1、12.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课时过关能力提升1.已知 e为 x轴上的单位向量,若 =-2e,且 B点的坐标为 3,则 A点的坐标和 AB中点的坐标分别为( )A.2,1 B.5,4C.4, 5 D.1,-2答案: B2.已知向量 a,b不共线,c =ka+b(kR),d =a-b,如果 cd,那么( )A.k=1,且 c与 d同向B.k=1,且 c与 d反向C.k=-1,且 c与 d同向D.k=-1,且 c与 d反向答案: D3.设 a,b为不共线向量, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,则下列关系式中正确的是( ) A. B. =2= 来源:学科网ZXXKC.
2、=- D. =-2 解析: =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2 .=+ 答案: B4.已知 a0, R,下列叙述中,正确的个数是( ) aa; a与 a的方向相同; 是单位向量;| 若 | a|a|,则 1.A.1 B.2 C.3 D.4答案: B5.已知在 ABC中, D是 BC的中点, E是 DC的中点, F是 EC的中点,若 =a, =b,则 等于( ) 2A. a+b B. a-bC. a+b D. a-b解析: 由题意可得 =a-b.=D 是 BC的中点, (a-b),=12=12同理 (a-b), (a-b), =b+ (a-b)= a+ b.=12
3、=14 =12=18 =+ 18 18 78答案: C6.已知向量 a,b,c中任意两个都不共线,且 a+b与 c共线,b+c 与 a共线,则向量 a+b+c等于( )A.a B.b C.c D.0解析: 因为 a+b与 c共线,所以有 a+b=mc(mR) .又 b+c与 a共线,所以有 b+c=na(nR),即 b=mc-a且 b=-c+na.因为 a,b,c中任意两个都不共线,则有 =-1,=-1,所以 b=mc-a=-c-a,即 a+b+c=0,故选 D.答案: D7. O是平面上一定点, A,B,C是平面上不共线的三个点,动点 P满足+ , 0, + ),则 P的轨迹一定通过 ABC
4、的( )=(|+|)A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析: 上的单位向量,设为 e1, 上的单位向量,设为 e2,则 e1+e2的方向为 BAC的|为 |为 平分线 的方向 .又 0, + ),3 (e1+e2)的方向与 e1+e2的方向相同,而由题意,得 = (e1+e2), 点 P在向量=所在的直线上移动 . 点 P的轨迹一定通过 ABC的内心 .答案: B8.已知数轴上两点 A,B的坐标分别是 -8,-3,则 的坐标为 ,长度为 . 答案: 5 59.已知长度相等的三个非零向量 满足 =0,则由 A,B,C三点构成的 ABC的形, +状是 三角形 . 解析: 如图,以 OA,OB为邻
5、边作菱形 OAFB,则 ,+= =0, =- .+ O ,F,C三点共线 . 四边形 OAFB是菱形,CE 垂直平分 AB.CA=CB.同理, AB=AC. ABC为等边三角形 .答案: 等边10.如图,在 OAB中,点 C是点 B关于点 A的对称点, OD=2DB,DC和 OA交于点 E,设 =a, =b.(1)用 a和 b表示向量 ;,(2)若 = ,求实数 的值 .4解: (1)依题意,得 A是 BC的中点, 2 ,=+即 =2 =2a-b,=23=2a-b- b=2a- b.23 53(2) = , = a-(2a-b)=(- 2)a+b.= 共线,且 0,与 存在实数 k,使 =k ,即( - 2)a+b=k ,解得 = .(2-53) 45 实数 的值为 .4511.如图,在 ABC中, E为边 AC的中点,试问在边 AC上是否存在一点 D,使得 ?若=13+23存在,说明点 D的位置;若不存在,请说明理由 .解: 假设存在点 D,使得 .=13+23由 ,=13+23得 )= ,=13+23(+23所以 ,=23即 .=235又 ,所以 ,=12 =13即在 AC上存在一点 D,使 ,且 D点为 AC上靠近 C的一个三等分点 .=13+23
