1、1第一部分 专题二 第三讲 导数的简单应用A 组1曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处的切线方程为( A )A y3 x1 B y3 x1C y3 x1 D y2 x1解析 k y| x0 (e x xex2)| x0 3，切线方程为 y3 x1，故选 A2(文)如图，函数 y f(x)的图象在点 P 处的切线方程为x y20，则 f(1) f (1)( D )A1 B2C3 D4解析 由条件知(1， f(1)在直线 x y20 上，且 f (1)1， f(1) f (1)314.(理)(2017烟台质检)在等比数列 an中，首项 a1 ， a4 (12 x)dx，则该数列的23 41前
2、 5 项和 S5为( C )A18 B3 C D2423 2425解析 a4 (12 x)dx( x x2)| 18，41 41因为数列 an是等比数列，故 18 q3，解得 q3，23所以 S5 .故选 C.23 1 351 3 24233已知常数 a、 b、 c 都是实数， f(x) ax3 bx2 cx34 的导函数为 f ( x)， f ( x)0 的解集为 x|2 x3，若 f(x)的极小值等于115，则 a 的值是( C )A B 8122 13C2 D5解析 依题意得 f ( x)3 ax22 bx c0 的解集是2,3，于是有23a0，23 ，23 ，2b3a c3a b ，
3、c18 a，函数 f(x)在 x3 处取得极小值，于是有 f(3)3a227 a9 b3 c34115， a81， a2，故选 C.8124若函数 f(x)log a(x3 ax)(a0， a1)在区间( ，0)内单调递增，则 a 的取值12范围是( B )A ，1) B ，1) 14 34C( ，) D(1， )94 94解析 由 x3 ax0 得 x(x2 a)0.则有Error! 或Error!所以 x 或 0.13解析 y x2 a，若 y x3 ax 有三个单调区间，则方程 x2 a0 应有两13个不等实根，故 a0.(理)(2018临沂模拟)如图，已知 A(0， )，点 P(x0，
4、 y0)(x00)在曲线 y x2上，若14阴影部分面积与 OAP 面积相等，则 x0 .64解析 因为点 P(x0， y0)(x00)在曲线 y x2上，所以 y0 x ，20则 OAP 的面积 S |OA|x0| x0 x0，12 12 14 18阴影部分的面积为 x00x2dx x3|x00 x ，13 1330因为阴影部分面积与 OAP 的面积相等，所以 x x0，1330 18即 x .2038所以 x0 .38 648已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1)(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时， f(x)0，求实数
5、 a 的取值范围解析 (1) f(x)的定义域为(0，)当 a4 时， f(x)( x1)ln x4( x1)，f ( x)ln x 3， f (1)2，1xf(1)0.曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20.4(2)当 x(1，)时， f(x)0 等价于ln x 0.a x 1x 1设 g(x)ln x ，a x 1x 1则 g( x) ， g(1)0.1x 2a x 1 2 x2 2 1 a x 1x x 1 2当 a2， x(1，)时，x22(1 a)x1 x22 x10，故 g( x)0，g(x)在(1，)内单调递增，因此 g(x)g(1)0；当 a2 时，令
6、 g( x)0，得x1 a1 ， x2 a1 . a 1 2 1 a 1 2 1由 x21 和 x1x21，得 x10， r0)ax x r 2(1)求 f(x)的定义域，并讨论 f(x)的单调性；(2)若 400，求 f(x)在(0，)内的极值ar解析 (1)由题意知 x r，所以定义域为(， r)( r，)，f(x) ，ax x r 2 axx2 2rx r2f ( x)a x2 2rx r2 ax 2x 2r x2 2rx r2 2 ，a r x x r x r 4所以当 xr 时， f ( x)0.因此， f(x)的单调递减区间是(， r)，( r，)；f(x)的单调递增区间是( r，
7、 r)(2)由(1)可知 f(x)在(0， r)上单调递增，在( r，)上单调递减，因此， x r 是f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r) 100.ar 2r 2 a4r(理)设函数 f(x) xea x bx，曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 y(e1)5x4.(1)求 a， b 的值；(2)求 f(x)的单调区间解析 (1)因为 f(x) xea x bx，所以 f ( x)(1 x)ea x b.依题设，得Error!即Error!解得 a2， be.(2)由(1)，知 f(x) xe2 xe x.由 f ( x)e 2 x(1 xe x
8、1 )及 e2 x0 知，f ( x)与 1 xe x1 同号令 g(x)1 xe x1 ，则 g( x)1e x1 .所以当 x(，1)时， g( x)0，g(x)在区间(1，)内单调递增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)内的最小值B 组1(2017郑州市质检)已知函数 f(x)的导函数为 f ( x)，且满足 f(x)2 xf (e)ln x，则 f (e)( C )A1 B1 Ce 1 De解析 依题意得， f ( x)2 f (e) ，取 xe 得 f (e)2 f (e) ，由1x 1e此解得 f (e) e 1 ，故选 C.1e2已知函数 f(x) ax3 bx23 x 在
