1、1(二)立体几何1(2018浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 SB 垂直于底面(1)求证：平面 SBD平面 SAC；(2)若 SA 与平面 SCD 所成的角为 30，求 SB 的长(1)证明 连接 AC， BD，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AC BD.又因为 SB底面 ABCD，所以 AC SB，因为 BD SB B， BD， SB平面 SBD，所以 AC平面 SBD.又因为 AC平面 SAC，所以平面 SAC平面 SBD.(2)解 将四棱锥补形成正四棱柱 ABCD A SC D，连接 A D，作 AE A D，垂足为点E，连接
2、SE.2由 SA CD 可知，平面 SCD 即为平面 SCDA.因为 CD侧面 ADD A， AE侧面 ADD A，所以 CD AE，又因为 AE A D， A D CD D， A D， CD平面 SCD，所以 AE平面 SCD，于是 ASE 即为 SA 与平面 SCD 所成的角设 SB x，在 Rt ABS 中， SA ，1 x2在 Rt DAA中， AE .x1 x2因为 ASE30，所以 ，1 x22x1 x2解得 x1，即 SB 的长为 1.2(2018浙江省金华十校模拟)如图，在几何体 ABCDE 中， CD AE， EAC90，平面EACD平面 ABC， CD2 EA2， AB A
3、C2， BC2 ， F 为 BD 的中点3(1)证明： EF平面 ABC；(2)求直线 AB 与平面 BDE 所成角的正弦值(1)证明 取 BC 的中点 G，连接 FG， AG， F 为 BD 的中点， CD2 EA， CD AE， FG CD EA，且 FG AE，12四边形 AGFE 是平行四边形， EF AG，3 EF平面 ABC， AG平面 ABC， EF平面 ABC.(2)解 EAC90，平面 EACD平面 ABC，且平面 EACD平面 ABC AC， EA平面EACD， EA平面 ABC，由(1)知 FG AE， FG平面 ABC，又 AB AC， G 为 BC 的中点， AG B
4、C，如图，以 G 为坐标原点，分别以 GA， GB， GF 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， D(0， ，2)， E(1,0,1)，3 3 (1， ，0)， (0，2 ，2)， (1， ，1)，AB 3 BD 3 BE 3设平面 BDE 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 y1，得 n(0,1， )，3直线 AB 与平面 BDE 所成角的正弦值为 .|AB n|AB |n| 343在三棱锥 DABC 中， DA DB DC， D 在底面 ABC 上的射影为 E， AB BC， DF AB 于 F.(1
5、)求证：平面 ABD平面 DEF；(2)若 AD DC， AC4， BAC60，求直线 BE 与平面 DAB 所成角的正弦值(1)证明 由题意知 DE平面 ABC，所以 AB DE，又 AB DF，且 DE DF D，所以 AB平面 DEF，又 AB平面 ABD，所以平面 ABD平面 DEF.(2)解 方法一 由 DA DB DC，知 EA EB EC，4所以 E 是 ABC 的外心又 AB BC，所以 E 为 AC 的中点，如图所示过 E 作 EH DF 于 H，连接 BH，则由(1)知 EH平面 DAB，所以 EBH 即为 BE 与平面 DAB 所成的角由 AC4， BAC60，得 AB
6、AE BE2，所以 EF ，又 DE2，3所以 DF ， EH ，DE2 EF2 7237所以 sin EBH .EHBE 217方法二 如图建系，则 A(0，2，0)， D(0,0,2)， B( ，1,0)，3所以 (0，2，2)，DA ( ，1，2)DB 3设平面 DAB 的法向量为 n( x， y， z)，由Error!得Error!取 z1，得 n .(33， 1， 1)设 与 n 的夹角为 ，EB 则 cos ，EB n|EB |n|2273 2175所以 BE 与平面 DAB 所成角的正弦值为 .2174如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB2， AD4，点 E， F 分别在 AD
7、， BC 上，且AE1， BF3，将四边形 AEFB 沿 EF 折起，使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上(1)求证： CD BE；(2)求线段 BH 的长度；(3)求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值(1)证明 BH平面 CDEF， BH CD，又 CD DE， BH DE H， BH， DE平面 DBE， CD平面 DBE， CD BE.(2)解 方法一 设 BH h， EH k，过 F 作 FG 垂直 ED 于点 G，线段 BE， BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得Error!即Error! 解得Error!线段 BH 的长度为 2.方法二 如图，
8、过点 E 作 ER DC，过点 E 作 ES平面 EFCD，以点 E 为坐标原点，分别以 ER， ED， ES 所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，设点 B(0， y， z)(y0， z0)，由于 F(2,2,0)， BE ， BF3，5Error!解得Error! 于是 B(0,1,2)，线段 BH 的长度为 2.(3)解 方法一 延长 BA 交 EF 于点 M， AE BF MA MB13，点 A 到平面 EFCD 的距离为点 B 到平面 EFCD 距离的 ，13点 A 到平面 EFCD 的距离为 ，而 AF ，23 136故直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值为 .
