1、1第 2 讲 三角恒等变换与解三角形考情考向分析 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一 三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值” “给值求值” “给值求角” 2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin 2 cos 2 tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 ， ( ) 等(3)降次与升次：正用二倍角公
2、式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例 1 (1)(2018广东省省际名校(茂名市)联考)若 cos ，则 cos 等于( )( 3) 45 ( 3 2 )A. B2325 2325C. D725 725答案 D2解析 cos ，( 3) 45cos sin( 3) 2 ( 3)sin ，( 6 ) 45cos 12sin 2 .( 3 2 ) ( 6 ) 725(2)已知 sin ，sin( ) ， ， 均为锐角，则 等于( )55 1010A. B.512 3C. D. 4 6答案 C解析 因为 ， 均为锐角，所以 c，所以 BC，则 C 为锐角，所以 cos C .6
3、3则 sin Asin( B C)sin Bcos Ccos Bsin C ，32 63 12 33 32 36所以 ABC 的面积 S bcsin A1248 24 8 .32 36 2 3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状例 3 (2018天津)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 bsin A acos.(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2A B)的值解 (1)在 ABC 中，由正弦定理 ，可得asin A
4、bsin Bbsin A asin B.6又由 bsin A acos ，得 asin B acos ，(B 6) (B 6)即 sin Bcos ，所以 tan B .(B 6) 3又因为 B(0，)，所以 B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理及 a2， c3， B ， 3得 b2 a2 c22 accos B7，故 b .7由 bsin A acos ，可得 sin A .(B 6) 217因为 a0，得 sin A2sin B.根据正弦定理，得 a2 b.2(2018全国)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin( )_.8答案 12解析 sin cos 1，cos
5、 sin 0， 2 2得 12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，12sin( ) .123(2018全国改编) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 ABC 的面积为，则 C_.a2 b2 c24答案 4解析 S absin C 12 a2 b2 c24 2abcos C4 abcos C，12sin Ccos C，即 tan C1.又 C(0，)， C . 44(2018全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsin C csin B4 asin Bsin C， b2 c2 a28，则
6、 ABC 的面积为_答案 233解析 bsin C csin B4 asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又 sin Bsin C0，sin A .12由余弦定理得 cos A 0，b2 c2 a22bc 82bc 4bccos A ， bc ，32 4cos A 833 S ABC bcsin A .12 12 833 12 233押题预测91在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 cos A ，sin B cos C，并23 5且 a ，则 ABC 的面积为_2押题依据 三角形的面积求
7、法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点答案 52解析 因为 00，53 23并结合 sin2Ccos 2C1，得 sin C ，cos C .56 16于是 sin B cos C .556由 a 及正弦定理 ，得 c .2asin A csin C 3故 ABC 的面积 S acsin B .12 522已知函数 f(x) sin xcos xcos 2 x( 0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在 ABC 中，sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域押题依据 三角函数和解三角形的交汇命题
8、是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高解 (1) f(x) sin 2x (cos 2x 1)32 12sin ，(2 x 6) 12因为函数 f(x)的最小正周期为 T ，22 23所以 .3210(2)由(1)知 f(x)sin ，(3x 6) 12易得 f(A)sin .(3A 6) 12因为 sin B，sin A，sin C 成等比数列，所以 sin2Asin Bsin C，所以 a2 bc，所以 cos A b2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc (当且仅当 b c 时取等号)2bc bc2
