1、133 直线的方向向量读教材填要点1直线的方向向量一般地，如果向量 v0 与直线 l 平行，就称 v 为 l 的方向向量2直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直它们的方向向量垂直(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量 与AB 平行，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍： k (k 是CD CD AB 某个实数)(3)求两条异面直线 AB， CD 所成的角若两条异面直线 AB， CD 所成的角为 ， ， 所成的角为 1，则 cos AB CD |cos_ 1| .小问题大思维1直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示
2、：直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量2两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补求异面直线所成的角(2017全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC120，AB2， BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( )A. B.32 155C. D.105 332自主解答 以 B1为坐标原点， B1C1所在的直线为 x 轴，垂直于 B1C1的直线为 y 轴，BB1所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知 B1(0,0,0)，B(0,0,1)， C1(1,0,0)， A(1， ，1)，3则 (1
3、,0，1)， (1， ，1)BC1 AB1 3所以 cos ， .AB1 BC1 252 105所以异面直线 AB1与 BC1所成的角的余弦值为 .105答案 C利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与 0 的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角1.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， ABC .OA底面 ABCD， OA2， M 为 OA 的中点求异面直线 AB 与 4MD
4、所成角的大小解：作 AP CD 于点 P.如图，分别以 AB， AP， AO 所在直线为x， y， z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)， B(1,0,0)，D ， M(0,0,1)(22， 22， 0)设 AB 和 MD 所成角为 ，3 (1,0,0)，AB ，MD ( 22， 22， 1)cos .12 . 3异面直线 AB 与 MD 所成角的大小为 . 3证明线线垂直已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1， M 是底面上 BC 边的中点， N 是侧棱 CC1上的点，且 CN CC1.求证： AB1 MN.14自主解答 法一：(基向量法)设 a， b， c，则由已知条件和
5、正三棱柱的性质，AB AC AA1 得| a| b| c|1， ac bc0， a c， (a b)， b c，AB1 AM 12 AN 14 a b c，MN AN AM 12 12 14 ( a c)AB1 MN ( 12a 12b 14c) cos 60 0.12 12 14 . AB1 MN.AB1 MN 法二：(坐标法)设 AB 中点为 O，作 OO1 AA1.以 O 为坐标原点，以 OB， OC， OO1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A ， B ， C ，(12， 0， 0) (12， 0， 0) (0， 32， 0)4N ， B1
6、，(0，32， 14) (12， 0， 1) M 为 BC 中点， M .(14， 34， 0) ， (1,0,1)，MN ( 14， 34， 14) AB1 0 0.MN AB1 14 14 . AB1 MN.MN AB1 利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量2直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形， AB2， AD1， AA13， M 是 BC 的中点在 DD1上是否存在一点 N，使 MN DC1？
7、并说明理由解：如图所示，建立以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，则 C1(0,2,3)， M ， D(0,0,0)，设存在 N(0,0， h)，(12， 2， 0)则 ， (0,2,3)，MN ( 12， 2， h) DC1 (0,2,3)43 h，MN DC1 ( 12， 2， h)当 h 时， 0，43 MN DC1 此时 ，存在 N DD1，使 MN DC1.MN DC1 解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知空间四边形 OABC 各边都相等， E， F 分别为 AB， OC 的中点，求 O
8、E 与 BF 所成的角的余弦值巧思 求异面直线 OE 与 BF 所成的角，由于已知 OA， OB， OC 的长度及夹角，因此，可以用 ， ， 表示 与 ，然后利用向量的OA OB OC OE BF 夹角公式计算即可5妙解 设 a， b， c，OA OB OC 且 |a| |b| |c|1，则 ab bc ca .12又 (a b)， c b，| | | .OE 12 BF 12 OE BF 32所以 (a b)OE BF 12 (12c b) ac ab bc |b|2 .14 12 14 12 12所以 cos ， .OE BF 23所以直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 .231若 A
9、(1,0,1)， B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A(1,2,3) B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)解析： (2,4,6)，且(2,4,6)2(1,2,3)，直线 l 的一个方向向量是(1,2,3)AB 答案：A2设 l1的方向向量为 a(1,2，2)， l2的方向向量为 b(2,3， m)，若 l1 l2，则 m( )A1 B2C. D312解析： l1 l2ab262 m0 m2.答案：B3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若 E 为 A1C1的中点，则直线 CE 垂直于( )A AC B BDC A1D D A1A解析：建立如图所示
