1、1第 1 讲 三角函数的图象与性质考情考向分析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，则 sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余yx弦2同角基本关系式：sin 2 cos 2 1， tan .sin cos ( k 2， k Z)3诱导公式：在 ， kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” k2例
2、 1 (1)(2018资阳三诊)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2，1)，则 tan 等于( )(2 4)A7 B C. D717 17答案 A解析 由角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(2,1)，可得 x2， y1，tan ，yx 12tan 2 ，2tan 1 tan2 11 14 43tan 7.(2 4)tan 2 tan 41 tan 2 tan 443 11 431(2)(2018衡水金卷信息卷)已知曲线 f(x) x32 x2 x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 ，则 cos2 2cos
3、2 3sin(2 )cos( )的值为( )( 2 )2A. B C. D85 45 43 23答案 A解析 由 f(x) x32 x2 x 可知 f( x)3 x24 x1，tan f(1)2，cos2 2cos 2 3sin cos( 2 ) (2 ) ( )(sin )22cos 2 3sin cos sin 2 2cos 2 3sin cos sin2 2cos2 3sin cos sin2 cos2 tan2 3tan 2tan2 1 .4 6 25 85思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与
4、终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练 1 (1)(2018合肥质检)在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 P，则 sin( )等于( )(sin 53， cos 53)A B C. D.32 12 12 32答案 B解析 由诱导公式可得，sin sin sin ，53 (2 3) 3 32cos cos cos ，53 (2 3) 3 12即 P ，(32， 12)由三角函数的定义可得，sin ，12( 32)2 (12)2 12则 sin si
5、n .( )123(2)(2018衡水金卷调研卷)已知 sin(3 )2sin ，则(32 )等于( )sin 4sin( 2 )5sin2 2cos2 A. B. C. D12 13 16 16答案 D解析 sin(3 )2sin ，(32 )sin 2cos ，即 sin 2cos ，则 sin 4sin( 2 )5sin2 2cos2 sin 4cos 5sin 2cos .2cos 4cos 10cos 2cos 212 16热点二 三角函数的图象及应用函数 y Asin(x )的图象(1)“五点法”作图：设 z x ，令 z0， ， ，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线
6、可 2 32得(2)图象变换：(先平移后伸缩) ysin x 向 左 0或 向 右 0倍 纵 坐 标 不 变y Asin(x ) 纵 坐 标 变 为 原 来 的 AA0倍 横 坐 标 不 变(先伸缩后平移) ysin x 横 坐 标 变 为 原 来 的 1 0倍 纵 坐 标 不 变ysin x ysin( x ) 向 左 0或 右 0倍 横 坐 标 不 变4例 2 (1)(2018安徽省江淮十校联考)已知函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期( x 3)为 ，为了得到函数 g(x)cos x 的图象，只要将 y f(x)的图象( )A向左平移 个单位长度12B向右平移 个单位长度12C向左
7、平移 个单位长度512D向右平移 个单位长度512答案 A解析 由题意知，函数 f(x)的最小正周期 T，所以 2，即 f(x)sin ， g(x)cos 2 x.(2x 3)把 g(x)cos 2x 变形得 g(x)sin sin ，所以只要将 f(x)的图象向(2x 2) 2(x 12) 3左平移 个单位长度，即可得到 g(x)cos 2 x 的图象，故选 A.12(2)(2018永州模拟)函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所示，( 0， | |0， | |0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五
8、点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练 2 (1)(2018潍坊模拟)若将函数 ycos x ( 0)的图象向右平移 个单位长 3度后与函数 ysin x 的图象重合，则 的最小值为( )A. B. C. D.12 32 52 72答案 B解析 将函数 ycos x ( 0)的图象向右平移 个单位长度后得到函数的解析式为 3ycos cos .(x 3) ( x 3
