1、11.2.1 平面的基本性质与推论1 下面四个条件中,能确定一个平面的条件是( )A.空间任意三点 B.空间两条直线C.两条平行线 D.一条直线和一个点答案： C2 经过同一直线上的三个点,可以作平面( )A.1 个 B.2 个C.3 个 D.无数个答案： D3 下列图形中,满足 =AB ,a ,b ,a AB,b AB 的图形是( )解析： 可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断 .答案： C4 下列四种叙述: 空间四点共面,则其中必有三点共线; 空间四点不共面,则其中任何三点不共线; 空间四点中有三点共线,则此四点必共面; 空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面 .其中正确叙述
2、的序号是( )A. B.C. D.解析： 因为四棱柱中每个面都有四个点,但这四个点中没有三点是共线的,所以 错;因为三点不共线但四点可以共面,所以 错 .答案： B5 如果平面 和平面 有三个公共点 A,B,C,那么平面 和平面 的位置关系为( )2A.平面 和平面 只能重合B.平面 和平面 只能交于过 A,B,C 三点的一条直线C.如果点 A,B,C 不共线,则平面 和平面 重合;如果点 A,B,C 共线,则平面 和平面 重合或相交于过点 A,B,C 的一条直线D.以上都不对解析： 应分点 A,B,C 共线与不共线两种情况讨论 .答案： C6 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F
3、 分别是棱 AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD都相交的直线( )A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有无数条解析： 如图所示,在 A1D1上任取一点 P.过点 P 与直线 EF 作一个平面 .因为 CD 与平面 不平行,所以它们相交 .设 CD=Q.连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求直线 .由 P 点的任意性知,有无数条直线与 A1D1,EF,CD 都相交 .由于点 P 是任取的一点,则有无数条,故选 D.答案： D7 已知点 A,直线 a,平面 ,A a,a A ;A a,a A ;A a,a A.以上命题中正确的个数为 .
4、 解析： 中“ a ”符号不对; 中 A 可以在 内,也可以在 外,故不正确; 中“ A ”符号不对 .答案： 08 有下列命题: 空间三点确定一个平面;3 有 3 个公共点的两个平面必重合; 空间两两相交的三条直线确定一个平面; 等腰三角形是平面图形; 垂直于同一直线的两条直线平行; 一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交 .其中正确命题的序号是 . 解析： 由平面的基本性质 2 知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题 均错, 中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时) . 中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三条直线共面,若只有一个交
5、点,则可能确定一个平面或三个平面 .因为在正方体 ABCD-ABCD中,直线 BB AB,BB BC,但 AB 与 BC 不平行,所以 错 .因为在正方体ABCD-ABCD中, AB CD,BB AB=B,但 BB与 CD 不相交,所以 错 .答案： 9 两条异面直线在同一个平面内的正投影是 . 解析： 要判断两异面直线在同一平面内的正投影的情况,即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形,如图 可知正投影是两条相交直线;如图 可知正投影是两条平行直线;如图 可知正投影是一个点和一条直线 .答案： 两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线10 已知 :a,b,c,d 是两两相交且不共点
6、的四条直线 .求证: a,b,c,d 共面 .分析： 四条直线两两相交且不过同一点,又可分成两种情况:一是有三条直线共点;二是任何三条直线都不共点 .因而本题需分类后进行各自的证明 .需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明 .证明 (1)有三线共点的情况,如图 .设 b,c,d 三线相交于点 K,与 a 分别交于点 N,P,M,且 Ka.因为 Ka,所以 K 和 a 确定一个平面 ,设为 .因为 N a,a ,4所以 N ,所以 NK ,即 b.同理, c ,d ,所以 a,b,c,d 共面 . (2)无三线共点情况,如图 .设 a d=M,b d=N,c d=P,a b
7、=Q,a c=R, b c=S. 因为 a d=M,所以 a,d 可确定一个平面 .因为 N d,Q a,所以 N ,Q .所以 NQ ,即 b.同理, c. 所以 a,b,c,d 共面 .由(1)(2)知 a,b,c,d 共面 . 11 如图 ,已知平面 , ,且 =l. 设在梯形 ABCD 中, AD BC,且 AB ,CD ,求证: AB,CD,l共点(相交于一点) .证明 在梯形 ABCD 中, AD BC,AB ,CD 是梯形 ABCD 的两腰,AB ,CD 必相交于一点 .设 AB CD=M,又 AB ,CD ,M ,M ,M 在 与 的交线上 .又 =l ,M l,即 AB,CD
8、,l 共点 . 12 正方体是常见的并且重要的多面体,对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握 .如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E,F,G,H 分别是所在棱的中点,请思考并回答下列问题:(1)直线 EF,GH,DC 能交于一点吗?(2)若 E,F,G,H 四点共面,怎样才能画出过四点 E,F,G,H 的平面与正方体的截面?5(3)若正方体的棱长为 a,那么(2)中的截面面积是多少?分析：: (1)要证三线共点,可先证两条直线共点,然后证明另一条直线也通过这一点 .(2)作截面的关键在于作出截面与各个侧面的交线(或者是作出截面与正方体的各棱的交点),而要确定两个平面
9、的交线,要找到同时在两个平面上的至少两个点 .解 (1)如图,能交于一点 .理由如下:因为 E,F 分别为棱 AB,BC 的中点,易得 E,F平面 ABCD,且 EF 与 CD 相交,设交点为 P.由 EBF PCF,可得 PC=BE= AB.12同理, GH 与 CD 相交,设交点为 P1,同样可得 P1C=C1G= C1D1= AB.12 12所以 P1与 P 重合,因此直线 EF,GH,DC 能交于一点 .(2)如图,延长 HG,DD1,相交于点 R,延长 FE 交 DA 的延长线于点 Q,则点 R,Q 是截面与侧面ADD1A1的公共点,连接 RQ 与 A1D1,A1A 分别交于点 M,T,连接 GM,TE,可得截面与正方体各面的交线分别为 EF,FH,HG,GM,MT,TE.截面如图中的阴影部分 .(3)截面为正六边形,其面积为 6 a2.34(22)2=334
