径，弦 CA=CB， D 是弧 AmB 上一动点（与 A、 B 点不重合） ，则 D 的度数是( )A 30 B 40 C 45 D
3、一个变量9如图，O 是ABC 的外接圆，直径 AD=4，ABC=DAC，则 AC 的长是（ ）A 2 B 24 C2 D810如图，在平面直角坐标系中，O与两坐标分别交于 A，B，C，D 四点，已知：A（6，0） ，B（0，3） ，C（2，0） ，则点 D 的坐标为（ ）3A （0，2） B （0，3） C （0，4） D （0，5）11如图所示，A、B、C 三点均在O 上，若AOB80，则ACB 12如图，点 A、B、C 在半径为 1 的O 上， 的长为 ，则ACB 的大小是_13如图， AD 和 AC 分别是半圆 O 的直径和弦，且 CAD=30，点 B 是 AC 上的点， BH AD 交
4、 AC 于点 B，垂足为点 H，且 AH:HD=5：7.若 HB=5，则 BC=_14如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，AB=AD，BCD=140若点 E 在弦 AB 所对的劣弧上，则E=_415如图，O 的直径 CD过弦 EF的中点 G， 40EOD，则 CF 16如图， AB 是半圆的直径，点 C、 D 是半圆上两点， ADC = 128，则 ABC =_17如图，已知圆心角AOB 的度数为 100，则圆周角ACB 等于 度1818如图，四边形 ABCD 内接于O，若B=1 30，OA=1，则AC的长为_19如图，AB 是O 的直径，C、D 为圆 O 上的两点，若CDB=35，则AB
5、C 的度数为_度520如图，已知 AB 是O 的直径，AB8，点 C 在半径 OA 上（点 C 与点 O、A 不重合） ，过点 C 作AB 的垂线交O 于点 D，连结 OD，过点 B 作 OD 的平行线交O 于点 E、交射线 CD 于点 F（1）若 EDBE，求F 的度数：（2）设线段 OCa，求线段 BE 和 EF 的长（用含 a 的代数式表示） ；（3）设点 C 关 于直线 OD 的对称点为 P，若PBE 为等腰三角形，求 OC 的长21如图，四边形 ABCD 内接于 O， C 为 BD的中点，若 CBD3 0， O 的半径为 12.（1）求 BAD 的度数；（2）求扇形 OCD 的面积.
6、22如图，ABC 的三个顶点 都在O 上，APBC 于 P，AM 为O 的直径求证：BAMCAP23如图，四边形 ABCD 中，ABC=ADC=90，BDAC，垂足为 P6（1）请作出 RtABC 的外接圆O；（保留作图痕迹，不写作法）（2）点 D 在O 上吗？说明理由；（3）试说明：AC 平分BAD24如图，在ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 上的点.AD 平分BAC，DEAB，DFAC，ADEF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ； ； .（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答） ；（2）请证明你认为正确的命题.25已知：O 是ABC 的外接圆，点 M
7、为O 上一点.（1）如图，若ABC 为等边三角形，BM=1，CM=2，求 AM 的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长 MC 到 E，使 ME=AM，从而可证AM E 为等边三角形，并且ABMACE，进而就可求出线段 AM 的长请你借鉴小明的方法写出 AM 的长，并写出推理过程7（2）若ABC 为等腰直角三角形，BAC= 90， BMa， Cb（其中 a） ，直接写出 AM的长(用含有 a，b 的代数式表示).26问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形 EFGH的对角互补，那么四边形 EFGH 的四个顶点 E、F、G、H
8、 都在同个圆上） （二）问题解决：已知O 的半径为 2，AB，CD 是O 的直径P 是 上任意一点 ，过点 P 分别作 AB，CD 的垂线，垂足分别为 N，M（1）若直径 ABCD，对于 上任意一点 P（不与 B、C 重合） （如图一） ，证明四边形 PMON 内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径 ABCD，在点 P（不与 B、C 重合）从 B 运 动到 C 的过程汇总，证明 MN 的长为定值，并求其定值；（3）若直径 AB 与 CD 相交成 120角当点 P 运动到 的中点 P1时（如图二） ，求 MN 的长；当点 P（不与 B、C 重合）从 B 运动到 C 的过程中（如图三） ，证明
