1、1专题强化练十 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1如图，在正方形 ABCDA1B1C1D1中， P 为 BD1的中点，则 PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A B C D解析：图是 PAC 在底面上的投影，是 PAC 在前后侧面上的投影因此正投影可能是，选项 B 正确答案：B2(2018烟台二模)某几何体的三视图如 2 题图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )A34 2 B32 22 2C. 2 2 D. 2 232 2 32 2解析：由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱形成依题设知，几何体的底面面积 S 底 1 2( )22.2所以该几何体
2、表面积为 S2(2 ) (212) S 底2124 2234 2.2 2答案：A3(2018北京卷)某四棱锥的三视图如 3 题图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )2A1 B2 C3 D4解析：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥 PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 3.答案：C4中国古代数学名著九章算术中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )A18 B18 C18 D.6 3 22722解析：在俯视图 Rt ABC 中，作 AH BC 交于 H.由三视图的意义，则 BH
3、6， HC3，根据射影定理， AH2 BHHC，所以 AH3 .易知该“堑堵”的侧(左)视图是矩形，2长为 6，宽为 AH3 ，故侧视图的面积 S63 18 .2 2 2答案：C5(2018北京西城质检)已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC 的体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64 C144 D2563解析：因为 AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 OABC 的体积取得最大值由 R2R36，得 R6.从而球 O 的表面积 S4 R2144.13 12答案：C6(2018全国卷)设
4、A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B18 C24 D543 3 3 3解析：设等边 ABC 的边长为 x，则 x2sin 609 ，得 x6.12 3设 ABC 外接圆的半径为 r，则 2r ，得 r2 .6sin 60 3所以球心到 ABC 所在平面的距离 d 2，42 （ 23） 2则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1 d46.故 V 三棱锥 DABC的最大值为 S ABC6 9 618 .13 13 3 3答案：B二、填空题7(2018浙江卷改编)某几何体的三视图如图
5、所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是_解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积V (12)226.12答案：68.(2018济南市模拟)某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为2 ，高为 1 的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆则该几何体的体积为3_4解析：由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体其中 r1，高 h.3故几何体的体积 V 1 2 .13 3 33答案： 339已知长方体 ABCDA1B1C1D1内接于球 O，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， E 为 AA1的中点， OA平面 BDE，则球 O
6、 的表面积为_解析：取 BD 的中点为 O1，连接 OO1， OE， O1E， O1A.则四边形 OO1AE 为矩形，因为 OA平面 BDE，所以 OA EO1，即四边形 OO1AE 为正方形，则球 O 的半径 R OA2，所以球 O 的表面积 S42 216.答案：1610(2018郑州调研)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与 个球组成的组合体，其体积为181 23 13 .12 18 43 53答案：5311(2018烟台质检)已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 的正三角形
7、， PA， PB， PC 两两垂直，则球 O 的表面积是_2解析：设球 O 的半径为 R，且 2R .PA2 PB2 PC25因为 ABC 是边长为 2 的正三角形， PA、 PB、 PC 两两垂直所以 PA PB PC 1，则 2R ，22 3所以球的表面积 S 球 4 R23.答案：3三、解答题12(2018佛山质检)如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面ABCD， PA PB， AD BC， AB AC， AD BC1， PD3， BAD120， M 为 PC 的中点12(1)证明： DM平面 PAB；(2)求四面体 MABD 的体积(1)证明：取 PB 中点 N，连接 MN、
8、AN.因为 M 为 PC 的中点，所以 MN BC 且 MN BC，12又 AD BC，且 AD BC，得 MN 綊 AD，12所以 ADMN 为平行四边形，所以 DM AN.又 AN平面 PAB， DM平面 PAB，所以 DM平面 PAB.(2)解：取 AB 中点 O，连接 PO， PO AB.又因为平面 PAB平面 ABCD，则 PO平面 ABCD，取 BC 中点 H，连结 AH，因为 AB AC，所以 AH BC，又因为 AD BC， BAD120，所以 ABC60，Rt ABH 中， BH BC1， AB2，所以 AO1，又 AD1，12 AOD 中，由余弦定理知， OD ，3Rt POD 中， PO ，PD2 OD2 6所以 VMABD S ABD PO .13 12 24