9、x1 处取得极值，若过点 A(0,16)作曲线y f(x)的切线，则切线方程是( B )A9 x y160 B9 x y160C x9 y160 D x9 y160解析 f ( x)3 ax22 bx3，依题意 f (1) f (1)0，即Error!解得 a1， b0.所以 f(x) x33 x，6因为曲线方程为 y x33 x，点 A(0,16)不在曲线上，设切点为( x0， y0)，则点 M 的坐标满足 y0 x 3 x，30因此 f ( x0)3( x 1)20故切线的方程为 y y03( x 1)( x x0)20注意到点 A(0,16)在切线上，有 16( x 3 x0)3( x
10、1)(0 x0)，30 20化简得 x 8.30解得 x02.所以，切点为 M(2，2)，切线方程为 9x y160.3(文)函数 f(x)3 x2ln x2 x 的极值点的个数是( A )A0 B1C2 D无数个解析 函数定义域为(0，)，且 f ( x)6 x 2 ，1x 6x2 2x 1x由于 x0， g(x)6 x22 x1 中 200 恒成立，故 f ( x)0 恒成立，即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点(理)物体 A 以 v3 t21(m/s)的速度在一直线 l 上运动，物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向
11、运动，出发后物体 A 追上物体B 所用的时间 t(s)为( C )A3 B4 C5 D6解析 因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为 (3t21)d t，物体 B 在 t 秒内行驶的路程t0为 10tdt，所以 (3t2110 t)dt( t3 t5 t2)| t3 t5 t25，所以( t5)( t21)t0t0 t00，即 t5.4(文)(2018湖南衡阳三次联考)已知 x1 是函数 f(x) ax3 bxln x(a0， bR)的一个极值点，则 lna 与 b1 的大小关系是( B )Aln ab1 Bln a0)，则 g( a) 3 ，1a 1 3aa g(a)在(0， )上递增，在(
12、 ，)上递减，13 13故 g(a)max g( )1ln3f(x3)成立的 x 的取值范围是( D )A(1,3) B(，3)(3，)C(3,3) D(，1)(3，)解析 函数 f(x)ln(e xe x) x2， f( x) 2 x，ex e xex e x当 x0 时， f( x)0， f(x)单调递增，当 xf(x3)等价于|2 x|x3|，整理，得 x22 x30，解得 x3 或 xf(x3)成立的 x 的取值范围是(，1)(3，)，故选 D5设 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 g(x)0，当 xf(x)g( x)，且 f(3)0，则不等式 0，当 x0
13、，f xg x f x g x f x g xg2 x令 h(x) .f xg x则 h(x)在(，0)上单调递增，8因为 h( x) h(x)，f xg x f xg x所以 h(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数 h(x)在(0，)上单调递增，因为 f(3) f(3)0，所以 h(3) h(3)0，h(x)1，则 a 的取值范围为 a0 时，讨论 f(x)的单调性解析 (1)当 a0 时， f(x) 2ln xf ( x) (x0)1x 1x2 2x 1 2xx2由 f ( x) 0，1 2xx2解得 0 .12 f(x)在(0， )内是增函数，在( ，)内是减函数12 12 f(x)
14、的极大值为 f( )2ln 22，无极小值12(2)f(x)2 ax (2 a)ln x1xf ( x)2 a (2 a) 1x2 1x 2ax2 2 a x 1x2 . ax 1 2x 1x2当 02 时， f(x)在(0， )和( ，)内是增函数，在( ， )内是减函数1a 12 1a 12(理)已知函数 f(x) ax2ln x，其中 aR.12(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在(0,1上的最大值是1，求 a 的值解析 (1) f ( x) ， x(0，)ax2 1x当 a0 时， f ( x)0，从而函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，令 f ( x)0，
15、解得 x ，舍去 x . 1a 1a此时， f(x)与 f ( x)的情况如下：x (0， )1a 1a( ，) 1af ( x) 0 f(x) f( )1a所以， f(x)的单调递增区间是(0， )； 1a单调递减区间是( ，) 1a10(2)当 a0 时，由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1) .a2令 1，得 a2，这与 a0 矛盾，舍去 a2.a2当1 a0 时， 1，由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1) . 1a a2令 1，得 a2，这与1 a0 矛盾，a2舍去 a2.当 a1 时，0 1，由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f( ) 1a 1a令 f( )1，解得 ae，满足 a1. 1a综上，当 f(x)在(0,1上的最大值是1 时， ae.