9、MN 的长为定值（4）试问当直径 AB 与 CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值827已知 A， B， C， D 是 O 上的四个点(1)如图，若 ADC BCD90， AD CD，求证： AC BD；(2)如图，若 AC BD，垂足为 F， AB2， DC4，求 O 的半径9答案：1B试题分析：AB 是半圆直径，AO=OD，OAD=ADO，AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D，CAD=DAO= 12CAB，CAD=ADO，ACOD，故正确由题意得，OD=R，AC= 2R，OE：CE=OD： AC= ，OECE，故错误；OED=AOE+OAE=90+225=1125，A
10、OD=90+45=135，OEDAOD，ODE 与ADO 不相似，故错误；AD 平分CAB 交弧 BC 于点 D，CAD= 1245=225，COD=45，AB 是半圆直径，OC=OD，OCD=ODC=675CAD=ADO=225，CDE=ODC-ADO=675-225=45，CEDCDO， CDEO，CD 2=COCE= 1ABCE，2CD 2=CEAB，故正确10综上可得正确故选 B2D试题分析：在同圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，则ACB= 12AOB=403C试题解析： 如图所示：点 C的位置有两种情况:连接 ,.OAB5是等边三角形.60.AC, 5,2.OB22.
11、A是等腰直角三角形. 45B如图, C不在弧 上时: 60451.BACOAB如图, 在弧 上时: 故选 C.4D试题分析：先根据圆周角定理得出 ACB=90， A= D，再由 ABC=65可得出 A 的度数，进而可得出结论解： AB 是 O 的直径， ACB=90.11 ABC=65， D= A=9065=25.故选 D. 5C试题分析：连结 OC 交 BD 于 E，设BOC=n，根据弧长公式可计算出 n=60，即BOC=60，易得OBC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得C=60，OBC=60，BC=OB=6，由于 BCOD，则2=C=60，再根据圆周角定理得1= 2=30，即 BD 平
12、分OBC，根据等边三角形的性质得到 BDOC，接着根据垂径定理得 BE=DE，在 RtCBE 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE= BC=3，CE= CE=3 ，所以 BD=2BE=6 解：连结 OC 交 BD 于 E，如图，设BOC=n，根据题意得 2= ，得 n=60，即BOC=60，而 OB=OC，OBC 为等边三角形，C=60，OBC=60，BC=OB=6，BCOD，2 =C=60，1= 2（圆周角定理） ，1=30，BD 平分OBC，BDOC，BE=DE，在 RtCBE 中，CE= BC=3，BE= CE=3 ，BD=2BE=6 故选：C12点拨：本题考查了垂径定理：
13、平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理6C分析：作 AB 弧所对的圆周角APB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得AOB=135，则根据圆周角定理得到P= AOB=67.5，然后根据圆周角定理可计算出ACB 的度数详解：作 AB 弧所对的圆周角APB，如图，OA=OB， OBA=OAB=25，AOB=180-225=130，P= AOB=65，ACB=180-65=115故选：C点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆
14、周角所对的弦是直径7D试题分析：由 AB 是O 的直径，得到ACB=90，根据已知条件得到 ，根据三角形的角平分线定理得到 ，求出 AD= AB，BD= AB，过 C 作 CEAB 于 E，连接13OE，由 CE 平分ACB 交O 于 E，得到 OEAB，求出 OE= AB，CE= AB，根据三角形的面积公式即可得到结论AB 是O 的直径， ACB=90，B=30， ，CE 平分ACB 交O 于 E， ，AD= AB，BD= AB，过 C 作 CEAB 于 E，连接 OE，CE 平分ACB 交O 于 E， = ，OEAB，OE= AB，CE= AB，S ADE ：S CDB =（ ADOE）：
