1、1课时训练(二十五) 特殊平行四边形(二) |夯实基础|1.2018贵阳 如图 K25-1,在菱形 ABCD 中, E 是 AC 的中点, EF CB,交 AB 于点 F,如果 EF=3,那么菱形 ABCD 的周长为 ( )图 K25-1A.24 B.18C.12 D.92.2018宁夏 将一个矩形纸片按如图 K25-2 所示折叠,若1 =40,则2 的度数是 ( )图 K25-2A.40 B.50C.60 D.703.2018恩施州 如图 K25-3 所示,在正方形 ABCD 中, G 为 CD 边中点,连结 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点,对2角线 BD 交 AG 于 F 点,
2、已知 FG=2,则线段 AE 的长度为 ( )图 K25-3A.6 B.8C.10 D.124.2017兰州 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 DB 相交于点 O.要使四边形 ABCD 是正方形,还需添加一组条件 .下面给出了四组条件: AB AD,且 AB=AD; AB=BD,且 AB BD; OB=OC,且 OB OC;AB=AD ,且 AC=BD.其中正确的序号是 . 5.2018上海 对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图 K25-4),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅垂方向的边长称
3、为该图形的高 .如图,菱形 ABCD 的边长为 1,边 AB 水平放置 .如果该菱形的高是宽的 ,那么它的宽的值是 . 23图 K25-46.如图 K25-5,AC 是矩形 ABCD 的对角线, AB=2,BC=2 ,点 E,F 分别是线段 AB,AD 上的点,连结 CE,CF,当3 BCE= ACF,且 CE=CF 时, AE+AF= . 图 K25-57.如图 K25-6,在平行四边形 ABCD 中, AB=3 cm,BC=5 cm, B=60,G 是 CD 的中点, E 是边 AD 上的动点, EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F,连结 CE,DF.3(1)求证:四边形 CEDF
4、是平行四边形 .(2)当 AE= cm 时,四边形 CEDF 是矩形; 当 AE= cm 时,四边形 CEDF 是菱形 . (直接写出答案,不需要说明理由)图 K25-68.2018吉林 如图 K25-7,在 ABC 中, AB=AC,过 AB 上一点 D 作 DE AC 交 BC 于点 E,以 E 为顶点, ED 为一边,作 DEF= A,另一边 EF 交 AC 于点 F.(1)求证:四边形 ADEF 为平行四边形;(2)当点 D 为 AB 中点时, ADEF 的形状为 ; (3)延长图中的 DE 到点 G,使 EG=DE,连结 AE,AG,FG,得到图,若 AD=AG,判断四边形 AEGF
5、 的形状,并说明理由 .图 K25-74|拓展提升|9.2018海南 如图 K25-8,分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC,EG 剪开,拼成如图所示的 KLMN,若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形,且 KLMN 的面积为 50,则正方形 EFGH 的面积为 ( )图 K25-8A.24 B.25 C.26 D.2710.2018咸宁 如图 K25-9,已知 MON=120,点 A,B 分别在 OM,ON 上,且 OA=OB=a,将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得到 OM,旋转角为 (0 120且 60),作点 A 关于直线 OM的对称点 C,画直线
6、BC 交 OM于点 D,连结AC,AD.有下列结论:图 K25-9 AD=CD; ACD 的大小随着 的变化而变化;当 = 30时,四边形 OADC 为菱形; ACD 的面积的最大值为a2.3其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 511.2018绍兴 小敏思考解决如下问题:原题:如图 K25-10,点 P,Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC,CD 上, PAQ= B,求证: AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点 P,Q 的位置特殊化:把 PAQ 绕点 A 旋转得到 EAF,使 AE BC,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,如图,此时她证明了 AE=AF.请你证明 .(2)受
7、以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图,作 AE BC,AF CD,垂足分别为 E,F.请你继续完成原题的证明 .(3)如果在原题中添加条件: AB=4, B=60,如图 .请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案 .图 K25-106参考答案1.A2.D 解析 如下图,易知 23 =1 +180=220,从而3 =110,又由平行线的性质,得2 +3 =180,进而2 =70,故选 D.3.D 解析 正方形 ABCD,G 为 CD 边中点, ABDG= 2 1. AB CD, ABDG=AFFG. FG=2, AF=4.易证 ADG ECG, EG=AG=AF+FG=4+2
