1、136 直线与平面、平面与平面所成的角读教材填要点1直线与平面所成的角(1)定义：如果直线 l与平面 垂直， l与平面 所成的角 为直角， .如果2直线 l与平面 不垂直，则 l在 内的射影是一条直线 l，将 l与 l所成的角 定义为 l与平面 所成的角(2)范围： .0，2(3)计算：作直线 l的方向向量 v和平面 的法向量 n，并且可选 v与 n所成的角 1 ，则 l与平面 所成的角 1，sin cos_ 1 .0，2 2 |vn|v|n|2二面角(1)定义：从一条直线 l出发的两个半平面 ， 组成的图形叫作二面角，记作 l .(2)二面角的平面角过二面角 l 的棱 l上任意一点 O作垂直
2、于棱 l的平面，分别与两个面 ， 相交得到两条射线 OA， OB，则 AOB称为二面角 l 的平面角(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在 0180范围内，特别当二面角 l 是 90时称它为直二面角，此时称两个面 ， 相互垂直3两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是 .两个平行平面所成的角为 0.(0，2)小问题大思维1当一条直线 l与一个平面 的夹角为 0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行2设直线 l与平面 所成的角为 ， l的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，如何用 a和 n求角
3、 ？提示：sin |cos a， n| .|an|a|n|3二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？2提示：相等或互补求直线与平面所成的角如图，在四棱锥 PABCD中，底面为直角梯形， AD BC， BAD90，PA底面 ABCD，且 PA AD AB2 BC， M， N分别为 PC， PB的中点求 BD与平面 ADMN所成的角 .自主解答 如图所示，建立空间直角坐标系，设 BC1，则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)，则 N(1,0,1)， (2,2,0)， (0,2,0)， (1,0,1)BD AD AN 设平面 ADMN的一个法向
4、量为 n( x， y， z)，则由得Error!取 x1，则 z1， n(1,0，1)cos ， n ，BD 282 12sin |cos ， n| .BD 12又 0 90， 30.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去 90.31.如图，在三棱锥 PABC中， PA平面 ABC， BAC90， D， E， F分别是棱AB， BC， CP的中点， AB AC1， PA2.求直线 PA与
5、平面 DEF所成角的正弦值解：如图，以点 A为原点， AB， AC， AP所在的直线分别为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系 Axyz.由 AB AC1， PA2，得 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0,1,0)， P(0,0,2)，D ， E ， F .(12， 0， 0) (12， 12， 0) (0， 12， 1) (0,0，2)， ， .PA DE (0， 12， 0) DF ( 12， 12， 1)设平面 DEF的法向量为 n( x， y， z)则即Error! 解得Error!取 z1，则平面 DEF的一个法向量为 n(2,0,1)设 PA与平面 DEF所成的角为
6、，则sin |cos ， n| ，PA 55故直线 PA与平面 DEF所成角的正弦值为 .55求二面角如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC BD O， A1C1 B1D1 O1，四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形(1)证明： O1O底面 ABCD.(2)若 CBA60，求二面角 C1OB1D的余弦值自主解答 (1)证明：因为四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1均为矩形，所以CC1 AC， DD1 BD，又 CC1 DD1 OO1，所以 OO1 AC， OO1 BD，因为 AC BD O，所以 O1O底面 ABCD.4(2)因为四棱柱的所有棱长都相等
7、，所以四边形 ABCD为菱形，AC BD.又 O1O底面 ABCD，所以 OB， OC， OO1两两垂直如图，以O为原点， OB， OC， OO1所在直线分别为 x， y， z轴，建立空间直角坐标系设棱长为 2，因为 CBA60，所以 OB ， OC1，3所以 O(0,0,0)， B1( ，0,2)， C1(0,1,2)，3平面 BDD1B1的一个法向量为 n(0,1,0)，设平面 OC1B1的法向量为 m( x， y， z)，则由 m ， m ，所以Error!OB1 OC1 取 z ，则 x2， y2 ，3 3所以 m(2,2 ， )，3 3所以 cos m， n .mn|m|n| 231
