1、1第二章平面解析几何初步检测( A)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 圆心为 (1,-1),半径为 2 的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=4答案： D2 已知点 A(1,2),B(-2,3),C(4,t)在同一条直线上,则 t 的值为( )A. B. C.1 D.-1解析： 因为点 A,B,C 共线,所以 kAB=kBC,即 ,解得 t=1.3-2-2-
2、1= -34-(-2)答案： C3 直线 ax+2y-1=0 与直线 x+(a-1)y+2=0 平行,则 a 等于( )A. B.2 C.-1 D.2 或 -1解析： 由 a(a-1)-2=0 得 a=2 或 a=-1.经检验 a=2 或 a=-1 均符合题意 .答案： D4 在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 M 的坐标是(1,3,5),则其关于 x 轴的对称点的坐标是( )A.(-1,-3, -5) B.(-1,-3,5)C.(1,-3,-5) D.(1,3,-5)解析： 点 M 关于 x 轴对称的点的坐标, x 坐标不变, y,z 的新坐标与原来的坐标互为相反数 .答案： C5 若方程
3、x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是( )A.(- ,-2) B.(-23,2)C.(-2,0) D.(-2,23)2解析： 由 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,即(3 a-2)(a+2)0,即 a5.又因为圆关于 y=2x+b 成轴对称,所以点( -1,2)在直线 y=2x+b 上,所以 b=4,所以 a-b1.答案： (- ,1)三、解答题 (本大题共 5 小题,共 45 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 8 分)已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M 是 BC 边上
4、的中点 .(1)求 AB 边所在直线的方程;(2)求中线 AM 的长 .解 (1)(方法一)由两点式得 AB 边所在直线的方程为 ,即 6x-y+11=0.-5-1-5= +1-2+1(方法二)由题意可求得直线 AB 的斜率为 k= =6,则直线 AB 的方程为-1-5-2-(-1)=-6-1y-5=6(x+1),即 6x-y+11=0.(2)设点 M 的坐标为( x0,y0),因为由中点坐标公式得x0= =1,y0= =1,-2+42 -1+32所以 M(1,1).所以 |AM|= =2 .(1+1)2+(1-5)2 5即中线 AM 的长为 2 .517(本小题满分 8 分)三角形 ABC
5、的边 AC,AB 上的高所在直线的方程分别为 2x-3y+1=0,x+y=0,顶点 A(1,2),求 BC 边所在直线的方程 .解 因为 AC 边上的高线为 2x-3y+1=0,5所以 kAC=- .32所以 AC 的方程为 y-2=- (x-1),32即 3x+2y-7=0,同理可求直线 AB 的方程为 x-y+1=0.下面求直线 BC 的方程,由 得顶点 C(7,-7),3+2-7=0,+=0, 由 得顶点 B(-2,-1).-+1=0,2-3+1=0,所以 kBC=- ,直线 BC:y+1=- (x+2),23 23即 2x+3y+7=0.18(本小题满分 9 分)已知圆 C 的方程为
6、x2+y2-4mx-2y+8m-7=0(mR) .(1)试求 m 的值,使圆 C 的面积最小;(2)求与满足(1)中条件的圆 C 相切,且过点(4, -3)的直线方程 .解 配方得圆的方程为( x-2m)2+(y-1)2=4(m-1)2+4.(1)当 m=1 时,圆的半径最小,此时圆的面积最小 .(2)当 m=1 时,圆的方程为( x-2)2+(y-1)2=4.当斜率存在时设所求直线的方程为 y+3=k(x-4),即 kx-y-4k-3=0.由直线与圆相切,得 =2,|2-1-4-3|2+1解得 k=- .34所以切线方程为 y+3=- (x-4),34即 3x+4y=0.又经过点(4, -3
7、),且与 x 轴垂直的直线方程为 x=4,此时,直线也与圆相切 .所以所求直线方程为 3x+4y=0 或 x=4.19(本小题满分 10 分)已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 ,半3径小于 5.求:(1)直线 PQ 与圆 C 的方程;(2)求过点(0,5)且与圆 C 相切的直线方程 .解 (1)直线 PQ 的方程为 y-3= (x+1),3+2-1-4即 x+y-2=0,6由题意圆心 C 在 PQ 的中垂线 y- =1 ,即 y=x-1 上,3-22 (-4-12 )设 C(n,n-1),则 r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2,由
8、题意,有 r2=(2 )2+|n|2,3所以 n2+12=2n2-6n+17,解得 n=1 或 n=5,所以 r2=13 或 r2=37(舍),故圆 C 的方程为( x-1)2+y2=13.(2)当切线斜率存在时,设其方程为 y=kx+5,则 ,解得 k= 或 k=- ,|+5|1+2=13 32 23所以方程为 3x-2y+10=0 或 2x+3y-15=0,当切线斜率不存在时,不满足题意,故切线方程为 3x-2y+10=0 或 2x+3y-15=0.20(本小题满分 10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l
9、上 .(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;(2)若圆 C 上存在点 M,使 |MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 .解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在 .设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,由题意,得 =1,解得 k=0 或 k=- ,|3+1|2+1 34故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,所以圆 C 的方程为( x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x,y),因为 |MA|=2|MO|,所以 =2 ,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M 在以 D(0,-1)为2+(-3)2 2+2圆心,2 为半径的圆上 .由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则 |2-1| |CD|2 +1,即 1 3 .2+(2-3)2由 5a2-12a+80,得 aR;7由 5a2-12a0,即 a(5a-12)0,得 0 a .125故点 C 的横坐标 a 的取值范围为 .0,125
