1、8.6 空间向量及其运算,-2-,知识梳理,考点自测,1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有 和 的量叫做空间向量,其大小叫做向量的 或 . (2)相等向量:方向 且模 的向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线_ 或 ,则这些向量叫做 或 ,a平行于b记作ab. (4)共面向量:平行于同一 的向量叫做共面向量.,大小,方向,长度,模,相同,相等,平行,重合,共线向量,平行向量,平面,-3-,知识梳理,考点自测,2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab存在R,使a=b. (2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则
2、向量p与向量a,b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空间的一个基底. 3.两个向量的数量积 (1)ab=|a|b|cos. (2)ab (a,b为非零向量). (3)|a|2= .,ab=0,a2,-4-,知识梳理,考点自测,4.空间向量的坐标运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b= . a-b= . a= . ab= .,(a1+b1,a2+b2,a3+b3),(a1-b1,a2-b2,
3、a3-b3),(a1,a2,a3),a1b1+a2b2+a3b3,(x2-x1.y2-y1,z2-z1),-5-,知识梳理,考点自测,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)若A,B,C,D是空间任意四点,则有 (2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.( ) (3)空间中任意两非零向量a,b共面.( ) (4)对于空间非零向量a,b,abab=0.( ) (5)对于非零向量b,由ab=bc,得a=c.( ),答案,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.若x,yR,有下列命题: 若p=xa+yb,则p与a,b共
4、面; 若p与a,b共面,则p=xa+yb;其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值可以是( )C.-3,2 D.2,2,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.若向量a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为( ),答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.如图,在一个60的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=
5、4,AC=6,BD=8,则CD的长为 .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么区别与联系? 解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量. 2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.,-
6、15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是ABC的重心,用基向量,答案,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD平面EFGH.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考共线定理、共面定理有哪些应用?,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足(2)直线MN是否
7、与平面ABB1A1平行?,答案,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|= ,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考空间向量用空间直角坐标系的坐标表示的主要用途有哪些? 解题心得空间向量的坐标表示主要应用于向量平行、向量垂直、向量的模、向量的夹角,在研究几何问题中只要建立适当的坐标系,把空间几何体中涉及的直线和平面用向量表示,就可以使得几何证明通过代数运算得到解决,这是使用空间向量研究立体几何问题的基本思想.,-22-,考
8、点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(2017广东中山模拟)已知向量a,b满足条件: |a|=2,|b|= ,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为 .,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60. (1)求AC1的长; (2)求证:AC1BD; (3)求BD1与AC夹角的余弦值.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考空间向量的数量积主要有哪些应用? 解题心得空间向量数量积的应用
9、(1)求夹角.设向量a,b所成的角为,则 ,进而可求两异面直线所成的角. (2)求长度(距离).运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题. (3)解决垂直问题.利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=1. (1)若BC=3,求异面直线PC与BD所成角的余弦值; (2)若BC=2,求证:平面BPC平面PCD.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,
10、考点2,考点3,考点4,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立,(ab)c=a(bc)不一定成立.3.求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.,