15、（ BDCE）=（ AB AB）：（ AB AB）=2：38C试题解析：AB 是O 的直径，ACB=90，CA=CB，A=ABC=45，D=A=45，故选 C9A试题分析：连接 CD，则ADC=90，ADC=ABC，又ABC=DAC，所以ADC=DAC=45，因为直径 AD=4，所以由勾股定理可得：AC=CD= 2，故选：A10C14试题分析：利用相交弦定理可得：OAOC=OBOD，可得 OD=4，所以点 D 的坐标为（0，4） 解：ACBDOAOC=OBODOA=6，OC=2，OB=3OD=4D 在 y 轴的上半轴点 D 的坐标为（0，4） 故选 C1140试题分析：直接根据圆周角定理可得A
16、CB= AOB= 80=401236试题解析：连结 OA、OB设AOB=n 的长为 2， =2，n=40，AOB=40，ACB= AOB=20138解：连接 CD.15 CAD=30， HB=5， AB=2BH=10, 21053AH. AH:HD=5：7, 7D, AD=AH+HD=53123. AD 是直径， ACD=90, ACD= AHB. A= A, ACD AHB, HBCD , 531280A, BC=AC-AB=18-10=8.14110试题分析：连接 AC，AB=AD，BCD=140，ACB=ACD=70，AEB+ACB=180，E=18070=110.1520试题分析：先根
17、据O 的直径 CD过弦 EF的中点 G可得弧 ED=弧 DF，再根据圆周角定理即可求得结果.O 的直径 过弦 的中点弧 ED=弧 DF 40EOD16 DCF20.点拨：垂径定理是圆中极为重要的知识点，一般与勾股定理结合使用，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般 难度不大，需特别注意.1652试题分析：因为圆内接四边形对角互补，所以ABC +ADC=180.所以ABC=180-128=52.考点：圆内接四边形性质.17130试题分析：设点 E 是优弧 AB 上的一点，连接 EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得E 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到ACB 的度数
18、解：设点 E 是优弧 AB 上的一点，连接 EA，EBAOB=100E= AOB=50ACB=180E=13018 59 解： B=130,所以 D=50， AOC=100，弧 AC=108= .故答案为 59.1955解：由于 AB 是O 的直径，由圆周角定理可知ACB=90，则A+ABC=90，欲求ABC 需先求出A 的度数，已知了同弧所对的圆周角CDB 的度数，则A=CDB=35，由此得ABC=90-A=55故答案为：55.20 （1）30；（2）EF=2416a；（3）CO 的长 为 43或 172时，PEB 为等腰三角17形试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
19、（2）首先证明HBOCOD（AAS） ，进而利用CODCBF，得出比例式求出 EF 的长；（3）分别利用当 PB=PE，不合题意舍去；当 BE=EP，当 BE=BP，求出即可试题解析：（1）如图 1，连接 EO， ADEBBOE=EOD，DOBF，DOE=BEO，BO=EO，OBE=OEB，OBE=OEB=BOE=60，CFAB，FCB=90，F=30；（2）如图 1，作 HOBE，垂足为 H，在HBO 和COD 中 90DCOBE，HBOCOD（AAS） ，CO=BH=a，BE=2a，DOBF，CODCBF，18 DOCBF 42aE，EF=216；（3）COD=OBE，OBE=OEB，DO
20、E=OEB，COD=DOE，C 关于直线 OD 的对称点为 P 在线段 OE 上，若PEB 为等腰三角形，设 CO=x，OP=OC=x，则 PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，当 PB=PE，不合题意舍去；当 BE=EP，2x=4-x，解得：x= 43，当 BE=BP，作 BMEO，垂足为 M，EM= 12PE= 4x， OEB=COD，BME=DCO=90，BEMDOC， BEMDOC，42x，整理得：x 2+x-4=0，解得：x= 17（负数舍去） ，综上所述：当 CO 的长为 43或 172时，PEB 为等腰三角形21 （1）60 （2）2419解：（1） C 是为 的中点
