1、12.2.3 待定系数法课时过关能力提升1反比例函数的图象经过点( -2,3),则其还经过点( )A.(-2,-3) B.(3,2)C.(3,-2) D.(-3,-2)解析 设反比例函数为 f(x)= (k0),则 3= ,k=-6,即 f(x)= ,-2 -6故其还经过点(3, -2).答案 C2二次函数 y=x2+ax+b,若 a+b=0,则它的图象必经过点( )A.(-1,-1) B.(1,-1)C.(1,1) D.(-1,1)解析 当 x=1时, y=12+a1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1) .答案 C3已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点
2、坐标为(2, -1),与 y轴的交点为(0,11),则( )A.a=1,b=-4,c=11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=11解析 由已知可设二次函数 f(x)=a(x-2)2-1(a0) .因为点(0,11)在二次函数 f(x)=a(x-2)2-1的图象上,所以 11=4a-1,解得 a=3.所以 f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.故 a=3,b=-12,c=11.答案 D4已知 x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则 a,b,c的值分别为( )A.1,2,3 B.1,-2,-3C.1,-2,3 D
3、.1,2,-3解析 (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, +=2,+=-5,=-6, 解得 a=1,b=-2,c=3.答案 C25设函数 f(x)= 若 f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x的方程 f(x)=x的解的个数2+,0,2,0, 为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由 f(-1)=f(0),f(-2)=-2,可得 1-+=,4-2+=-2,解得 =1,=-4,故 f(x)=2+-4,0,2,0. 令 f(x)=x,解得 x=2或 x=-2.答案 B6抛物线 y=ax2+bx+c与 x
4、轴相交于点 A与点 B,与 y轴相交于点 C,如果 OB=OC=OA,那么 b的值为( )A.-2 B.-1 C.- D.解析 由图象可知 c0,且 B(c,0),A(-2c,0).设 f(x)=a(x-c)(x+2c),则 a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,即 ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.故 即 ac=- ,b=- .=,-22=, 12 12答案 C7已知一次函数的图象经过(5, -2)和(3,4),则这个函数的解析式为 . 解析 设一次函数为 y=kx+b(k0),则有 解得5+=-2,3+=4, =-3,=13. 答案 y=-3x+138如图所示为二次函数 y
5、=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为 . 解析 设二次函数为 y=a(x+1)(x-3).3 点(0, -2)在图象上,- 2=a(0+1)(0-3).a= .23y= (x+1)(x-3)= x2- x-2.23 23 43答案 y=x2-x-29已知二次函数当 x=4时有最小值 -3,且它的图象与 x轴的两交点间的距离为 6,则这个二次函数的解析式为 . 解析 由题意知,抛物线的对称轴为 x=4,抛物线与 x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示 .设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a0),由条件可得抛物线的顶点为(4, -3),且过点(1,0)和(7,0
6、),将三个点的坐标代入,得 -3=16+4+,0=+,0=49+7+, 解得=13,=-83,=73. 故所求二次函数的解析式为 f(x)= x2- x+ .13 83 73答案 f(x)= x2-x+10抛物线经过点(2, -3),它与 x轴交点的横坐标是 -1和 3.(1)求出抛物线的解析式 .(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标 .(3)画出草图 .(4)观察图象, x取何值时,函数值 y小于零? x取何值时, y随 x的增大而减小?解 (1)设抛物线的解析式为 f(x)=a(x+1)(x-3)(a0) .因为抛物线经过点(2, -3),所以 -3=a(2+1)(2-3),解得 a
7、=1.故抛物线的解析式为 f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)f (x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为 x=1,顶点坐标为(1, -4).(3)抛物线的草图如图所示 .4(4)由图象可知,当 x( -1,3)时,函数值 f(x)小于零;当 x( - ,1时, f(x)随 x的增大而减小 . 11 已知定义在 -6,6上的奇函数 f(x),在0,3上为一次函数,在3,6上为二次函数,且x3,6时, f(x) f(5)=3,f(6)=2,求 f(x)的解析式 .解 当 x3,6时,f (x) f(5)=3, 设 f(x)=a(x-5)2+3(a0)
8、.又 f(6)=2,f (6)=a(6-5)2+3=2,解得 a=-1.f (x)=-(x-5)2+3,x3,6 .f (3)=-(3-5)2+3=-1.故 x0,3和 x3,6时, f(x)的图象均过点(3, -1). 当 x0,3时, f(x)为一次函数, 设 f(x)=kx+b(k0) .f (x)在 -6,6上是奇函数, f (0)=0,b= 0,即 f(x)=kx(k0) .将点(3, -1)代入,得 -1=3k,即 k=- .13故 f(x)=- x,x0,3 .13因此, f(x)= -13, 0,3,-(-5)2+3, (3,6.又 f(x)为奇函数, 当 x -3,0时, f
9、(x)=-f(-x)=- x.13当 x -6,-3时, f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.f (x)=2+10+22, -6,-3),-13, -3,3,-2+10-22, (3,6. 12 已知直线 AB过 x轴上的一点 A(2,0)且与抛物线 y=ax2相交于点 B(1,-1)与点 C.5(1)求直线和抛物线的解析式 .(2)问抛物线上是否存在一点 D,使 S OAD=S OBC?若存在,求出点 D坐标;若不存在,请说明理由 .解 (1)设直线的解析式为 y=kx+b. 直线过点 A(2,0),B(1,-1), 解得 k=1,b=-2,2+=0,+=-1, 直线的解析式为 y=x-2.又抛物线 y=ax2过点 B(1,-1),a=- 1, 抛物线的解析式为 y=-x2.(2)直线与抛物线相交于 B,C两点,故 =-2,=-2,解得 B,C两点坐标为 B(1,-1),C(-2,-4),由图可知, S OBC=S OAC-S OAB= |-4|2- |-1|2=3.12 12假设抛物线上存在一点 D,使 S OAD=S OBC,设 D(m,-m2),可得 S OAD= 2m2=m2,即 m2=3,12故 m= 或 m=- ,即存在这样的点 D( ,-3)或 D(- ,-3)满足题意 .3 3 3 3