9、bc 12因为 00，2tan 2tan 3tan 2 31 tan2 2tan 2 ，12(tan 3tan ) 12 tan 3tan 3当且仅当 tan ，即 tan ， 时等号成立故选 D.3tan 3 3方法二 为锐角，sin 0，cos 0，2tan 3tan 2 2sin cos 3cos 2sin 2 4sin2 3cos 22sin cos sin2 3cos22sin cos 2 ，12(sin cos 3cos sin ) 12 sin cos 3cos sin 3当且仅当 ，sin cos 3cos sin 即 时等号成立故选 D. 36(2017全国)已知 ，tan
10、2，则 cos _.(0， 2) ( 4)答案 31010解析 cos cos cos sin sin ( 4) 4 4 (cos sin )22又由 ，tan 2 知，sin ，cos ，(0， 2) 255 55cos .( 4) 22 (55 255) 310107设 ABC 内切圆与外接圆的半径分别为 r 与 R.且 sin Asin Bsin C234，则cos C_；当 BC1 时， ABC 的面积等于_答案 14 3151613解析 sin Asin Bsin C234， a b c234.令 a2 t， b3 t， c4 t，则 cos C ，4t2 9t2 16t212t2
11、14sin C .154当 BC1 时， AC ，32 S ABC 1 .12 32 154 315168(2018绵阳诊断)如图，在 ABC 中， BC2， ABC ， AC 的垂直平分线 DE 与 3AB， AC 分别交于 D， E 两点，且 DE ，则 BE2_.62答案 52 3解析 如图，连接 CD，由题设，有 BDC2 A，所以 ，CDsin 60 BCsin 2A 2sin 2A故 CD .3sin 2A又 DE CDsin A ，32cos A 62所以 cos A ，而 A(0，)，故 A ，22 4因此 ADE 为等腰直角三角形，14所以 AE DE .62在 ABC 中，
12、 ACB75，所以 ，ABsin 75 2sin 45故 AB 1，3在 ABE 中， BE2( 1) 2 22( 1) .3 (62) 3 62 22 52 39(2017全国) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 .B(1)求 cos B；(2)若 a c6， ABC 的面积为 2，求 b.解 (1)由题设及 A B C，得 sin B8sin 2 ，B故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)或 cos B .1517故 cos B .1517(2)由
13、cos B ，得 sin B ，1517 817故 S ABC acsin B ac.12 417又 S ABC2，则 ac .172由余弦定理及 a c6，得 b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B)362 4，172 (1 1517)所以 b2.10(2018荆州质检)已知向量 a( sin 2x， cos 2x)， b(cos ，sin )2 2，若 f(x) ab，且函数 f(x)的图象关于直线 x 对称(| |0，tan Atan Btan C2m 12m2 444 8 ，(m1m) m1m当且仅当 mtan Btan C11，即 tan Btan C
14、2 时取“” ，此时 tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以 tan Atan Btan C 的最小值是 8，故正确，故选 D.13(2018百校联盟 TOP20 联考)如图，在 ABC 中， D， F 分别为 BC， AC 的中点，AD BF，若 sin2C sin BACsin ABC，则 cos C_.716答案 78解析 设 BC a， AC b， AB c，由 sin2C sin BACsin ABC 可得， c2 ab，716 716由 AD BF 可得， 0，AD BF AB AC 2 (12AC AB )整理可得， 2 2 0，14AC 12AB 1
15、4AB AC 18即 b2 c2 bccos BAC0，14 12 14即 2b24 c22 bccos BAC0，2b24 c2( b2 c2 a2)0，即 a2 b2 c24 c2 ab，74所以 cos C .a2 b2 c22ab 7814如图，在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD6， BD3， DC2.(1)如图 1，若 AD BC，求 BAC 的大小；(2)如图 2，若 ABC ，求 ADC 的面积 4解 (1)设 BAD ， DAC .因为 AD BC， AD6， BD3， DC2，所以 tan ，tan ，12 13所以 tan BACtan( ) 1.tan tan 1 tan tan12 131 1213又 BAC(0，)，所以 BAC . 4(2)设 BAD .在 ABD 中， ABC ， AD6， BD3. 4由正弦定理得 ，解得 sin .ADsin 4 BDsin 24因为 ADBD，所以 为锐角，从而 cos .1 sin214419因此 sin ADCsin ( 4)sin cos cos sin 4 4 .22(24 144) 1 74所以 ADC 的面积 S ADDCsin ADC12 62 (1 )12 1 74 32 7