21、， =2 ， BAD= COD， = ， COD=2 CBD， BAD=2 CBD， CBD=30， BAD=60；（2） = ， COD=2 CBD， CBD=30， COD=60，则 S 扇形OCD= =24点拨：此题主要考查了圆周角定理，以及扇形的面积计算，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半22证明：连接 BM，AM 为O 的直径，ABM=90，M+BAM=90，APBC，APC=90，C+CAP=90，C=M，BAM=CAP试题分析：首先连接 BM，根据同弧所对圆周角相等，即可得C=M，由 AM 为O 的直径，根据圆周角定理，即可得A
22、BM=90，又由 APBC，利用等角的余角相等，即可证得BAM=CAP23（1）作图见解析；（2）在，理由见解析；（3）说明见解析试题分析：（1）作 AB 和 BC 的垂直平分线，两垂直平分线相交于点 O，以 OB 为半径作O 即可；（2）连结 OD，先判断 AC 是O 的直径，而ADB=90，根据直角三角形斜边上的中线性质得 OD=AC，即 OD=OA，于是根据点与圆的位置关系可判断点 D 在O 上；（3）由于 AC 是O 的直径，BDAC，根据垂径定理得 BC=CD，则 ABC，然后根据圆周角定理20可得BAC=DAC试题解析：（1）如图，O 为所作；（2）点 D 在 O 上理由如下：连结
23、 OD，ABC=90，AC 是O 的直径，ADB=90，OD= 12AC，即 OD=OA，点 D 在O 上；（3）AC 是O 的直径，BDAC，BC=CD， ABCBAC=DAC，AC 平分BAD24 （1） 是真命题； 是假命题； 是真命题；（2）证明见解析.分析：（1），根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到命题是真命题；根据只能得到 DE=DF，得不到 DEAB，DFAC，从而得是假命题；，通过证明四点 A、E、D、F 在以 O 为圆心， AD 为半径的圆上，AD 是直径，再根据垂径定理可得是真命题.（2）对真命题按（1）中的分析进行证明即可.解：（1），正确；，正确；，错误，
24、分析如下：根据AD 平分BAC，ADEF，可以证明ADEADF，可得 DE=DF，但没有条件可以证明21DEAB，DFAC，故命题为假命题；（2）先证，AD 平分BAC，DEAB，DFAC，AD=AD，RtADERtADF ，DE=DF，ADE=ADF，设 AD 与 EF 交于 P ，则DEPDFP，DPE=DPF，DPE=DPF=90，ADEF；再证，如图，设 AD 的中点为 O，连接 OE，OF，DEAB，DFAC，OE，OF 分别是 RtADE，RtADF 斜边上的中线，OE= AD，OF= AD，即点 O 到 A、E、D、F 的距离相等，四点 A、E、D、F 在以 O 为圆心， AD
25、为半径的圆上，AD 是直径，EF 是O 的弦，EFAD，DAE=DAF，即 AD 平分BAC点拨：本题考查了三角形全等的判定定理和性质，同时考查了垂径定理等知识的综合运用，结合图形正确地选择相关性质以及准确添加辅助线是解题的关键.2225 （1）解：延长 MB 至点 E，使 BE=MC，连接 AE， ABC 是等边三角形，AB=AC，四边形 ABMC 是O 的内接四边形，ABE=ACM，在AEB 和AMC 中 ，AEBAMC，AEB=AMC，AMC=ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），AEB=ABC，AME=ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），又ABC=ACB=60，AEB=AME
26、=60，AEM 是等边三角形，AM=ME=MB+BE，BE=MC，MB+MC=MA=1+2=3即 AM 的长是 3（2）解：分为两种情况：如图，AM= = (a+b)由是：延长 MB 至点 E，使 BE=MC，连 AE，由（1）知：ABE=ACM，23在ABE 和ACM 中ABEACM，AM=AE，E=AMC，AMC=ABC=45，AMB=ACB=45，E=AMB=45，EAM=90，在EAM 中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，由勾股定理得：AM= = (a+b)即 AM= (a+b)如图，在 CM 上截取 CN=BM，连接 AN，ABM 所对的弧和ACN 所对的弧都是弧
