1、1第一部分 专题五 第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积A 组1如图 1 所示，是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 DD11， AB BC AA12，若此几何体的俯视图如图 2 所示，则可以作为其正视图的是( C )解析 由直观图和俯视图知，正视图中点 D1的射影是 B1，所以正视图是选项 C 中的图形，A 中少了虚线，故不正确2如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )A20 B24 C28 D32解析 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径 r2，底面圆的周长 c2 r4，圆锥的母线长 l 4，圆柱的
2、高 h4，所以该22 23 2几何体的表面积 S 表 r2 ch cl416828，故选 C123(文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )2A12 B122 C6 D4解析 由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为 4,3,1，圆柱底半径 1，高为 1，体积V4311 2112.(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于( B )A10 cm 3 B20 cm 3C30 cm 3 D40 cm 3解析 由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱 ABC A1B1C1沿平面 AB1C1截去一个三棱锥 A A1B
3、1C1余下的部分 VA BCC1B1 VABC A1B1C1 VA A1B1C1 435 ( 43)520cm 3.12 13 124某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B )A182 B203C20 D16 2解析 由三视图可知，这个几何体是一个边长为 2 的正方体割去了相对边对应的两个半径为 1、高为 1 的 圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个 圆柱的侧面14 14积的和，即该几何体的表面积 S452211 20.14故选 B5(2018双鸭山一模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( A )A B163 83C4
4、 D2 3 3解析 由已知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体有一个侧面 PAC 垂直于底面，高为 ，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如3图则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上，且是等边三角形 PAC 的中心，这个几何体的外接球的半径 R PD .23 233则这个几何体的外接球的表面积为 S4 R24( )2 .233 1636如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1 EDF 的体积为 .164解析 利用三棱锥的体积公式直接求解VD1 EDF VF DD1E SD1DE
5、AB 111 .13 13 12 167已知 E， F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 与 AD 的中点，且 BC2 AB2，现沿 EF 将平面ABEF 折起，使平面 ABEF平面 EFDC，则三棱锥 A FEC 外接球的体积为 .32解析 如图，平面 ABEF平面 EFDC， AF EF，所以 AF平面 ECDF，将三棱锥 A FEC 补成正方体 ABC D FECD依题意，其棱长为 1，外接球的半径 R ，32所以外接球的体积 V R3 ( )3 .43 43 32 328(文)如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， CA CB， AB AA1， BAA160.(1)证明： AB A1C
6、；(2)若 AB CB2， A1C ，求三棱柱 ABC A1B1C1的体积6解析 (1)取 AB 的中点 O，连接 OC， OA1， A1B因为 CA CB，所以 OC AB由于 AB AA1， BAA160，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1 AB因为 OC OA1 O，所以 AB平面 OA1C又 A1C平面 OA1C，故 AB A1C5(2)由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 OC OA1 .3又 A1C ，则 A1C2 OC2 OA ，故 OA1 OC6 21因为 OC AB O，所以 OA1平面 ABC， OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高又
7、 ABC 的面积 S ABC .故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABCOA13.3(理)如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BCAD， BAD ABC90.12(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD 的面积为 2 ，求四棱锥 P ABCD 的7 体积解析 (1)证明：在平面 ABCD 内，因为 BAD ABC90，所以 BC AD又 BC平面 PAD， AD平面 PAD，故 BC平面 PAD(2)如图，取 AD 的中点 M，连接 PM， CM.由 AB BC AD 及 BC AD， ABC90得四边形 ABCM
8、为正方12形，则 CM AD因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以 PM AD， PM底面 ABCD因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM.设 BC x，则 CM x， CD x， PM x， PC PD2 x.2 3如图，取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN CD，所以 PN x.142因为 PCD 的面积为 2 ，7所以 x x2 ，12 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2.于是 AB BC2， AD4， PM2 .36所以四棱锥 P ABCD 的体积 V 2 4 .13 2 2 42 3 3B 组1(文)某三棱锥的三视