8、9 25719由图形可知二面角 C1OB1D的大小为锐角，所以二面角 C1OB1D的余弦值为 .25719利用法向量求二面角的步骤为：(1)确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来2(2016全国卷)如图，在以 A， B， C， D， E， F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF2 FD， AFD90，且二面角DAFE与二面角 CBEF都是 60.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 EBCA的余弦值解：(1)证明：由已知可得 AF DF， A
9、F FE，所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)过 D作 DG EF，垂足为 G.由(1)知 DG平面 ABEF.5以 G为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间GF GF 直角坐标系 G xyz.由(1)知 DFE为二面角 D AFE的平面角，故 DFE60，则 DF2， DG ，可得3A(1,4,0)， B(3,4,0)， E(3,0,0)， D(0,0， )3由已知得 AB EF，所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDC CD，故 AB CD， CD EF.由 BE AF，可得 BE平面 EF
10、DC，所以 CEF为二面角 CBEF的平面角， CEF60.从而可得 C(2,0， )3所以 (1,0， )， (0,4,0)， (3，4， )， (4,0,0)EC 3 EB AC 3 AB 设 n( x， y， z)是平面 BCE的法向量，则 即Error!所以可取 n(3,0， )3设 m是平面 ABCD的法向量，则同理可取 m(0， ，4)3则 cos n， m .nm|n|m| 21919由图知，二面角 EBCA为钝角，故二面角 EBCA的余弦值为 .21919解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知 PA平面 ABC， AC BC， PA AC1， BC ，求二面角
11、APBC的余弦值2解 法一：如图所示，取 PB的中点 D，连接 CD. PC BC ，2 CD PB.作 AE PB于 E，那么二面角 APBC的大小就等于异面直线 DC与 EA所成的角 的大小6 PD1， PE ，PA2PB 12 DE PD PE .12又 AE ， CD1， AC1，APABPB 32 ，且 ， ，AC AE ED DC AE ED ED DC | |2| |2| |2| |22| | |cos( )，即AC AE ED DC AE DC 1 12 1cos ，34 14 32解得 cos .33故二面角 APBC的余弦值为 .33法二：由法一可知，向量 与 的夹角的大小
12、就是二面角 APBC的大小，如图，DC EA 建立空间直角坐标系 Cxyz，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(0,0,0)， P(1,0,1)， D为 PB的2中点， D .(12， 22， 12)又 ，即 E分 的比为 .PEEB AP2AB2 13 PB 13 E ， ，(34， 24， 34) EA (14， 24， 34) ，| | ，| |1，DC ( 12， 22， 12) EA 32 DC .EA DC 14 ( 12) ( 24) ( 22) ( 34) ( 12) 12cos ， .EA DC 33故二面角 APBC的余弦值为 .33法三：如图所示建立空间直角坐
13、标系，则 A(0，0,0)， B( ，1,0)，2C(0,1,0)， P(0,0,1)， (0,0,1)， ( ，1,0)，AP AB 2( ，0,0)， (0 ，1,1)，CB 2 CP 设平面 PAB的法向量为 m( x， y， z)，则 Error!Error!7令 x1，则 m(1， ，0)2设平面 PBC的法向量为 n( x， y， z)，则Error!Error!令 y1，则 n(0，1，1)，cos m， n .mn|m|n| 33二面角 APBC的余弦值为 .331若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l与平面 所成的角等于( )A120 B60C30
14、 D以上均错解析：设直线 l与平面 所成的角为 ，则 sin |cos 120| ，12又0 90， 30.答案：C2若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )A. B.63 33C. D.23 13解析：设正三棱锥 PABC， PA， PB， PC两两互相垂直，设 PA PB PC a.取 AB的中点 D，连接 PD， CD，易知 PDC为侧面 PAB与底面 ABC所成的角易求 PD a， CD a，22 62故 cos PDC .PDDC 33答案：B3在边长为 a的正 ABC中， AD BC于 D，沿 AD折成二面角 BADC后， BC a，这128时二面角
15、 BADC的大小为( )A30 B45C60 D90解析：由定义知， BDC为所求二面角的平面角，又 BC BD DC a，12 BDC为等边三角形， BDC60.答案：C4若一个二面角的两个面的法向量分别为 m(0,0,3)， n(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为_解析：cos m， n . 0， 0， 3 8， 9， 2382 92 22 2149 2149149答案：21491495正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD所成的角的正弦值是_解析：如图，以 DA， DC， DD1分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为 1，则 A(1
