1、8.7 空间几何中的向量方法,-2-,知识梳理,考点自测,1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的非零向量e以及与 的非零向量叫做直线l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面,那么称向量n垂直于平面,记作 .此时把 叫做平面的法向量.,e共线,垂直于,n,向量n,-3-,知识梳理,考点自测,2.线面关系的判定 设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2). (1)若l1l2,则e1e2 . (2)若 l1l2,则e1e2 .
2、(3)若l1,则e1n1e1n1=0 . (4)若l1,则e1n1e1=kn1 . (5)若,则n1n2n1=kn2 . (6)若,则n1n2n1n2=0 .,e2=e1,a2=a1,b2=b1,c2=c1,e1e2=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,a1x1+b1y1+c1z1=0,a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1,x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2,x1x2+y1y2+z1z2=0,-4-,知识梳理,考点自测,3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 范围:两条异面直线所成的角的取值范围是 . 向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为,
3、a与b的夹角为,则有cos = . (2)直线与平面所成的角 范围:直线与平面所成的角的取值范围是 . 向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线l与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin = 或cos =sin .,|cos |,|cos |,-5-,知识梳理,考点自测,(3)二面角 范围:二面角的取值范围是 . 向量求法: 若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 的夹角(如图). 设n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大
4、小就是二面角的平面角的大小.,0,-6-,知识梳理,考点自测,4.利用空间向量求距离 (1)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为 (2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.,-7-,知识梳理,考点自测,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.( ) (4)若空间向量a垂直于平面,则a所在直线与平面垂直.( ) (5)两条直线的方向向量的夹
5、角就是这两条直线所成的角.( ),答案,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l B.l C.l D.l与斜交,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内,答案,解析,-11-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.在正三棱柱AB
6、C-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( ),答案,解析,-12-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.已知P是二面角-AB-棱上的一点,分别在平面,上引射线PM,PN,如果BPM=BPN=45,MPN=60,那么二面角-AB-的大小为 .,答案,解析,-13-,考点1,考点2,考点3,例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30.求证:(1)CM平面PAD; (2)平面PAB平面PAD.,-14-,考点1,考
7、点2,考点3,证明: 以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角. PBC=30.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法? 解题心得1.用向量证明平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线. (2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线
8、线平行问题. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2017广东深圳模拟)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1; (2)平面MBC1平面BB1C1C.,-19-,考点1,考点2,考点3,证明: 由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直
9、角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). (1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1底面A1B1C1.,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1). 因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所以平面MBC
10、1平面BB1C1C.,-21-,考点1,考点2,考点3,例2如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1. (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,思考用向量法求解存在性问题的基本思路是什么? 解题心得用向量法求解存在性问题相对比较容易,其基本思路是假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据假设和已知条件进行计算求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或
11、线,否则不存在.本题是设出点P的坐标,借助向量运算,判定关于z0的方程是否有解.,-25-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2017吉林三模,理19)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA底面ABCD,PA=BC=1,AB=2,M为PC的中点.(1)在图中作出平面ADM与PB的交点N,并指出点N所在位置(不要求给出理由). (2)在线段CD上是否存在一点E,使得直线AE与平面ADM所成角的正弦值为 ,若存在,请说明点E的位置;若不存在,请说明理由.,-26-,考点1,考点2,考点3,解: (1)过点M作MNBC,交PB于点N,连接AN,如图,则点N为平面ADM与PB的交点, 由
12、M为PC的中点,得N为PB的中点. (2)因为四棱锥P-ABCD中,底面为矩形,PA底面ABCD, 以A为坐标原点,以直线AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,考向1 求异面直线所成的角 例3如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是 . 思考如何利用向量法求异面直线所成的角?,答案,解析,-29-,考点1,考点2,考点3,考向2 求直线与平面所成的角 例4如图,四棱锥P-ABCD中
13、,PA底面ABCD,ADBC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.思考如何利用向量法求直线与平面所成的角?,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,考向3 求二面角的大小 例5(2017河南新乡二模,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B1=60,AC=2 .(1)求证:AB1CC1; (2)若AB1=3 ,A1C1的中点为D1,求二面角C-AB1-D1的余弦值. 思考如何
14、利用向量法求二面角?,-33-,考点1,考点2,考点3,(1)证明: 连接AC1,则ACC1,B1C1C都是正三角形, 取CC1中点O,连接OA,OB1,则CC1OA,CC1OB1. OAOB1=O,CC1平面OAB1. AB1平面OAB1,CC1AB1.,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,解题心得(1)利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角的范围是 两向量的夹角的范围是0,所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |. (2)利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转
15、化为求两个方向向量的夹角(或其补角); 通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,-36-,考点1,考点2,考点3,(3)利用空间向量求二面角的方法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小; 通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.,-37-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1
16、C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )(2)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2,A1AD=60,BAD=90,平面A1ADD1平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为( ),-38-,考点1,考点2,考点3,(3)(2017河北邯郸一模,理18)如图,在五棱锥P-ABCDE中,ABE是等边三角形,四边形BCDE是直角梯形且DEB=CBE=90,G是CD的中点,点P在底面的射影落在线段AG上. 求证:平面PBE平面APG; 已知AB=2,BC= ,侧棱PA与底面ABCDE所成角为45, SPBE= ,点M在侧棱PC上,CM=2MP,
17、求二面角M-AB-D的余弦值.,-39-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)C (2)C 解析: (1)如图,以点C1为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,不妨设BC=CA=CC1=1,-40-,考点1,考点2,考点3,-41-,考点1,考点2,考点3,(3)证明: 取BE的中点F,连接AF,GF,由题意得A,F,G三点共线. 过点P作POAG于点O,则PO底面ABCDE. BE平面ABCDE,BEPO. ABE是等边三角形,BEAG. AGPO=O,BE平面PAG. BE平面PBE,平面PBE平面APG.又PAF=45,PFAF,PFAG,PF
18、底面ABCDE.点O与点F重合.,-42-,考点1,考点2,考点3,-43-,考点1,考点2,考点3,1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断.另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 3.利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面,的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.,-44-,考点1,考点2,考点3,1.不能灵活运用共线向量定理设出与动点M相关的向量的坐标,导致变量较多,运算量过大而致误; 2.线面角与直线方向向量和平面法向量的夹角之间的关系要弄清,即sin =|cos |; 3.对于点的探究型问题,要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量,尽量使未知量个数最少.,
