1、8.4 直线、平面平行的判定与性质,-2-,知识梳理,考点自测,1.直线与平面平行的判定与性质,a=,a,b,ab,a,a,a ,=b,a=,ab,-3-,知识梳理,考点自测,2.面面平行的判定与性质,=,a,b,ab=P, a,b,=a, =b,-4-,知识梳理,考点自测,1.平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 2.判断两个平面平行的三个结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行. (2)平行于同一平面的两个平面平行. (3)如果一
2、个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( ) (3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.( ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( ),答案,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答
3、案,解析,2.设m,l表示直线,表示平面,若m,则l是lm的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知直线l平面,P,则过点P且平行于直线l的直线( ) A.只有一条,不在平面内 B.只有一条,且在平面内 C.有无数条,不一定在平面内 D.有无数条,一定在平面内,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.下列命题错误的是( ) A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.若两个平面平行,则位于这两个平面内
4、的直线也互相平行 D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP= ,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1在如图所示的多面体中,DE平面ABCD,AFDE,ADBC,AB=CD,ABC=60,BC=2AD=4DE=4.(1)在AC上求作点P,使PE平面ABF,请写出作法并说明理由; (2)求三棱锥A-C
5、DE的高.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,解: (1)取BC的中点G,连接DG,交AC于P,连接PE,此时P为所求作的点,如图所示. 下面给出证明: BC=2AD,BG=AD,又BCAD, 四边形BGDA为平行四边形, DGAB,即DPAB, 又AB平面ABF,DP平面ABF, DP平面ABF, AFDE,AF平面ABF,DE平面ABF,DE平面ABF, 又DP平面PDE,DE平面PDE,PDDE=D, 平面ABF平面PDE, 又PE平面PDE, PE平面ABF.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明线面平行的常用方法有
6、哪些? 解题心得1.判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba); (3)利用面面平行的性质(,aa). 2.证明线面平行往往先证明线线平行,证明线线平行的途径有:利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点,SA=SB=2,AB=2 ,BC=3. (1)证明:SC平面BDE; (2)若BCSB,求三棱锥C-BDE的体积.,-15-,考点1,考点
7、2,考点3,考点4,(1)证明: 连接AC,设ACBD=O,连接DE, 四边形ABCD为矩形, O为AC的中点, 在ASC中,E为AS的中点, SCOE, 又OE 平面BDE,SC 平面BDE, SC平面BDE.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解: 过点E作EHAB,垂足为H, BCAB,且BCSB,ABSB=B,BC平面SAB, EH 平面ABS,EHBC, 又EHAB,ABBC=B,EH平面ABCD, 在SAB中,取AB中点M,连接SM, SA=SB,SMAB,SM=1.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD底
8、面ABCD,ABCD,ADCD,E为PD上异于P,D的一点.(1)设平面ABE与PC交于点F,求证:EFCD;,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: ABCD,AB平面PDC, 又平面ABE平面PDC=EF, ABEF,EFCD.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考空间中证明两条直线平行的常用方法有哪些? 解题心得空间中证明两条直线平行的常用方法: (1)利用线面平行的性质定理,即a,a,=bab. (2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行. (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2如图,在
9、多面体ABCDEF中,DE平面ABCD,ADBC,平面BCEF平面ADEF=EF,BAD=60,AB=2,DE=EF=1. (1)求证:BCEF; (2)求三棱锥B-DEF的体积.,(1)证明: ADBC,AD 平面ADEF,BC 平面ADEF,BC平面ADEF. 又BC平面BCEF,平面BCEF平面ADEF=EF,BCEF.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解: 过点B作BHAD于点H. DE平面ABCD,BH平面ABCD,DEBH. AD平面ADEF,DE平面ADEF,ADDE=D, BH平面ADEF. BH是三棱锥B-DEF的高. 在RtABH中,BAD=60,AB=2,
10、故BH= . DE平面ABCD,AD平面ABCD,DEAD. 由(1)知BCEF,且ADBC, ADEF,DEEF.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1平面BCHG.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,证明: (1)G,H分别是A1B1,A1C1的中点, GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1. 又B1C1BC,GHBC, B,C,H,G四点共面. (2)E,F分别是AB,AC的中点, EFBC. EF平面BCHG,
11、BC平面BCHG, EF平面BCHG. A1GEB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB. A1E平面BCHG,GB平面BCHG, A1E平面BCHG. A1EEF=E, 平面EFA1平面BCHG.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明面面平行的方法有哪些? 解题心得判定面面平行的方法 (1)利用定义:即证两个平面没有公共点(不常用). (2)利用面面平行的判定定理(主要方法). (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用). (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,
12、对点训练3如图所示的几何体ABCEFD中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC. (1)求几何体ABCEFD的体积; (2)证明:平面ADE平面BCF.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)解: 取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG. AOBC,AO 平面ABC,平面BCED平面ABC, AO平面BCED. 同理FG平面BCED.(2)证明: 由(1)知AOFG,AO=FG, 四边形AOFG为平行四边形, AGOF. 又DEBC,DEAG=G,DE 平面ADE,AG 平面ADE,FOBC=O,
13、FO 平面BCF,BC 平面BCF, 平面ADE平面BCF.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形. (1)证明:平面AB1C平面DA1C1; (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,确定点P的位置;若不存在,请说明理由.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: 由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知,AB1DC1, AB1 平面DA1C1,DC1 平面DA1C1,AB1平面DA1C1, 同理可证B1C平面DA1C1, 又AB1B1C=B1, 平面AB1C平面DA1C1.,-29-
14、,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解: 存在这样的点P,使BP平面DA1C1. A1B1ABDC, 四边形A1B1CD为平行四边形. A1DB1C. 在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP, B1BC1C,B1BCP, 四边形BB1CP为平行四边形, 则BPB1C,BPA1D, BP平面DA1C1.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决存在性问题的一般思路是什么? 解题心得解决存在性问题一般先假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问
15、题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PAD=PAB,AC交BD于O,(1)求证:平面PAC平面PBD. (2)延长BC至G,使BC=CG,连接PG,DG.试在棱PA上确定一点E,使PG平面BDE,并求此时 的值.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)证明: PAD=PAB,AD=AB,AP=AP, PADPAB,PB=PD, O为BD中点,POBD, 底面ABCD为菱形,ACBD, ACPO=O,BD平面PAC, BD平面PBD, 平面PAC平面PBD.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解: 连接AG交BD于M,在PAG中,过点M作MEPG交PA于点E,连接ED和EB, PG平面BDE,ME平面BDE, PG平面BDE. ADBG,BG=2AD,ADMGBM,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.平行关系的转化方向如图所示:2.直线与平面平行的主要判定方法: (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法: (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a,a.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,