16、,0,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,1)，易证 是平面 A1BD的一个法向量AC1 又 (1,1,1)，AC1 (1,0,1)BC1 所以 cos ， .AC1 BC1 1 132 63所以 BC1与平面 A1BD所成角的正弦值为 .63答案：636(2017江苏高考)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，且 AB AD2， AA1 ， BAD120.3(1)求异面直线 A1B与 AC1所成角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA的正弦值解：在平面 ABCD内，过点 A作 AE AD，交 BC于点 E.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1 AE，
17、AA1 AD.如图，以 ， ， 为正交基底，建立空间直角坐标系AE AD AA1 9Axyz.因为 AB AD2，AA1 ， BAD120，3则 A(0,0,0)， B( ，1,0)， D(0,2,0)， E( ，0,0)， A1(0，0， )，3 3 3C1( ， 1， )3 3(1) ( ，1， )， ( ，1， )A1B 3 3 AC1 3 3则 cos ， .A1B AC1 3 1 377 17因此异面直线 A1B与 AC1所成角的余弦值为 .17(2)可知平面 A1DA的一个法向量为 ( ，0,0)AE 3设 m( x， y， z)为平面 BA1D的一个法向量，又 ( ，1， )，
18、( ，3,0)，A1B 3 3 BD 3则 即Error!不妨取 x3，则 y ， z2，3所以 m(3， ，2)为平面 BA1D的一个法向量，3从而 cos ， m .AE 3334 34设二面角 BA1DA的大小为 ，则|cos | .34因为 0，所以 sin .1 cos274因此二面角 BA1DA的正弦值为 .74一、选择题1若平面 的一个法向量 n(2,1,1)，直线 l的一个方向向量为 a(1,2,3)，则 l与 所成角的正弦值为( )A. B.176 216C D.216 21310解析：cos a， nan|a|n| . 1， 2， 3 2， 1， 11 4 922 1 1
19、2 2 3146 216 l与 所成角的正弦值为 .216答案：B2.如图，过边长为 1的正方形 ABCD的顶点 A作线段 EA平面 AC，若 EA1，则平面 ADE与平面 BCE所成的二面角的大小是( )A120 B45C135 D60解析：以 A为原点，分别以 AB， AD， AE所在直线为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 E(0,0,1)， B(1,0,0)， C(1,1,0)， (1,0，1)，EB (1,1，1)EC 设平面 BCE的法向量为 n( x， y， z)，则有Error!可取 n(1,0,1)，又平面 EAD的法向量为 (1,0,0)，所
20、以 cos n， ，故平面 ADE与平面 BCE所成AB AB 121 22的二面角为 45.答案：B3在直角坐标系中，已知 A(2,3)， B(2，3)，沿 x轴把直角坐标系折成平面角为 的二面角 AOxB，使 AOB90，则 cos 为( )A B.19 19C. D49 49解析： 过 A， B分别作 x轴垂线，垂足分别为 A， B.则AA3， BB3， A B4， OA OB ，折后， AOB90， AB 13 OA2 OB2.26由 ，得AB AA A B B B | |2| |2| |2| |22| | |cos( )AB AA A B B B AA B B 11269169233
21、cos( )，cos .49答案：C4.已知平面 内有一个以 AB为直径的圆， PA ，点 C在圆周上(异于点 A， B)，点 D， E分别是点 A在 PC， PB上的射影，则( )A ADE是二面角 APCB的平面角B AED是二面角 APBC的平面角C DAE是二面角 BPAC的平面角D ACB是二面角 APCB的平面角解析：选项 A错误，若 DE PC，则 PC平面 ADE，所以 PC AE，又 AE PB，所以AE平面 PBC，同理可证： AD平面 PBC，这是不可能的选项 B正确，因为 PA BC， AC BC，所以 BC平面 PAC，所以 AD BC，又 AD PC，且 PC BC
22、 C，所以 AD平面 PBC，又因为 AE PB，所以 DE PB，所以 AED为二面角APBC的平面角选项 C错误，因为 PA平面 ，所以 PA AC且 PA AB，所以 CAB为二面角BPAC的平面角，因此， DAE不是二面角 BPAC的平面角选项 D错误，在 PAC中， PAC90，所以 AC与 PC不垂直，因此， ACB不是二面角 APCB的平面角答案：B二、填空题5如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等， D是 A1C1的中点，则直线AD与平面 B1DC夹角的正弦值为_解析：不妨设正三棱柱 ABCA1B1C1的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,