8、=6. AE=12.故选 D.4. 解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,故正确 . BD 为平行四边形的对角线, AB 为平行四边形的其中一条边,所以 AB=BD 时,平行四边形不可能是正方形,故错误 .对角线相等且垂直的平行四边形是正方形,由 OB=OC,得 AC=BD,由 OB OC,得 AC BD,所以四边形 ABCD 为正方形,故正确 . 邻边相等的平行四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形 .在平行四边形 ABCD 中,由 AB=AD,得四边形 ABCD 为菱形,又 AC=BD,四边形 ABCD 为正方形 .故 正确 .5. 解析 如图,将菱形 AB
9、CD 放置在一个水平矩形 AFCE 中,设宽 AF 为 a,则高 CF 为 a,因为菱形 ABCD 的边长为 1,1813 23所以 BF 为 a-1,在 Rt BCF 中,由勾股定理得( a-1)2+ a 2=12,解得 a= .23 181376. 解析 如图,作 FG AC,易证 BCE GCF(AAS), BE=GF,BC=CG.433在 Rt ABC 中,tan ACB= = = ,223 33 ACB=30, AC=2AB=4, DAC= ACB=30. FG AC, AF=2GF, AE+AF=AE+2BE=AB+BE.设 BE=x,在 Rt AFG 中, AG= GF= x,3
10、 3 AC=AG+CG= x+2 =4,3 3解得 x= -2,433 AE+AF=AB+BE=2+ -2= .433 4337.解:(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, CF ED, FCG= EDG. G 是 CD 的中点, CG=DG.在 FCG 和 EDG 中, =,=,=, FCG EDG(ASA), FG=EG.又 CG=DG,四边形 CEDF 是平行四边形 .(2)当 AE=3.5 cm 时,四边形 CEDF 是矩形 .当 AE=2 cm 时,四边形 CEDF 是菱形 .88.解:(1)证明: DE AC, DEF= EFC. DEF= A, A= EFC, EF AB,
11、四边形 ADEF 为平行四边形 .(2)菱形 .理由如下:点 D 为 AB 中点, AD= AB.12 DE AC,点 D 为 AB 中点, E 为 BC 中点, DE= AC.12 AB=AC, AD=DE,平行四边形 ADEF 为菱形 .(3)四边形 AEGF 为矩形 .理由:四边形 ADEF 为平行四边形, AF DE,AF=DE,AD=EF. EG=DE, AF=EG.又 AF EG,四边形 AEGF 是平行四边形 . AD=AG, AG=EF,四边形 AEGF 为矩形 .9.B 解析 设长方形纸片长,宽分别为 x,y,正方形纸片边长为 z.9四边形 OPQR 是正方形, RQ=RO,
12、 x-z=z-y, x=2z-y; KLMN 的面积为 50, xy+z2+(z-y)2=50,把代入,得(2 z-y)y+z2+(z-y)2=50,2 zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50,整理,得 2z2=50, z2=25,正方形 EFGH 的面积 =z2=25,故选择 B.10. 解析 连结 OC,点 A 关于直线 OM的对称点是点 C,由对称性可得 OA=OC,CD=AD,故正确; OA=OC, COD= AOD= ,由对称性可知 OM垂直平分 AC, OCA=90-. OA=OB,OA=OC, OB=OC. BOC=120-2 , BCO=30+ , BCA=90-+ 30+
13、= 120, ACD=180-120=60,故错误; CD=AD, ACD 为等边三角形 .当 = 30时, AOC=60 ACO 为等边三角形 . OC=OA=AC,又 ACD=60,AD=CD, AD=CD=AC. OA=OC=CD=AD.10四边形 OADC 为菱形 .故正确;要使 ACD 的面积最大即 AC 要最大,当 = 90,A,O,C 在一条直线上时, AC 最大, ACD 的面积的最大值为 2a a= a2,故 正确 .12 3 311.解析 (1)可先求出 AFC= AFD=90,然后证明 AEB AFD 即可;(2)先求出 EAP= FAQ,再证明 AEP AFQ 即可;(
14、3)可以分三个不同的层次,直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长 .可求PC+CQ,BP+QD, APC+ AQC 的值 .可求四边形 APCQ 的面积、 ABP 与 AQD 的面积和、四边形 APCQ 周长的最小值等 .解:(1)证明:如图,在菱形 ABCD 中, B+ C=180, B= D,AB=AD, EAF= B, C+ EAF=180, AEC+ AFC=180. AE BC, AEB= AEC=90, AFC=90, AFD=90, AEB AFD, AE=AF.(2)证明:如图, PAQ= EAF= B, EAP= EAF- PAF= PAQ- PAF= FA
15、Q.11 AE BC,AF CD, AEP= AFQ=90. AE=AF, AEP AFQ, AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次 1:求 D 的度数 .答案: D=60.分别求 BAD, BCD 的度数 .答案: BAD= BCD=120.求菱形 ABCD 的周长 .答案:16 . 分别求 BC,CD,AD 的长 .答案:4,4,4 .层次 2:求 PC+CQ 的值 .答案:4 .求 BP+QD 的值 .答案:4 .求 APC+ AQC 的值 .答案:180 .层次 3:求四边形 APCQ 的面积 .答案:4 .3求 ABP 与 AQD 的面积和 .答案:4 .3求四边形 APCQ 周长的最小值 .答案:4 +4 .3
