1、1第 3 讲 空间角考情考向分析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具热点一 异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形(2)向量法：设直线 l， m 的方向向量分别为 a( a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)设 l， m 的夹角为 ，则 cos .(0 2) |ab|a|b| |a1a2 b1b2 c1c2|a21 b21 c21 a2 b2 c2例 1 (1)(2018全国)在长方体 ABCD A1B1C1D1中，
2、AB BC1， AA1 ，则异面直线3AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.15 56 55 22答案 C解析 方法一 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A B BA A1 B1 B1A1.连接 B1B，由长方体性质可知， B1B AD1，所以 DB1B为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角连接 DB，由题意，得DB ， B B1 2， DB1 .12 1 12 5 12 32 12 12 32 52在 DB B1中，由余弦定理，得DB 2 B B DB 2 B B1DB1cos DB1B，21 21即 54522 cos DB1B
3、，cos DB1B .555故选 C.方法二 如图，以点 D 为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz.由题意，得 A(1,0,0)， D(0,0,0)，D1(0,0， )， B1(1,1， )，3 3 (1,0， )，AD1 3(1,1， )，DB1 3 1101( )22，AD1 DB1 3| |2，| | ，AD1 DB1 5cos ， .AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 225 55故选 C.(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知异面直线 a， b 所成的角为 50，过空间一定点 P 最多可作 n 条
4、直线与直线 a， b 均成 角，则下列判断不正确的是( )A当 65时， n3 B当 n1 时， 只能为 25C当 30时， n2 D当 75时， n4答案 B解析 将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线 a， b 平移到同一平面 内，使得点 P 为平移后的直线 a， b的交点，则当 0 B D | |，BP PC BP PC BC 所以 cos ，故选 A.(0， 2)热点二 直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形(2)向量法：设直线 l 的方向向量为 a( a1， b1， c1)，平面 的法向量为 ( a2， b2，
5、c2)，设直线 l 与平面 的夹角为 ，则 sin |cos a， |.(0 2) |a |a| |例 2 (2018浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面 DAE平面 ABCD，四边形 ABCD 为等腰梯形，四边形 DCFE 为菱形已知 AB CD， ABC60， CD AB1.12(1)线段 AC 上是否存在一点 N，使得 AE平面 FDN？证明你的结论；(2)若线段 FC 在平面 ABCD 上的投影长度为 ，求直线 AC 与平面 ADF 所成角的正弦值12解 (1)在线段 AC 上存在点 N，使得 AE平面 FDN，且 N 是 AC 的中点如图，取 AC 的中点 N，连接 NF
6、， DN，连接 EC 交 DF 于点 O，连接 ON.四边形 CDEF 为菱形， O 为 EC 的中点在 ACE 中，由中位线定理可得 ON AE. ON平面 FDN， AE平面 FDN， AE平面 FDN，在线段 AC 上存在点 N，使得 AE平面 FDN，且 N 是 AC 的中点(2)方法一 DE CF， DE 在平面 ABCD 上的投影长度为 ，12过点 E 作 EO AD 于点 O，平面 DAE平面 ABCD，且平面 DAE平面 ABCD AD， EO平面 DAE， EO平面 ABCD，则 OD ，12在等腰梯形 ABCD 中，由已知易得 AD BC1，点 O 为线段 AD 的中点5设
7、点 C 到平面 FDA 的距离为 h， VC FDA VF ADC， hS FDA EOS ADC，易知 S ADC ， EO ，34 32取 AB 的中点 M，连接 CM，取 CM 的中点 P，连接 AP， DP， FP， OP. O， P 分别为 AD， MC 的中点， AM DC EF，且 AM DC EF， OP EF 且 OP EF，四边形 OPFE 为平行四边形， OE FP， OE FP， FP平面 ABCD.易求得 AP ， DP FP ，72 32 AF ， DF ，102 62 DF2 AD2 AF2， ADF 为直角三角形， S FDA . h .64 EOS ADCS