9、 )平移后得到的函数图象与函数 ysin x 的图象重合， 2 k (kZ)，即 6 k (kZ) 3 2 32当 k0 时， .32(2)(2018北京朝阳区模拟)函数 f(x) Asin(x ) 的部分(A0， 0， | |0)的图象上相邻最高点与最低332点的距离为 . 2 4(1)求 的值；(2)若函数 y f(x ) 是奇函数，求函数 g(x)cos(2 x )在0,2上的(00， T 2， .22 12(2)由(1)可知 f(x)sin ，(x 3) f(x )sin .(x 3) y f(x )是奇函数，sin 0，( 3)又 00， f(x)单调递增，12当 cos x 时，
10、f(x)有最小值12又 f(x)2sin xsin 2 x2sin x(1cos x)，当 sin x 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .(32) (1 12) 3322(2018全国改编 )若 f(x)cos xsin x 在 a， a上是减函数，则 a 的最大值是_10答案 4解析 f(x)cos xsin x sin ，2(sin x22 cos x22) 2 (x 4)当 x ，即 x 时， 4， 34 4 2， 2ysin 单调递增，(x 4)f(x) sin 单调递减2 (x 4)函数 f(x)在 a， a上是减函数， a， a ， 4， 3400)图象的相邻两条
11、对称轴之间的距离为 .为了( x 5) 2得到函数 g(x)cos x 的图象，只要将 y f(x)的图象( )A向左平移 个单位长度320B向右平移 个单位长度320C向左平移 个单位长度 5D向右平移 个单位长度 5押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案 A解析 由于函数 f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则其最小正周期 T， 2所以 2，即 f(x)sin ， g(x)cos 2 x.2T (2x 5)把 g(x)cos 2x 变形得 g(x)sin sin ，所以要得到函数 g(x)的(2x 2
12、) 2(x 320) 5图象，只要将 f(x)的图象向左平移 个单位长度即可故选 A.3202如图，函数 f(x) Asin(x ) 与坐标轴的三个交(其 中 A0， 0， | | 2)点 P， Q， R 满足 P(2,0)， PQR ， M 为 QR 的中点， PM2 ，则 A 的值为( ) 4 512A. B. C8 D16833 163 3押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求 A，考查数形结合思想答案 B解析 由题意设 Q(a,0)， R(0， a)(a0)则 M ，由两点间距离公式，得(a2， a2)PM 2 ，(2 a2)2 (a2)2 5解得 a1
13、8， a24(舍去)，由此得 826，即 T12，故 ，T2 6由 P(2,0)得 ， 3代入 f(x) Asin(x )，得 f(x) Asin ，( 6x 3)从而 f(0) Asin 8，得 A .( 3) 163 33已知函数 f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4x.(1)若 x 是某三角形的一个内角，且 f(x) ，求角 x 的大小；22(2)当 x 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的值0， 2押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三
14、角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解 (1) f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4x(cos 2xsin 2x)(cos2xsin 2x)sin 2 xcos 2 xsin 2 x13 2(22cos 2x 22sin 2x) cos ，2 (2x 4) f(x) cos ，2 (2x 4) 22可得 cos .(2x 4) 12由题意可得 x(0，)，2 x ， 4 ( 4， 94)可得 2x 或 ， 4 23 43 x 或 .524 1324(2) x ，2
15、x ，0， 2 4 4， 54cos ，(2x 4) 1， 22 f(x) cos ，12 (2x 4) 2 f(x)的最小值为 ，此时 2x ，即 x .2 4 38A 组 专题通关1(2018佛山质检)函数 ysin cos 的最小正周期和振幅分别是( )(2x 6) (2x 3)A， B，2 C2，1 D2，2 2答案 B解析 ysin cos(2x 6) (2x 3)sin sin(2x 6) (2x 3) 22sin ，(2x 6) T ，振幅为 2.22142(2018天津市十二校模拟)已知函数 f(x)sin (xR， 0)的最小正周期为( x 4)，将 y f(x)的图象向左平