9、21339方法二 由(2)方法二知 (2，1,2)，FB 故 ，EA 13FB ( 23， 13， 23) ，FA FE EA ( 83， 73， 23)设平面 EFCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，直线 AF 与平面 EFCD 所成角的大小为 ，则 sin .|FA n|FA |n| 213395.在如图所示的几何体中， EA平面 ABC， DB平面 ABC， AC BC，且 AC BC BD2 AE， M是 AB 的中点(1)求证： CM EM；(2)求 CM 与平面 CDE 所成的角方法一 (1)证明 因为 AC BC， M 是 AB 的中点，所以 CM AB.又 EA平面 ABC
10、， CM平面 ABC，所以 EA CM，因为 AB EA A， AB， EA平面 ABDE，所以 CM平面 ABDE，又因为 EM平面 ABDE，所以 CM EM.(2)解 过点 M 作 MH平面 CDE，垂足为 H，连接 CH 并延长交 ED 于点 F，连接MF， MD， FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角因为 MH平面 CDE， ED平面 CDE，所以 MH ED，7又因为 CM平面 EDM， ED平面 EDM，所以 CM ED，因为 MH CM M， MH， CM平面 CMF，所以 ED平面 CMF，因为 MF平面 CMF，所以 ED MF.设 EA a， BD BC AC2
11、 a，在直角梯形 ABDE 中，AB2 a， M 是 AB 的中点，2所以 DE3 a， EM a， MD a，3 6所以 EM2 MD2 ED2，所以 EMD 是直角三角形，其中 EMD90，所以 MF a.EMMDDE 2在 Rt CMF 中，tan FCM 1，MFMC又因为 FCM(0，90)，所以 FCM45，故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45.方法二 如图，以点 C 为坐标原点， CA， CB 所在直线分别作为 x 轴和 y 轴，过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立直角坐标系，设 EA a，则A(2a,0,0)， B(0,2a,0)， E(2a,0， a)
12、， D(0,2a,2a)， M(a， a,0)(1)证明 因为 ( a， a， a)， ( a， a,0)，所以 0，故 EM CM.EM CM EM CM (2)解 设向量 n(1， y0， z0)为平面 CDE 的一个法向量，则 n ， n ，即 n 0， n 0.CE CD CE CD 因为 (2 a,0， a)， (0,2 a,2a)，CE CD 所以Error! 解得Error!即 n(1,2，2)，cos n， ，CM CM n|CM |n| 228因为 n， 0，180，所以 n， 45.CM CM 直线 CM 与平面 CDE 所成的角 是 n 与 夹角的余角，所以 45，因此直
13、线 CM 与平面CM CDE 所成的角是 45.6.如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC， ACB90，BE EF FC1， BC2， AC3.(1)求证： BF平面 ACFD；(2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值(1)证明 延长 AD， BE， CF 相交于一点 K，如图所示，因为平面 BCFE平面 ABC，且AC BC，所以 AC平面 BCK，因此 BF AC.又因为 EF BC， BE EF FC1， BC2，所以 BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF CK.所以 BF平面 ACFD.(2)解 因为 BF平面 ACK，所以 BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角在 Rt BFD 中， BF ， DF ，332得 cos BDF .217所以直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 .217
