1、15.4 二次函数与一元二次方程5.4 二次函数与一元二次方程（1）教学目标1体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；2理解二次函数图像与 x 轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；3理解一元二次方程的根就是二次函数与 y h（ h 是实数）图像交点的横坐标教学重点 经历“类比观察发现归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程教学难点 准确理解二次函数与一元二次方程的关系教学过程（教师） 学生活动 设计思路复习旧知，明确结论通过观察一次函数 y x1 的图像，可以发现并归纳一次
2、函数与一元一次方程之间存在联系：从“数”的方面看，当一次函数 y x1 的函数值 y0 时，相应的自变量的值即为方程 x10 的解；从“形”的方面看，函数 y x1与 x 轴交点的横坐标即为方程 x10 的解实际上，这也反映了一般函数与方程的关系：一次函数 y ax b 的图（1）解一元一次方程 x10；（2）画一次函数 y x1 的图像，并指出函数y x1 的图像与 x 轴有几个交点（3）一元一次方程 x10 与一次函数y x1 有什 么联系？ 让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质xy121
3、123O2像与 x 轴交点的横坐标即 y0 的值就是方程 ax b0 的根情境打高尔夫球时，球的飞行路线可以看 成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）满足二次函数：y5 x220 x，这个球飞行的水 平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到 40m？进入状态，兴致盎 然图像上每个点的横、纵坐标含义是什么？你是如何解决的，与 同 伴 进 行 交 流 问题的设置从生活情境引入，激发学生学习数学的欲望3探索活动探索一二次函数 y x22 x 与一元二次方程 x22 x0 有怎样的关系？1从关系式看二次函数y x22 x 成为一元二次方程x2
4、2 x0 的条件是什么？ 2反应在图像上：观察二次函数y x22 x 的图像，你能确定 一 元 二 次方 程 x22 x0 的根吗？积极思考，回答问题 从“函数值 何时为 0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系；通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义用同样的方法探索二次函数 y x22 x2 与一元二次方程 x22 x10 有怎样的关系？二次 函数 y x22 x2 与一元二次方程 x22 x10 有怎样的关系？仿照上面解决问题的方法，得出结果学生对二次函数与一元二次方程的联系从特殊到一般性结论的讨论，逐步提高学生从旧知识中“类比猜想”“观察发现” “归纳概括”最后得出“结
5、论”的从感性到理性的抽象思维能力43结论一般地，如果二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴有两个公共点（ x1，0 ） 、( x2，0)，那么一元二次方程ax2 bx c0 有两个不相等的实数根 x x1、 x x2，反过来也成立学生对结论的归纳与提炼完成一元二次方程ax2 bx c0 的根的个数与二次函数y ax2 bx c 图像与 x 轴交点的个数的讨论，使学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解得出一般结论，以引导学生作进一步的观察、探索和归纳探索二观察下列图像：（1）观察二次函数图像与 x 轴的公共点的个数；（2）判断函数值为 0 时一元二次方程根的情况；（3）你能找到它们
6、之间的联系吗？师生共同总结 抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点个数可由一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的情况说明：1当 b24 ac0 时，一元二次方程ax2 bx c0 有两个不相等的实数根，抛物线y ax2 bx c 与 x 轴有两个交点； 2当 b2 4ac0 时，一元二次方程ax2 bx c0 有两个相等的实数根，抛物线y ax2 bx c 与 x 轴只有 1 个交点；3当 b2 4ac0 时，一元二次方程ax2 bx c 0 没有实数根，抛物线 y ax2 bx c与 x 轴没有交点结论由学生自己得出并完善,提高学生分析和解决问题的能力 5例题精讲1不画图像，你能
7、判断函数的图像 y x26 x6 与 x 轴是否有公共点吗？请说明理由2已知二次函数 y x2 4x k2 与 x 轴有公共点，求 k的取值范围3打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 y（单位：米）与飞行距离 x（单位：百米）之间具有关系：y5 x220 x，想一想：球的飞行高度能否达到 40m？先独立完成，然后互助交流，进一步理解函数与方程互相转化的思想理解一元二次方程的根就是二次函数与 y h(h 是实数)的交点的横坐标进一步提升学生对于实际问题中的二次函数与一元二次方程的关系的理解应用，用于解决实际问题求二次函数与一次函数图像交点问题的理解，
8、其本质就是求方程根的问题6课堂练习1方程 的根是 ；则函数 x2 4 5 0的图像与 x 轴的交点有 个，其坐标是 2方程 的根是 ；则函数 2 的图像与 x 轴的交点有 个，其坐标是 3下列函数的图像中，与 x 轴没有 公共点的是（ ）A B y2 y2 C Dx 6 9x 4已知二次函数 y x24 x k2 与 x 轴有公 共点，求 k的取值范围学生独立完成，小组交流所做结果，巩固对知识的理解通过巩固练习加深学生对知识的理解课堂小结1一元二次方程的两个根即二次函数图像与 x 轴两个交点的横坐标，因此方程的根的情况决定着有无交点及交点的个数2 “给定函数值求自变量问题”转化为“解方程的问题” 师生共同构建用精炼的语言，使得学生记忆简便，而且印象加深，同时让学生在总结中反思，完成升华课后作业课本 P28 习题 5.4 第 1，2 题