23、0,0)， A( ，1,0)， B1( ，1,2)， D ，3 3 (32， 12， 2)则 ， ( ，1,2)，CD (32， 12， 2) CB1 3设平面 B1DC的法向量为n( x， y,1)，由解得 n( ，1,1)312又 ，DA (32， 12， 2)sin |cos ， n| .DA 45答案：456正 ABC与正 BCD所在平面垂直，则二面角 ABDC的正弦值为_解析：取 BC中点 O，连接 AO， DO.建立如图所示空间直角坐标系，设BC1，则 A ， B ，(0， 0，32) (0， 12， 0)D .(32， 0， 0) ， ， .OA (0， 0， 32) BA (0
24、， 12， 32) BD (32， 12， 0)由于 为平面 BCD的法向量，可进一步求出平面 ABD的一个法向量 nOA (0， 0， 32)，(1， 3， 1)cos n， ，sin n， .OA 55 OA 255二面角 ABDC的正弦值为 .255答案：2557已知三棱锥 SABC中，底面 ABC为边长等于 2的等边三角形， SA垂直于底面ABC， SA3，那么直线 AB与平面 SBC所成角的正弦值为_解析：建立如图所示空间直角坐标系，则 S(0,0,3)， A(0,0,0)，B( ，1,0) ， C(0,2,0)3 ( ，1,0)， ( ，1，3)，AB 3 SB 3(0,2，3)S
25、C 设平面 SBC的法向量为 n( x， y， z)则令 y3，则 z2， x ， n( ，3,2)3 3设 AB与平面 SBC所成的角为 ，13则 sin |cos n， | .AB 3 342 34答案：348在体积为 1的直三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB90， AC BC1，求直线 A1B与平面 BB1C1C所成角的正弦值为_解析：由题意，可得体积 V CC1S ABC CC1 ACBC CC11，12 12 CC12.建立如图所示空间直角坐标系，得点 B(0,1,0)， .A1 1， 0， 2则 (1,1，2)，A1B 又平面 BB1C1C的法向量为 n(1,0,0)设直线 A
26、1B与平面 BB1C1C所成的角为 ， 与 n的夹角为 ，A1B 则 cos ，66sin |cos | ，66即直线 A1B与平面 BB1C1C所成角的正弦值为 .66答案：66三、解答题9.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB16， BC10， AA18，点E， F分别在 A1B1， D1C1上， A1E D1F4.过点 E， F的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线 AF与平面 所成角的正弦值解：(1)交线围成的正方形 EHGF如图所示(2)作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E4， EM AA18.
27、因为四边形 EHGF为正方形，所以 EH EF BC10.于是 MH 6，所以 AH10.EH2 EM2以 D为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系DA 14Dxyz，则 A(10,0,0)， H(10,10,0)， E(10,4,8)， F(0,4,8)， (10,0,0)， FE (0，6，8)设 n( x， y， z)是平面 EHGF的法向量，则 即Error!HE 所以可取 n(0,4,3)又 (10,4,8)，AF 故|cos n， | .AF 4515所以 AF与平面 EHGF所成角的正弦值为 .451510(2017全国卷)如图，四棱锥 PABCD中，侧
28、面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD， BAD ABC90， E是 PD的中点12(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD的余弦值解：(1)证明：取 PA的中点 F，连接 EF， BF.因为 E是 PD的中点，所以 EF AD， EF AD.12由 BAD ABC90，得 BC AD，又 BC AD，所以 EF綊 BC，12所以四边形 BCEF是平行四边形， CE BF，又 BF平面 PAB， CE平面 PAB，故 CE平面 PAB.(2)由已知得 BA AD，以 A为坐标原点， 的
29、方向为 x轴AB 正方向，| |为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系AB Axyz，则 A(0,0,0)， B(1，0,0)， C(1,1,0)， P(0，1， )，3(1,0， )， (1,0,0)PC 3 AB 设 M(x， y， z)(0x1)，则 ( x1， y， z)， ( x， y1， z )BM PM 315因为 BM与底面 ABCD所成的角为 45，而 n(0,0,1)是底面 ABCD的法向量，所以|cos ， n|sin 45， ，BM |z| x 1 2 y2 z2 22即( x1) 2 y2 z20. 又 M在棱 PC上，设 ，PM PC 则 x ， y1， z . 3 3由解得Error!(舍去)，或Error!所以 M ，从而 .(122， 1， 62) AM (1 22， 1， 62)设 m( x0， y0， z0)是平面 ABM的法向量，则 即Error!所以可取 m(0， ，2)6于是 cos m， n .mn|m|n| 105由图知二面角 MABD为锐角，因此二面角 MABD的余弦值为 .105