10、的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1.则 A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0)， D(0,0,0)， A1(1,0,1)，6C1(0,1,1)， E ，(12， 12， 1) ，CE (12， 12， 1)(1,1,0)，AC (1，1,0)，BD (1,0，1)，A1D (0,0，1)A1A (1) (1) 010，CE BD (12) ( 12) CE BD.答案：B4直线 l1的方向向量 v1(1,0，1)，直线 l2的方向向量为 v2(2,0,2)，则直线 l1与 l2的位置关系是_解析： v1(1,0，1)， v2(2,0,2)， v22 v1， v1 v2， l
11、1与 l2平行或重合答案：平行或重合5已知在棱长为 a 的正方体 ABCDA B C D中， E 是 BC 的中点则直线 A C 与DE 所成角的余弦值为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0,0， a)， C(a， a,0)，D(0， a,0)， E ，(a，a2， 0)则 ( a， a， a)，A C ，DE (a， a2， 0)cos ， .A C DE 1515答案：151576.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 DD1， BD 的中点，如图所示求证： EF CF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系则 D(0,0,0)， E ，(0， 0，
12、12)C(0,1,0)， F .(12， 12， 0) ，EF (12， 12， 12) .CF (12， 12， 0) 00.EF CF 12 12 12 12 ( 12) ，即 EF CF.EF CF 一、选择题1已知三条直线 l1， l2， l3的一个方向向量分别为 a(4，1，0)， b(1,4,5)，c(3,12，9)，则( )A l1 l2，但 l1与 l3不垂直B l1 l3，但 l1与 l2不垂直C l2 l3，但 l2与 l1不垂直D l1， l2， l3两两互相垂直解析： ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9)1212240.bc(1,
13、4,5)(3,12，9)348450， a b， a 与 c 不垂直， b c. l1 l2， l2 l3，但 l1不垂直于 l3.答案：A2已知直线 l1的一个方向向量为 a(1，2,1)，直线 l2的一个方向向量为b(2，2,0)，则两直线所成角的余弦值为( )A1 B.63C. D.33 328解析：cos a， b|ab|a|b| .| 1， 2， 1 2， 2， 0 |12 2 2 1222 2 2 |2 4|68 32答案：D3在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2， BC2， DD13，则 AC 与 BD1所成角的余弦值为( )A0 B.37070C D.37070 70
14、70解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,3)，B(2,2,0)， A(2,0,0)， C(0,2,0)所以 (2，2,3)， BD1 AC (2,2,0)所以 cos ， 0.BD1 AC 答案：A4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1， CA CC12 CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为( )A. B.55 53C. D.255 35解析：设 CA2，则 C(0,0,0)， A(2,0,0)， B(0,0,1)， C1(0,2,0)， B1(0,2,1)，可得向量 (2,2,1)，AB1 (0,2，1)，由向量的夹角公式得 cos ， BC1
15、 AB1 BC1 . 20 22 1 10 4 14 4 1 15 55答案：A二、填空题5已知 a(2,4,5)， b(3， x， y)分别是直线 l1， l2的方向向量，若 l1 l2，则x_， y_.解析： l1 l2， a b， ， x6， y .32 x4 y5 1529答案：6 1526已知直线 l1的方向向量为 a(1，2,2)， l2的方向向量为 b( x,3， x)，且l1 l2，则 x_.解析： l1 l2， a b，即 ab0， x62 x3 x60， x2.答案：27若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于_解
16、析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成的角等于 30.答案：308在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1,2cos 2 x2,0)和点 Q(cos x，1,3)，其中 x0，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_解析：由 OP OQ，得 0.OP OQ 即(2cos x1)cos x(2cos 2 x2)(1)0.cos x0 或 cos x .12 x0， x 或 x . 2 3答案： 或 2 3三、解答题9.如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A， B， V 分别在 x， y， z 轴上， D
17、 是线段 AB 的中点，且AC BC2， VDC ，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值 3解：因为 AC BC2， D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)， A(2,0,0)， B(0,2,0)， D(1,1,0)在 Rt VCD 中， CD ， VDC ，故 V(0,0， )2 3 6所以 (2,0,0)， (1,1， )AC VD 6所以 cos ， .AC VD 2222 24所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .241010.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是D1D， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG CD
18、.应用空间向量方法解决14下列问题(1)求证： EF B1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系由已知有 E ， F ， C(0,1,0)，(0， 0，12) (12， 12， 0)B1(1,1,1)， C1(0，1,1)， G .(0，34， 0)(1)证明： EF ，(12， 12， 0) (0， 0， 12) (12， 12， 12)(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，B1C (1) 0 (1)0，EF B1C 12 12 ( 12)得 ， EF B1C.EF B1C (2) (0,1,1) ，C1G (0， 34， 0) (0， 14， 1)| | ，C1G 02 ( 14)2 1 2 174由(1)得| | ，EF (12)2 (12)2 ( 12)2 32且 0 (1) ，EF C1G 12 12 ( 14) ( 12) 38cos ， ，EF C1G 5117异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 .511711