9、图如图所示，则该三棱锥的体积为( D )A60 B30 C20 D10解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 P ACD，过点 P 作 PB平面ACD 于点 B，连接 BA， BD， BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形，AD5， CD3， PB4，所以 V 三棱锥 P ACD 35410.13 12故选 D(理)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( B )A3 B2 2 3C2 D22解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知 SD 为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为 2，7故 SD 2 .22 22 22 3故选 B2(2018宜宾一模)三棱锥 A BCD
10、内接于半径为 2 的球 O， BC 过球心 O，当三棱锥A BCD 体积取得最大值时，三棱锥 A BCD 的表面积为( D )A64 B823 3C46 D843 3解析 由题意， BC 为直径， BCD 的最大面积为 424，12三棱锥 A BCD 体积最大时， AO平面 BCD，三棱锥的高为 2，所以三棱锥 A BCD 的表面积为 422 2 84 .12 2 6 33三棱锥 P ABC 中， PA平面 ABC 且 PA2， ABC 是边长为 的等边三角形，则该3三棱锥外接球的表面积为( C )A B4 43C8 D20解析 由题意得，此三棱锥外接球即为以 ABC 为底面、以 PA 为高的
11、正三棱柱的外接球，因为 ABC 的外接圆半径 r 1，外接球球心到 ABC 的外接圆圆心的距32 3 23离 d1，所以外接球的半径 R ，所以三棱锥外接球的表面积r2 d2 2S4 R28，故选 C4某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为( B )A2 B2 2 3C4 D2 6解析 如图，四面体的直观图是棱长为 2 的正方体 ABCD MNPQ 中的三棱锥Q BCN，且 QB 2 ， NC QN QC2 ，四面体 Q BCN 各面的面积分别22 22 2 3 2为 S QBN S QBC 22
12、 2 ， S BCN 222， S QCN (2 )22 ，12 2 2 12 34 2 38面积最大为 2 .35三棱锥 S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB 的长为( B )A2 B4 11 2C D1638 3解析 由已知中的三视图可得 SC平面 ABC，且底面 ABC 为等腰三角形，在 ABC 中 AC4， AC 边上的高为 2 ，3故 BC4，在 Rt SBC 中，由 SC4，可得 SB4 .26设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面积相等且 ，则 的值是 .V1V2 32 S1S2 94解析 设甲、乙两个圆柱的底
13、面半径分别为 r1， r2，高分别为 h1， h2，则有2 r1h12 r2h2，即 r1h1 r2h2，又 ， ， ，则 ( )2 .V1V2 r21h1 r2h2 V1V2 r1r2 r1r2 32 S1S2 r1r2 947已知在直角梯形 ABCD 中， AB AD， CD AD， AB2 AD2 CD2，将直角梯形 ABCD沿 AC 折叠成三棱锥 D ABC，当三棱锥 D ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为 .43解析 当平面 DAC平面 ABC 时，三棱锥 D ABC 的体积取最大值此时易知 BC平面 DAC， BC AD，又 AD DC， AD平面 BCD， AD BD，取
14、 AB 的中点 O，易得OA OB OC OD1，故 O 为所求外接球的球心，故半径 r1，体积 V r3 .43 438(文)如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面 ABCD(1)证明：平面 AEC平面 BED；9(2)若 ABC120， AE EC，三棱锥 E_ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积63解析 (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD因为 BE平面 ABCD，所以 AC BE.故 AC平面 BED 又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED(2)设 AB x，在菱形 ABCD 中，由 ABC120，可得 AG G
15、C x，32GB GD .x2因为 AE EC，所以在 Rt AEC 中，可得 EG x.32由 BE平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形，可得 BE x.22由已知得，三棱锥 EACD 的体积VEACD ACGDBE x3 .13 12 624 63故 x2.从而可得 AE EC ED .6所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .5故三棱锥 EACD 的侧面积为 32 .5(理)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD， BF3， G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中
16、点(1)求证： AC平面 BDEF；(2)求证：平面 BDGH/平面 AEF；10(3)求多面体 ABCDEF 的体积解析 (1)证明：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AC BD又因为平面 BDEF平面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCD BD，且 AC平面 ABCD，所以 AC平面 BDEF.(2)证明：在 CEF 中，因为 G、 H 分别是 CE、 CF 的中点，所以 GH EF，又因为 GH平面 AEF， EF平面 AEF，所以 GH平面 AEF.设 AC BD O，连接 OH，在 ACF 中，因为 OA OC， CH HF，所以 OH AF，又因为 OH平面 AEF， AF平面 AEF，所以 OH平面 AEF.又因为 OH GH H， OH， GH平面 BDGH，所以平面 BDGH平面 AEF.(3)解：由(1)，得 AC平面 BDEF，又因为 AO ，四边形 BDEF 的面积 SBDEF32 6 ，2 2 2所以四棱锥 A BDEF 的体积 V1 AOSBDEF4.13同理，四棱锥 C BDEF 的体积 V24.所以多面体 ABCDEF 的体积 V V1 V28.