8、FDA32 3464 64设直线 AC 与平面 FDA 所成的角为 ，在 ADC 中，易得 AC ，则 sin .3hAC 24方法二 DE CF， DE 在平面 ABCD 上的投影长度为 ，12过点 E 作 EO AD 于点 O，平面 DAE平面 ABCD，且平面 DAE平面 ABCD AD， EO平面 DAE. EO平面 ABCD，则 OD ，12在等腰梯形 ABCD 中，由已知易得 AD BC1.点 O 为线段 AD 的中点以 O 为原点， OE 所在直线为 z 轴，过 O 且平行于 DC 的直线为 y 轴，过 O 且垂直于 yOz 平面的直线为 x 轴建立空间直角坐标系，易得 x 轴在
9、平面 ABCD 内6可得 A ， C ， D ， E ，(34， 14， 0) ( 34， 54， 0) ( 34， 14， 0) (0， 0， 32) ， ，AC ( 32， 32， 0) DA (32， 12， 0) (0,1,0) .DF DE EF DE DC (34， 14， 32) (34， 34， 32)设平面 ADF 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 得Error!令 x1，得平面 ADF 的一个法向量为n(1， ，2)3若直线 AC 与平面 ADF 所成的角为 ，则 sin |cos n， | .AC 3223 24思维升华 (1)运用几何法求直线与平面所成
10、的角一般是按找证求的步骤进行(2)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意所求角和两向量夹角间的关系跟踪演练 2 (2018杭州质检)如图，在等腰三角形 ABC 中， AB AC， A120， M 为线段 BC 的中点， D 为线段 BC 上一点，且 BD BA，沿直线 AD 将 ADC 翻折至 ADC，使AC BD.(1)证明：平面 AMC平面 ABD；(2)求直线 C D 与平面 ABD 所成的角的正弦值(1)证明 因为 ABC 为等腰三角形， M 为 BC 的中点，所以 AM BD，又因为 AC BD， AM AC A， AM， AC平面 AMC，所
11、以 BD平面 AMC，因为 BD平面 ABD，所以平面 AMC平面 ABD.7(2)解 在平面 AC M 中，过 C作 C F AM 交直线 AM 于点 F，连接 FD.由(1)知，平面 AMC平面 ABD，又平面 AMC平面 ABD AM， C F平面 AMC，所以 C F平面 ABD.所以 C DF 为直线 C D 与平面 ABD 所成的角设 AM1，则 AB AC AC2， BC2 ，3MD2 ， DC DC2 2， AD .3 3 6 2在 Rt C MD 中，MC 2 DC 2 MD2(2 2) 2(2 )294 .3 3 3设 AF x，在 Rt C FA 和 Rt C FM 中，
12、 AC 2 AF2 MC 2 MF2，即4 x294 ( x1) 2，3解得 x2 2，即 AF2 2.3 3所以 C F2 .23 3故直线 C D 与平面 ABD 所成的角的正弦值等于 .C FDC 23 33 1热点三 二面角二面角有两种求法：几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算向量法：利用两平面的法向量设平面 ， 的法向量分别为 ( a3， b3， c3)，v( a4， b4， c4)，设二面角 a 的平面角为 (0 )，则|cos | |cos ， v|.| v| |v|例 3 如图，在矩形 ABCD 中， AB2， AD4，点 E 在线段 AD 上且 AE3，现分别沿 BE
13、， CE所在的直线将 ABE， DCE 翻折，使得点 D 落在线段 AE 上，则此时二面角 D EC B 的余弦值为( )A. B. C. D.45 56 67 78答案 D解析 如图 1 所示，连接 BD，设其与 CE 的交点为 H，由题意易知 BD CE.翻折后如图 2 所8示，连接 BD，图 1 图 2则在图 2 中， BHD 即为二面角 D EC B 的平面角，易求得 BD2 ， DH ， BH ，2255 855所以 cos DHB ，BH2 DH2 BD22BHDH 78故选 D.思维升华 (1)构造二面角的平面角的方法(几何法)：根据定义；利用二面角的棱的垂面；利用两同底等腰三角
14、形底边上的两条中线等(2)向量法：根据两平面的法向量跟踪演练 3 (2018绍兴质检)已知四面体 SABC 中，二面角B SA C， A SB C， A SC B 的平面角的大小分别为 ， ， ，则( )A. ORsin ORP a， OF 2，综上所述， 1 2，又由最小角定理得 3 2，故选 D.3如图，正四棱锥 P ABCD.记异面直线 PA 与 CD 所成的角为 ，直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 ，二面角 P BC A 的平面角为 ，则( )A PAO.又 OE BC， PO BC， OE 与 PO 相交于点 O， BC平面 POE， PE BC，因此 PEO 为二面角 P BC A 的平面角 OEtan PAO， PEO PAO.又 PAB PBE，cos PBE ，cos PEO ，BEPB OEPE OE BE， PE PEO，又 PBE PAB ， 0，得 0x ，12所以函数 f(x)在 上单调递增；(0，12)27令 f( x)0，得 x1，12所以函数 f(x)在 上单调递减，(12， 1)所以 f(x)max f ，(12) 112所以 sin 的最大值为 .463 112 223
