1、12.4 向量的应用课时过关能力提升1.若直线 l 与向量 a=(2,-2)平行,则其倾斜角等于( )A.45 B.135 C.60 D.120解析: 由已知得 l 的斜率 k= =-1,而 tan 135=-1,所以 l 的倾斜角是 135.-22答案: B2.在 ABC 中,有下列命题: ; =0; 若( )( )=0,则 ABC 为等腰三角形; 若= + + 0,则 ABC 为锐角三角形 .上述命题正确的是( )A. B.C. D.解析: 对于 ,应有 ,故 错误;对于 ,由 0,得 | | |cos A0, cos = A0.A 为锐角 .但 B,C 是否为锐角,不能确定,故 错误;
2、是正确的 .答案: C3.一条渔船距对岸 4 km,以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为( )A.2 km/h B.2 km/h3C. km/h D.3 km/h3答案: A4.已知 ABC 的三个顶点 A,B,C 和平面内一点 P,且 ,则点 P 与 ABC 的位置关系+=是 ( )A.点 P 在 ABC 内部B.点 P 在 ABC 外部C.点 P 在 AB 边上或其延长线上D.点 P 在 AC 边上解析: ,+=2 ,即 =2 .+=+= A ,C,P 三点共线,即点 P 在 AC 边上 .答案: D5.在四边形 ABCD 中,
3、 A(1,1),B ,C(2,3),D ,则该四边形的面积为( )(32,0) (-52,2)A. B.2 C.5 D.105 5解析: 因为 =(1,2), =(-4,2), 所以 =1(-4)+22=0,故 ,所以四边形 ABCD 的面积为 =5,故选 C.|2 =12+22(-4)2+222答案: C6.已知向量 =(4,-5), =(-7,9)分别表示两个力 f1,f2,则 f1+f2的大小为 . 1 2解析: f1+f2= =(-3,4),1+2| f1+f2|= =5.32+42答案: 57.在 ABC 中, A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),则 AC 边上的高所在的直
4、线方程为 . 解析: 与 AC 边平行的向量为 =(3,-5).设 P(x,y)是所求直线上任意一点 ,则 =(x-3,y-1),所以 AC 边上的高所在的直线方程为 (x-3,y-1)=0,即 3x-5y-4=0.答案: 3x-5y-4=08.若正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 在线段 AC 上运动,则 ( )的最大值是 . +解析: 如图,以 A 为原点建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),D(0,1),可设 P(x,x)(0 x1) .3则有 =(x,x), =(1-x,-x), =(-x,1-x),从而 ( )=-4x2+2x=-4 , + (-14)2+14故当
5、x= 时, ( )取最大值 .14 + 14答案:9.已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若 c=5,求 sin A 的值;(2)若 A 为钝角,求 c 的取值范围 .解: (1) =(-3,-4), =(c-3,-4). 若 c=5,则 =(2,-4),故 cos A=cos= ,-6+16525=15所以 sin A= .255(2)若 A 为钝角,则 ,-3+9+160,0, 253故 c 的取值范围是 .(253,+)10.在 ABC 中, C=90,D 是 AB 的中点,用向量法证明 CD=AB.分析 找一组基底,分别表示 ,转化为证明 | |= |.和 12|证明 如图,设 =a, =b,则 a 与 b 的夹角为 90, 故 ab=0. =b-a, (a+b),=124| |= |a+b|12=12(+)2=12|2+2+|2= ,12|2+|2| |=|b-a|= (-)2= .|2-2+|2=|2+|2| |= |.12|CD= AB.12
