1、118.2.2 菱形(第 2 课时)学习目标1.通过动手操作,归纳菱形的判定方法,并加以证明 .(重点)2.会用菱形的判定方法进行有关的计算和论证 .(难点)3.经历探索菱形的判定方法的过程,发展主动探究的能力和说理的能力 .学习过程一、知识回顾1.菱形的定义是什么?2.平行四边形、矩形、菱形各有什么性质?列表进 行比较 .边 角 对角线平行四边形矩 形菱 形3.菱形和平行四边形的关系是什么?二、合作探究【问题探究一】用定义判定四边形是菱形阅读教材本节中的第一个“思考”前内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:平行四边形的定义可以作为性质,也可以作为判定,那么菱形的定义可以作为菱形的判定方法
2、吗?如果可以,怎么判定?归纳总结:有一组邻边 的 是菱形 . 几何语言: 【问题探究二】菱形的判定阅读教材本节中的第二个“思考”内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:21.你能否通过研究菱形性质定理的逆命题获得判定四边形是菱形?并完成表格菱形性质 菱形判定菱形的对交线互相垂直 猜想 1:菱形的四条边都相等 猜想 2:2.证明猜想 1 与猜想 2 的正确性(1)已知:平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 互相垂直 .求证:四边形 ABCD 是菱形 .归纳总结:判定定理 1 对角线 的平行四边形是菱形 . 几何语言: 四边形 ABCD 是 , 且 , 是菱形 . 探究二、四边相等的四边
3、形是菱形 .猜想 2:如果一个四边形的四条边相等,那么这个平行四边形是菱形,已知:四边形 ABCD中, AB=BC=CD=AD,求证:四边形 ABCD 是菱形 .归纳总结:1. 的四边形是菱形 . 2.几何语言: 三、自主练习【例 1】如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AB=5,AO=4,BO=3.求证:平行四边形 ABCD 是菱形 .【例 2】已知:如图, ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD,BC 分别交于 E,F.求证:四边形 AFCE 是菱形 .3四、跟踪练习1.下列图形中,不一定是菱形的是 ( )A.两条对角线互相垂直平分的四边形B.四条边都
4、相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形D.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形2.ABCD 的对角线相交于点 O,分别添加下列条件: AC BD;A B=BC;AC 平分 BAD;AO=DO. 其中使得 ABCD 是菱形的条件有 ( )A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4 个3.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AC=BD,E,F,G,H 分别为四边中点 .求证:四边形 EFGH 为菱形 .五、变式演练1.(2016沈阳中考)如图, ABC ABD,点 E 在边 AB 上, CE BD,连接 DE.求证:(1) CEB= CBE;(2)四边形 BCED 是菱形 .2.如图,在四边形
5、 ABCD 中, AB=CD,M,N,P,Q 分别是 AD,BC,BD,AC 的中点 .求证: MN 与 PQ 互相垂直平分 .六、达标检测1.如图,在 ABCD 中,对角线 AC AB,O 为 AC 的中点,经过点 O 的直线交 AD 于 E,交 BC于 F,连接 AF,CE,现在添加一个适当的条件,使四边形 AFCE 是菱形,下列条件:OE=OA ;EF AC;AF 平分 BAC;E 为 AD 中点,正确的有( )个 .4A.1 B.2 C.3 D.42.下列说法: 四边相等的四边形一定是菱形; 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形; 对角线相等的四边形一定是矩形; 经过平行四边形对
6、角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 .其中正确的有( )个 .A.4 B.3 C.2 D.13.如图,在 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,添加下列条件不能判定 ABCD 是菱形的只有( )A.AC BDB.AB=BCC.AC=BDD.1 =24.在 ABC 中,点 D 是边 BC 上的点(与 B,C 两点不重合),过点 D 作 DE AC,DF AB,分别交 AB,AC 于 E,F 两点,下列说法正确的是( )A.若 AD BC,则四边形 AEDF 是矩形B.若 AD 垂直平分 BC,则四边形 AEDF 是矩形C.若 BD=CD,则四边形 AEDF 是菱形D
7、.若 AD 平分 BAC,则四边形 AEDF 是菱形5.四边形 ABCD 的四边相等,且面积为 120 cm2,对角线 AC=24 cm,则四边形 ABCD 的周长为( )A.52 cm B.40 cm C.39 cm D.26 cm6.如图,四边形 ABCD 是轴对称图形,且直线 AC 是对称轴, AB CD,则下列结论:AC BD;AD BC; 四边形 ABCD 是菱形; ABD CDB 其中正确的是 (只填写序号) . 57.如图,已知正方形 ABCD 的对角线交于 O 点,点 E,F 分别是 AO,CO 的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是 (把所有正确结论的序
