1、1第 7 章 立体几何 第 7 讲A 组 基础关1如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A1B1C1， CA CC12 CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为( )A. B55 53C D255 35答案 A解析 不妨设 CB1，则 B(0,0,1)， A(2,0,0)， C1(0,2,0)， B1(0,2,1)， (0,2，1)， (2,2,1)cos ， .直BC1 AB1 BC1 AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 0 4 153 55线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 .552(2018沧州模拟)如图所示，在正方体 ABCD A B C D中，棱长为 1
2、 E， F分别是 BC， CD 上的点，且 BE CF a(00)，则 C(m， ，0)，(0，32， 12) E (0， 32， 12) 3A ( m， ，0)C 3设 n1( x， y， z)为平面 ACE 的法向量，则Error!即Error!可取 n1 .易(3m， 1， 3)知 n2(1,0,0)为平面 DAE 的一个法向量，由题设知|cos n1， n2| ，即 ，12 33 4m2 12解得 m .因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E ACD 的高为 .所以三棱锥 E ACD 的体积32 12V .13 12 3 32 12 383(2017全国卷) a， b 为空间中两
3、条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)答案 解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系设等腰直角三角形 ABC 的直角边长为1.由题意知点 B 在平面 xOy 中形成的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆设直线 a 的方向向量为 a(0,1,0
4、)，直线 b 的方向向量为 b(1,0,0)， 以 Ox 轴为CB 始边沿逆时针方向旋转的旋转角为 ， 0,2)，则 B(cos ，sin ，0)， (cos ，sin ，1)，| | .AB AB 2设直线 AB 与 a 所成夹角为 ，10则 cos |sin | ，|AB a|a|AB | 22 0， 2245 90，正确，错误设直线 AB 与 b 所成夹角为 ，则 cos |cos |.|AB b|b|AB | 22当直线 AB 与 a 的夹角为 60，即 60时，则|sin | cos cos60 ，2 222|cos | .cos |cos | .22 22 120 90， 60，即
5、直线 AB 与 b 的夹角为 60.正确，错误4如图，在三棱锥 P ABC 中， AB AC， D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上已知 BC8， PO4， AO3， OD2.(1)证明： AP BC；(2)若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM3.试证明平面 AMC平面 BMC.证明 如图所示，以 O 为坐标原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则 O(0,0,0)， A(0，3,0)， B(4,2,0)， C(4,2,0)， P(0,0,4)11(1) (0,3,4)， (8,0,0)，AP BC (0,3,4)(8,0,0)
6、0， ，即 AP BC.AP BC AP BC (2)由(1)知| AP|5，又| AM|3，且点 M 在线段 AP 上， .AM 35AP (0， 95， 125)又 (4,5,0)， (4，5,0)，AC BA ，BM BA AM ( 4， 165， 125)则 A B (0,3,4) 0，P M ( 4， 165， 125) ，即 AP BM，AP BM 又根据(1)的结论知 AP BC， BM BC B， AP平面 BMC，于是 AM平面 BMC.又 AM平面 AMC，故平面 AMC平面 BCM.C 组 素养关1在如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 BDEF 是
7、矩形， ED平面 ABCD， ABD ， AB2 AD. 6(1)求证：平面 BDEF平面 ADE；(2)若 ED BD，求直线 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值解 (1)证明：在 ABD 中，12由正弦定理知 ，ABsin ADB ADsin ABD所以 sin ADB 1，ABsin ABDAD 2ADsin 6AD所以 ADB90，即 BD AD.因为 DE平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 DE BD.又 AD DE D，所以 BD平面 ADE.因为 BD平面 BDEF，所以平面 BDEF平面 ADE.(2)由(1)可得，在 Rt ABD 中， BAD ， BD AD，又由
8、 ED BD，设 AD1，则 3 3BD ED .因为 DE平面 ABCD， BD AD，3所以可以点 D 为坐标原点， DA， DB， DE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则 A(1,0,0)， C(1， ，0)， E(0,0， )， F(0， ， )，3 3 3 3所以 (1,0， )， (2， ，0)AE 3 AC 3设平面 AEC 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即 Error!令 z1，得 n( ，2,1)为平面 AEC 的一个法向量3因为 (1， ， )，AF 3 3所以 cos n， ，AF nAF |n|AF | 421
9、4所以直线 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值为 .42142如图，球 O 内接四面体 ABCD， AB 为球 O 的直径，平面 BCD 截球得圆 O， BD 为圆O的直径， C 为圆 O上一点， AD平面 BCD， AD2， BD2 ， M 是 AD 的中点， P 是 BM2的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3 QC.13(1)证明： PQ平面 BCD；(2)若二面角 C BM D 的大小为 60，求 BDC 的大小解 (1)证明：连接 PO，由中位线易知 PO AD，从而 PO平面 BCD.如图，以 O为原点， O D， O P 所在射线分别为 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间
10、直角坐标系 O xyz.由题意知 A(0， ，2)， B(0， ，0)， D(0， ，0)2 2 2设点 C 的坐标为( x0， y0,0)，因为 3 ，AQ QC 所以 Q .(34x0， 24 34y0， 12)因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， ，1)2又 P 为 BM 的中点，故 P ，所以 .(0， 0，12) PQ (34x0， 24 34y0， 0)又平面 BCD 的一个法向量为 u(0,0,1)， u0，PQ PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.(2)设 m( x， y， z)为平面 BMC 的一个法向量由 ( x0， y0,1)， (0,2 ，1)，CM 2 BM
11、 2可知Error!取 y1，得 m .(y0 2x0 ， 1， 22)又平面 BDM 的一个法向量为 n(1,0,0)，于是14|cos m， n| ，|mn|m|n|y0 2x0 |9 (y0 2x0 )2 12即 2 3.(y0 2x0 )又 BC CD，所以 0，故( x0， y0,0)( x0， y0,0)0，即CB CD 2 2x y 2.20 20联立，结合点 C 在圆 O上且| y0| ，2解得Error!所以 ， ，| | ，| | ，BC (62， 322， 0) DC (62， 22， 0) BC 6 DC 2所以 tan BDC .|BC |DC | 3又 BDC 是锐角，所以 BDC60.
