1、118.2.1 矩形(第 1 课时)学习目标1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系 .2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题 .3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理 .学习过程一、合作探究【问题探究一】矩形的定义阅读教材本节中的第一个“思考”前面内容,解决下列问题:1.有一个角是 的 叫矩形 . 2.你能举出一些生活中矩形的实例吗?【问题探究二】矩形的性质区别阅读教材本节中的第 1 个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.结合平行四边形的性质的探求过程,你认为应该从哪几个方面探求矩形的性质?2.画一个矩形,连接对角线,度量它的
2、四个角和对角线,你有什么发现?3.你能证明你的猜想吗?归纳总结:矩形的四个角都是 ,矩形的对交线 且 . 几何语言表述 【问题探究三】直角三角形斜边上中线的特性 .阅读教材本节中的第 2 个“思考”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.观察图所示的矩形,寻找图形中的相等线段,在 Rt ABC 中,有哪些相等线段,你能得到什么结果?2.你能证明上述猜想吗?写出证明过程:归纳总结:直角三角形斜边上中线等于 . 二、自主练习【例 1】已知:如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O, AOB=60,AB=4,求矩形对角线的长 .【例 2】(补充)已知:如图,矩形 ABCD,AB 长 8 cm
3、对角线比 AD 边长 4 cm.求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长 .2三、跟踪练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对角线相等 B.对边相等C.对角相等 D.对角线互相平分2.在 Rt ABC 中, ABC=90,AC=10,BO 是斜边上的中线,则 BO 的长为 . 3.如图,在矩形 ABCD 中,对 角线 AC,BD 相交于点 O,且 AB=5,BC=12,则 ABO 的周长为 . 4.如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, AOB=60,AB=4.求矩形对角线的长 .5.如图,在矩形 ABCD 中, AE 平分 BAD,交 BC
4、 于点 E,ED=5,EC=3,求矩形的周长及对角线的长 .四、变式演练1.如图,在长方形 ABCD 中, AB=6,BC=8,将长方形 ABCD 沿 CE 折叠 后,使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处 .(1)求 EF 的长 .(2)求四边形 ABCE 的面积 .2.如图所示,在矩形 ABCD 中, E 为 AD 上一点, EF CE 交 AB 于点 F,若 DE=2,矩形的周长为 16,且 CE=EF,则 AE 的长为多少?五、达标检测1.如图,在矩形 ABCD 中, AB=8,BC=4,将矩形沿 AC 折叠,点 D 落在点 E 处,且 CE 与 AB 交于 F,那么 S AC
5、F为 ( )3A.12 B.15 C.6 D.102.如图,在矩形 ABCD 中, AC,BD 相交于点 O,AE 平分 BAD 交 BC 于 E.若 EAO=15,则 BOE 的度数为 ( )A.85 B.80 C.75 D.703.如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O.若 AOB=60,BD=8,则 AB 的长为( )A.4 B.4 C.3 D.534.根据图中数据可求阴影部分的面积和为( )A.12 B.10 C.8 D.75.如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使 CE=BD,连接 AE,如果 ADB=30,则 E= 度 . 6.如图,在矩形 ABCD
6、中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别是 AO,AD 的中点,若 AB=6 cm,BC=8 cm,则 AEF 的周长 cm. 7.Rt ABC 中, BAC=90,AB=3,AC=4,P 为边 BC 上一动点, PE AB 于 E,PF AC 于 F,M为 EF 中点,则 AM 的最小值为 . 8.如图,将 ABCD 的边 DC 延长到点 E,使 CE=DC,连接 AE,交 BC 于点 F.(1)求证:四边形 ABEC 是平行四边形;4(2)连接 AC,BE,若四边形 ABEC 是矩形,则 AFC 与 D 应满足什么数量关系?并说明理由 .9.如图,长方形 OABC 中, O