8、号都填在横线上) BF=DE ; ABO=2 ABE;S AED= S ACD; 四边形 BFDE 是菱形 .148.如图,在矩形 ABCD 中, AD=5,AB=3,在 BC 边上取一点 E,使 BE=4,连接 AE,沿 AE 剪下ABE,将它平移至 DCF 的位置,拼成四边形 AEFD.(1)CF= ; (2)四边形 AEFD 是什么特殊四边形,你认为最准确的是: . 9.如图,在 ABC 中, AB=BC,D,E,F 分别是 BC,AC,AB 边上的中点 .(1)求证:四边形 BDEF 是菱形 .(2)若 AB=12 cm,求菱形 BDEF 的周长 .10.如图 ABC 与 CDE 都是
9、等边三角形,点 E,F 分别在 AC,BC 上,且 EF AB.(1)求证:四边形 EFCD 是菱形 .(2)设 CD=4,求 D,F 两点间的距离 .参考答案一、知识回顾1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .2.平行四边形、矩形、菱形各有什么性质?列表进行比较 .边 角 对角线平行四边形对边平行且相等 对角相等,邻角互补 对角线互相平分矩 形对边平行且相等4 个角都相等,且等于90对角线互相平分且相等菱 形四条边都相等 对角相等,邻角互补对角线互相平分且垂直63.菱形是特殊的平行四边形 .二、合作 探究【问题探究一】 略【问题探究二】菱形的判定菱 形性质 菱形判定菱形的对角线互相垂直猜想
10、 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形续 表菱形性质 菱形判定菱形的四条边都相等猜想 2:四条边相等的四边形是菱形2.证明猜想 1 与猜想 2 的正确性(1)证明: 四边形 ABCD 是平行四边形,OA=OC (平行四边形对角线相互平分) .又 AC BD,BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线,AB=BC , 四边形 ABCD 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) .归纳总结:判定定理 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .几何语言: 四边形 ABCD 是平行四边形,AC BD, 平行四边形 ABCD 是菱形 .探究二 四边相等的四边形是菱形 .证明: AB=BC=CD=AD ,A
11、B=CD ,BC=AD. 四边形 ABCD 是平行四边形 .又 AB=BC , 四边形 ABCD 是菱形 .归纳总结:1.四条边相等的四边形是菱形 .2.几何语言: 四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=AD, 四边形 ABCD 是菱形 .三、自主练习【例 1】证明: AB= 5,AO=4,BO=3,AB 2=AO2+BO2. OAB 是直角三角形, AC BD. ABCD 是菱形 .【例 2】证明: 四边形 ABCD 是平行四边形,AE BC, 1 =2 .7又 AOE= COF,AO=CO, AOE COF,EO=FO. 四边形 AFCE 是平行四边形 .又 EF AC, AFCE 是
12、菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) .四、跟踪练习1.C2.C3.解:如图, E ,F,G,H 分别是线段 AB,BC,CD,AD 的中点,EH ,FG 分别是 ABD, BCD 的中位线,EF,HG 分别是 ABC, ACD 的中位线,根据三角形的中位线的性质知, EH=FG= BD,EF=HG= AC,12 12又 AC=BD ,EH=FG=EF=HG , 四边形 EFGH 是菱形 .五、变式演练1.证明:(1) ABC ABD, ABC= ABD.CE BD, CEB= DBE, CEB= CBE;(2) ABC ABD,BC=BD. CEB= CBE,CE= CB,CE=BD.C
13、E BD, 四边形 CEDB 是平行四边形 .BC=BD , 四边形 BCED 是菱形 .2.证明:连接 MP,PN,NQ,QM,AM=MD ,BP=PD,PM 是 ABD 的中位线,PM= AB,12PM AB;同理 NQ= AB,NQ AB,MQ= DC,12 12PM=NQ ,且 PM NQ. 四边形 MPNQ 是平行四边形 .又 AB=DC ,PM=MQ , 平行四边形 MPNQ 是菱形 .MN 与 PQ 互相垂直平分 .六、达标检测1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.87. 8.4;菱形9.(1)证明: D ,E,F 分别是 BC,AC,AB 的中点,DE AB,EF BC,DE= AB,EF= BC,12 12 四边形 BDEF 是平行四边形,又 AB=BC ,DE=EF , 四边形 BDEF 是菱形 .(2)解: AB= 12 cm,F 为 AB 中点,BF= 6 cm, 菱形 BDEF 的周长为 64=24 cm.10.(1)证明: ABC 与 CDE 都是等边三角形,E D=CD, A= DCE= BCA= DEC=60.AB CD,DE CF.又 EF AB,EF CD, 四边形 EFCD 是菱形 .(2)解:连接 DF,与 CE 相交于点 G,由 CD=4,可知 CG=2,DG= =2 ,42-22 3DF= 4 .3