16、移| |个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是( )A. B. C. D. 2 38 4 58答案 D解析 由函数 f(x)sin (xR， 0)的最小正周期为 ，( x 4) 2可得 2， f(x)sin .(2x 4)将 y f(x)的图象向左平移| |个单位长度，得 ysin 的图象，2x | | 4平移后图象关于 y 轴对称，2| | k (kZ)， 4 2| | (kZ)，k2 8令 k1，得 .583(2018河北省衡水金卷模拟)已知函数 f(x) sin x 2cos 2 1( 0)，将 f(x)3 x2的图象向右平移 个单位长度，所得函数 g(x)的部分图象如图所
17、示，则 (00， 00)图象的相邻对称轴之间的距离3为 ，则下列结论正确的是( ) 2A f(x)的最大值为 1B f(x)的图象关于直线 x 对称512C f 的一个零点为 x(x 2) 3D f(x)在区间 上单调递减 3， 2答案 D解析 因为 f(x) sin x cos x 2sin 的相邻的对称轴之间的距离为 ，3 ( x 6) 2所以 ，得 2，即 f(x)2sin ，2 (2x 6)所以 f(x)的最大值为 2，所以 A 错误；当 x 时，2 x ，所以 f 0，512 6 (512)所以 x 不是函数图象的对称轴，所以 B 错误；512由 f 2sin(x 2) 2(x 2)
18、 62sin ，(2x 6)当 x 时， f 20， 3 (x 2)所以 x 不是函数的一个零点，所以 C 错误； 3当 x 时，2 x ， f(x)单调递减，所以 D 正确 3， 2 6 56， 766在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 P( ，1)，则 tan _，cos sin _.3 ( 2)17答案 033解析 角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点P( ，1)，3 x ， y1，3tan ，cos sin cos cos 0.yx 33 ( 2)7(2018河北省衡水金卷模拟)已知 tan 2，则 _.si
19、n22 2cos22sin 4答案 112解析 tan 2 ，2tan 1 tan2 43 sin22 2cos22sin 4 sin22 2cos222sin 2 cos 2 .tan22 22tan 2169 22( 43) 1128(2017全国)函数 f(x)sin 2x cos x 的最大值是_334(x 0， 2)答案 1解析 f(x)1cos 2x cos x334 21.(cos x32) x ，cos x0,1，0， 2当 cos x 时， f(x)取得最大值，最大值为 1.329(2018潍坊模拟)设函数 f(x)(xR)满足 f(x) f(x)sin x，当0 f 或 f
20、 0 时，函数 f(x)有且只有一个零点，( 3) (712) ( 6)即 sin b 0， | | 2)直线 y3 相邻两个交点的距离为 ，若 f(x)2 对 x 恒成立，则 的取值范围(24， 3)是( )A. B.( 6， 2) 6， 3C. D.(12， 3) 12， 6答案 D解析 因为函数 f(x)2sin( x )1 ，其图象与直线 y3 相邻( 0， | | 2)两个交点的距离为 ，所以函数周期为 T， 2，当 x 时，2 x ，(24， 3) (12 ， 23 )且| | ， 2由 f(x)2 知，sin(2 x ) ，12所以Error! 解得 .12 613函数 f(x)
21、 的图象与函数 g(x)2sin x(0 x4)的图象的所有交点为( x1， y1)，12 x 2(x2， y2)，( xn， yn)，则 f(y1 y2 yn) g(x1 x2 xn)_.答案 12解析 如图，画出函数 f(x)和 g(x)的图象，可知有 4 个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1 y2 y3 y40， x1 x2 x3 x48，所以 f(y1 y2 y3 y4) g(x1 x2 x3 x4) f(0) g(8) 0 .12 122114已知 a0，函数 f(x)2 asin 2 a b，当 x 时，5 f(x)1.(2x 6) 0， 2(1)求常数 a， b 的值；(2
22、)设 g(x) f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间(x 2)解 (1) x ，2 x .0， 2 6 6， 76sin ，(2x 6) 12， 12 asin 2 a， a(2x 6) f(x) b,3a b，又5 f(x)1， b5,3 a b1，因此 a2， b5.(2)由(1)得 f(x)4sin 1，(2x 6) g(x) f 4sin 1(x 2) (2x 76)4sin 1.(2x 6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin 11，sin ，(2x 6) (2x 6)122 k 2x 2k ， kZ， 6 6 56其中当 2k 2x 2 k ， kZ， 6 6 2即 k x k ， kZ 时， g(x)单调递增； 6当 2k 2x 2k ， kZ， 2 6 56即 k xk ， kZ 时， g(x)单调递减 6 3 g(x)的单调递增区间为 ， kZ，(k ， k 6单调递减区间为 ， kZ.(k 6， k 3)