27、AM，ABM=ACN，在ABM 和ACN 中ABMACN（SAS），AM=AN，BAM=CAN，BAC=BAN+CAN=90，BAN+BAM=90，MAN=90，则MAN 是等腰直角三角形，MN=CM-CN=CM-BM=b-a，由勾股定理得：AM=AN= = (b-a)24即 AM= (b-a)即 AM 的长是 (a+b)或 (b-a)试题分析：（1）延长 MB 至点 E，使 BE=MC，连 AE，根据等边三角形性质求出 AC=AB，根据圆内接四边形的性质推出ABE=ACM，证ABEACM，推出 AM=AE，证等边三角形 AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；（2）分为两种情况，画出图形
28、，延长 MB 至点 E，使 BE=MC，连 AE，根据等腰直角三角形性质推出 AB=AC，根据 SAS 证ABEACM，推出 AM=AE，E=AMC=45，AMB=45，求出EAM 是等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可点拨：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线推出 AM=BM+CM，两小题证明过程类似，都是通过作辅助线把 AM、BM、CM 放在一个三角形中，求出三者之间的关系，题目比较好，有一点难度26 （1）证明见解析，直径 OP=2；（2）证明见解析，MN 的长为定值，该定值为 2；（3
29、）MN= ；证明见解析；（4）MN 取得最大值 2试题分析：（1）如图一，易证PMO+PNO=180，从而可得四边形 PMON 内接于圆，直径 OP=2；（2）如图一，易证四边形 PMON 是矩形，则有 MN=OP=2，问题得以解决；（3）如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得COP 1=BOP 1=60，根据圆内接四边形的对角互补可得MP 1N=60根据角平分线的性质可得 P1M=P1N，从而得到P 1MN 是等边三角形，则有MN=P1M然后在 RtP 1MO 运用三角函数就可解决问题；设四边形 PMON 的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点 Q，连接 QM，如图三，根据圆周角定理可得QMN
30、=90，MQN=MPN=60，在 RtQMN 中运用三角函数可得：MN=QNsinMQN，从而可得MN=OPsinMQN，由此即可解决问题；（4）由（3）中已得结论 MN=OPsinMQN 可知，当MQN=90时，MN 最大，问题得以解决试题解析：（1）如图一，PMOC，PNOB，PMO=PNO=90，PMO+PNO=180，四边形 PMON 内接于圆，直径OP=2；25（2）如图一，ABOC，即BOC=90，BOC=PMO=PNO=90，四边形 PMON 是矩形，MN=OP=2，MN 的长为定值，该定值为 2；（3）如图二，P 1是 的中点，BOC=120，COP 1=BOP 1=60，MP
31、 1N=60，P 1MOC，P 1NOB，P 1M=P1N，P 1MN 是等边三角形，MN=P 1MP 1M=OP1sinMOP 1=2sin60= 3，MN= ；设四边形 PMON 的外接圆为O，连接 NO并延长，交O于点 Q，连接 QM，如图三，则有QMN=90，MQN=MPN=60，在 RtQMN 中，sinMQN= QNM，MN=QNsinMQN，MN=OPsinMQN=2sin60=2 23=3，MN 是定值26（4）由（3）得 MN=OPsinMQN=2sinMQN当直径 AB 与 CD 相交成 90角时，MQN=18090=90，MN 取得最大值 227(1)证明见解析;(2)
32、O 的半径为 .试题分析：（1）根据题意不难证明四边形 ABCD 是正方形，结论可以得到证明；（2）连结 DO，延长交圆 O 于 F，连结 CF、BF根据直径所对的圆周角是直角，得DCF=DBF=90，则 BFAC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧 CF=弧 AB，则 CF=AB根据勾股定理即可求解试题解析：（1）ADC=BCD=90，AC、BD 是O 的直径，DAB=ABC=90，四边形 ABCD 是矩形，AD=CD，四边形 ABCD 是正方形，ACBD；（2）连结 DO，延长交圆 O 于 F，连结 CF、BFDF 是直径，DCF=DBF=90，FBDB，又ACBD，BFAC，BDC+ACD=90，FCA+ACD=90BDC=FCA=BAC等腰梯形 ACFBCF=AB根据勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，DF=2 ，OD= ，即O 的半径为 .27