7、为原点, A(4,0),C(0,6),点 B 在第一象限点 P 从原点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 O-A-B-C-O 的路线移动 .(1)直接写出点 B 的坐标 ; (2)当点 P 移动了 4 秒时,点 P 的坐标是 ; (3)移动过程中,当点 P 到 x 轴距离为 5 个单位长度时,求点 P 移动的时间及此时点 P到 O 点的距离 .参考答案一、合作探究【问题探究一】1 .直角;平行四边形 2.略【问题探究二】1 .内角、对角线 .2.(1)矩形的四个角都是直角 . (2)矩形的对角线相等 .53.猜想 1:矩形的四个角都是直角 .求证:矩形的四个角都是直角 .已知:如图,四边形
8、ABCD 是矩形,求证: A= B= C= D=90,证明: 四边形 ABCD 是矩形, A=90,又矩形 ABCD 是平行四边形, A= C, B= D, A+ B=180. A= B= C= D=90.即矩形的四个角都是直角 .猜想 2:矩形的对角线相等 .已知:如图,四边形 ABCD 是矩形求证: AC=BD,证明:在矩形 ABCD 中, ABC= DCB=90,AB=DC,BC=CB, ABC DCB,AC=BD ,即矩形的对角线相等 .结论:矩形的对角线相等 .数学语言: 四边形 ABCD 是矩形,AC=BD.归纳总结:矩形的四个角都是直角,矩形的对交线相等且互相平分 .几何语言表述
9、 四边形 ABCD 是矩形, A= B= C= D=90.AC=BD.【问题探究三】1.OA=OB=OC2.如图,在矩形 ABCD 中, AC,BD 相交于点 O,由性质 2 有 AO=BO=CO=DO= AC= BD.因此可以12 12得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .归纳总结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .二、自主学习1.解: 四边形 ABCD 是矩形,AC 与 BD 相等且互相平分 .OA=OB.6又 AOB=60, OAB 是等边三角形 . 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=24=8.2.解:设 AD=x cm,则对角线长( x+4) cm
10、在 Rt ABD 中,由勾股定理: x2+82=(x+4)2,解得x=6.则 AD=6 cm,AB=10 cm.(2)S ABD= AEDB= ADAB,解得 AE=4.8 cm.12 12三、跟踪练习1.A 2.5 3.184.解: 四边形 ABCD 是矩形,OA= AC,OB= BD,AC=BD,12 12OA=OB , AOB=60, AOB 是等边三角形,OA=AB= 4,AC= 2OA=8.即矩形的对角线长为 8.5.解:如图,连接 BD. 四边形 ABCD 是矩形, C=90,AB=CD,AD BC.ED= 5,EC=3,DC 2=DE2-CE2=25-9=16,DC= 4,AB
11、4.AD BC, AEB= DAE.AE 平分 BAD, BAE= DAE, BAE= AEB,BE=AB= 4,矩形的周长 =2(4+3+4)=22.由勾股定理得: BD2=42+72,BD= .65答:矩形的周长为 22,对角线的长 为 .65四、变式演练1.解:(1) 四边形 ABCD 为矩形,CD=AB= 6,AD=BC=8, BAD= D=90,在 Rt ABC 中, AC= =10,62+82 长方 形 ABCD 沿 CE 折叠后,使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处,CF=CD= 6,ED=EF, EFC= D=90,7AF= 10-6=4,设 EF=x,则 ED=x
12、AE=8-x,在 Rt AEF 中, x2+42=(8-x)2,解得 x=3,即 EF 的长为 3.(2)四边形 ABCE 的面积 =S ABC+S EAC= 68+ 310=39.12 122.解:在矩形 ABCD 中, A= D=90.CE EF, AEF+ DEC=90.又 AFE+ AEF=90, AFE= DECEF=CE , AEF DCE(AAS).AE=DC.又 矩形的周长为 16, 2(AE+DE+DC)=16,即 2AE+2=8.AE= 3.五、达标检测1.D 2.C 3.A 4.C 5.15 6.9 7.658.(1)证明: 四边形 ABCD 是平行四边形,AB CD,
13、AB=CD,CE=DC ,AB=EC ,AB EC, 四边形 ABEC 是平行四边形;(2)解: AFC=2 D.理由如下: 四边形 ABEC 是矩形,AE=BC ,FC=FE,AD=BC.AD=AE , AED= D,FC=FE. AED= FCE= D, AFC= AED+ FCE. AFC=2 D.9.解:(1)根据长方形的性质,可得 AB 与 y 轴平行, BC 与 x 轴平行;且 A(4,0),C(0,6),即 AB=OC=6,BC=OA=4,故 B 的坐标为(4,6);(2)根据题意, P 的运动速度为每秒 2 个单位长度,当点 P 移动了 4 秒时,则其运动了24=8 个长度单位,此时点 P 在 AB 上,且 PA=4,故 P 的坐标为(4,4);(3)根据题意,点 P 到 x 轴距离为 5 个单位长度时,有两种情况:P 在 AB 上时, P 运动了 4+5=9 个长度单位,此时 P 运动了 92=4.5(秒);此时点 P 到 O 的距离为 个单位长度;OA2+AP2= 42+52= 418P 在 OC 上时, P 运动了 4+6+4+1=15 个长度单位,此时 P 运动了 152=7.5(秒);此时点 P 到 O 的距离为 5 个单位长度 .
